任务2.4 地基最终沉降量计算
地基最终沉降量是指在荷载作用下地基土层被压缩达到相对稳定时的沉降量。其计算方法很多，目前在国内常用的计算方法有：分层总和法、《建筑地基基础设计规范》推荐的方法和弹性力学公式，本任务将介绍这三种最终沉降的计算方法。
2.4.1 分层总和法计算地基最终沉降量
1.基本假设与公式
分层总和法通常假设地基压缩时不允许侧向变形，即采用侧限条件下的压缩试验成果进行计算。为了弥补这样的沉降量偏小的缺点，通常采用基础中心点下的附加应力σz进行计算。假定地基土层的厚度为H，地基土层在建筑物施工前的初始应力（即土的自重应力σcz）为p1，其相应的孔隙比为e1，建筑物施工后在地基中引起了附加应力σz，则总应力p2=p1+σz，其相应的孔隙比为e2。即单一土层的地基最终沉降量s则由式（2.23）可得
若以压缩系数a表示，则
若以压缩模量表示，则
2.计算所需的资料
计算地基最终沉降量所需的资料包括基础的平面布置型式、尺寸及埋深，荷载的大小与分布，工程地质剖面图，地下水位，土的重度及压缩曲线等。
3.计算步骤
首先根据地基的土质条件、基础类型、基底面积、荷载大小及分布等情况，在基底范围内选定几个沉降计算点，分别按下列步骤计算出各点的沉降量。
（1）将地基分层。一般按每层厚度Hi≤0.4b（b为基础宽度），水闸地基Hi≤0.25b确定。将土层划分为若干水平土层，但当有不同性质土层的界面和地下水位时，则必须作为分层界面。
（2）计算基底压力和基底附加压力。
（3）计算各分层界面处的自重应力σcz和附加应力σz，并绘出它们的分布曲线。
（4）确定压缩层计算深度。考虑到基底下一定深度处，附加应力对地基的压缩变形影响甚微，其下土层的沉降量可以忽略不计。因此，工程中常以基底至这个深度作为压缩层的计算深度，用Zn表示。压缩层计算深度的下限，一般取σz≤0.2σcz处，在该深度以下若有软黏土，则应取σz≤0.1σcz处。
（5）计算各分层的平均自重应力
和平均附加应力
。平均应力取上、下分层面应力的算术平均值，即
。
（6）在e—p曲线上由
和p2i=
查出相应的孔隙比e1i和e2i。
（7）计算各土层的沉降量si及总沉降s。
【例2.4】一水闸基础宽度b=20m，长度l=200m，作用在基底上的荷载如图2.30（a）所示，沿宽度方向的竖向偏心荷载P=360000kN（偏心距e=0.5m），水平荷载PH=30000kN。地基分两层，上层为软黏土，湿重度γ=19.62kN/m3，浮重度γ′=9.81kN/m3，下层为中密砂，地下水位在基底以下3m处。在基底以下0～3m、3～8m、8～15m范围内软黏土的压缩曲线如图2.31中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ所示，试计算基础中心点（点2）和两侧边点（点1、点3）的最终沉降量。
图2.30［例2.4］图（应力单位：kPa；长度单位：m）
解：
（1）地基分层。共分四层，其中：H1=3m、H2=5m、H3=2.5m、H4=2.5m，最大分层厚度为5m=0.25b，符合水闸地基分层要求，如图2.30（b）所示。
（2）计算基底压力和基底附加压力。因l/b=200/20=10＞5，可按条形基础计算。基础每米长度上所受的竖向荷载（F+G）=360000/200=1800（kN/m），所受水平荷载PH=30000/200=150（kN/m），即
竖向基底压力为
基底附加压力为
水平基底压力为
基底压力及基底附加压力分布如图2.30（b）所示。
（3）计算各分层面处的自重应力。
基底处（z=0）σc0=γ0d=19.62×3=58.86（kPa）
地下水位处（z=3m）σc3=19.62×（3+3）=117.72（kPa）
基底以下8m处（z=8m）σc8=117.72+9.81×5=166.77（kPa）
基底以下11.5m处（z=11.5m）σc11.5=166.77+9.81×3.5=201.11（kPa）
中密砂层顶面处（z=15m）σc15=201.11+9.81×3.5=235.44（kPa）
自重应力σcz分布如图2.30（b）所示。
（4）各分层面处的附加应力计算。以基础中心点为例，将竖向基底附加压力分为均布荷载和三角形荷载，其中均布竖向荷载p0=17.64kPa，三角形竖向荷载pt=44.64-17.64=27kPa。此外，水平荷载ph=7.5kPa，各荷载在地基中引起的附加应力计算见表2.11，附加应力分布见图2.30（b）。
表2.11 基础中心点（点2）下的附加应力计算
注 b=20m，x/b=0.5m。
（5）确定压缩层计算深度。当深度z=15m处，附加应力σz=20.73kPa＜0.1σcz=23.5kPa，故压缩层计算深度Zn可取15m。
图2.31［例2.4］图
（6）计算各土层自重应力与附加应力的平均值。第一层自重应力平均值σcz1与附加应力平均值σz1为
同理计算其他各土层的应力平均值，见表2.12。
（7）计算基础中心点的沉降量。由初始应力平均值σczi查图2.31得初始孔隙比e1i，由最终应力平均值（σczi+σzi）查出最终孔隙比e2i，求出各土层的沉降量si，然后求和得到基础中心点的沉降量s，详见表2.12。
表2.12 基础中心点的沉降量计算
按上述同样方法可以计算出点1和点3的沉降量分别为4.3cm和7.2cm。
2.4.2“规范法”计算地基最终沉降量
现行《建筑地基基础设计规范》（GB 50007—2002）所推荐的地基最终沉降量计算方法是修正形式的分层总和法。它也采用侧限条件的压缩性指标，但运用了地基平均附加应力系数计算；还规定了地基沉降计算深度的新标准以及提出地基沉降计算经验系数，使得计算成果接近于实测值。
地基平均附加应力系数
的定义：从基底至地基任意深度z范围内的附加应力分布图面积A与基底附加压力、地基深度的乘积p0z的比值，
A/p0z，也就是A=
。假设地基土是均质的，在侧限条件下的压缩模量Es不随深度而变，则从基底至任意深度z范围内的压缩量s′为
成层土地基中第i层的沉降量si为
则按分层总和法计算地基沉降量的公式为
式中
zi-1、zi——第i层的上层面与下层面至基础底面的距离，m；
——zi-1和zi范围内竖向平均附加应力系数，可查表2.13；
Esi——第i层土的压缩模量，MPa或kPa；
和zi范围内竖向附加应力面积Ai-1和Ai，kPa·m。
表2.13 矩形基础受均布荷载作用下基础中心点下地基平均附加应力系数值
续表
注 l、b为矩形基底的长边与短边；z为基底以下的深度。
地基沉降计算深度Zn应满足下列条件：由该深度处向上取按表2.14规定的计算厚度Δz（图2.32）所得的计算沉降量
应满足下式要求（包括考虑相邻荷载的影响）
表2.14 计算厚度Δz值
按式（2.29）所确定的沉降计算深度下如有较软弱土层时，尚应向下继续计算，直至软弱土层中所取规定厚度Δz的计算沉降量满足上式为止。
当无相邻荷载影响，基础宽度b在1～30m范围内时，基础中心点的地基沉降计算深度，也可按下式简化计算，即
为了提高计算的准确度，地基沉降计算深度范围内的计算沉降量s′尚须乘以一个沉降计算经验系数ψs，即
图2.32 应力面积法计算分层沉降量
式中 ψs——沉降计算经验系数，根据地区沉降观测资料及经验确定，也可采用表2.15的数值（表中fak为地基承载力特征值）；
Esi——基础底面下第i层土的压缩模量，按实际应力段取值，kPa。
表2.15 沉降计算经验系数ψs
表中Es为沉降计算深度范围内压缩模量当量值，应按下式计算
式中ΔAi——第i层土附加应力系数沿土层厚度的积分值，ΔAi=Ai-Ai-1=p0
。
表2.13为矩形基础受竖向均布荷载作用下基础中心点下地基平均附加应力系数αi。对于其他情况的平均附加应力系数，可由《建筑地基基础设计规范》（GB 50007—2002）中查得，这里从略。
【例2.5】某柱基础，基础埋深d=1.5m，基础底面尺寸为4m×2m，上部结构传至基础顶面的荷载F=1190kN，地基土层如图2.33所示。试用“规范法”计算该柱基的最终沉降量。
解：
（1）计算基底附加压力p0。
基底压力
基底附加压力 p0=p-γmd=179-19.5×1.5=150kPa=0.15（MPa）
（2）确定地基沉降计算深度Zn。因为不存在相邻荷载影响，故可式（2.30）估算：
Zn=b（2.5-0.4lnb）=2×（2.5-0.4ln2）=4.445m≈4.5（m）
按该深度，最终沉降量计算至粉质黏土层底面。
图2.33［例2.5］图
（3）确定基础最终沉降计算值s′，见表2.16。
1）求平均附加应力系数
。由l/b=4/2=2，zi/b分别查表2.13得
，计算结果见表2.16。
2）第i层的最终沉降计算值
及最终沉降计算值s′。
s′=∑s′i
计算结果见表2.16。
表2.16 计 算 结 果
3）校核地基沉降计算深度Zn。根据规范规定，由表2.14查得Δz=0.3m，计算出s′n=1.48mm＜0.025s′=1.72mm，表明所取zn=4.5m符合要求。
（4）确定沉降计算经验系数ψs。
设p0=fak由表2.15内插查得：ψs=1.2。
（5）计算柱基的最终沉降量s。
2.4.3 弹性力学公式计算地基最终沉降量
图2.34 集中力作用下地基表面的沉降
假设地基是均质、连续和各向同性的半无限空间线性变形体，根据弹性力学，在半无限空间土体上作用有一竖向集中力P，如图2.34所示，该力在半无限空间内任意点M（x，y，0）的沉降为
式中 s——竖向集中力P作用下地基表面任意点沉降；
r——地基表面任意点到集中力作用点的距离。
由于局部柔性荷载作用下的地基沉降，则可利用式（2.33），根据叠加原理求得。
1.矩形均布荷载基础角点的沉降量
式中 ωc——角点沉降影响系数，由表2.17查取。
表2.17 沉降影响系数ω值
2.矩形均布荷载基础中心点的沉降量
式中 ω0——中心点沉降影响系数，由表2.17查取。
3.矩形均布荷载基础底面的平均沉降量
式中 ωm——平均沉降影响系数，由表2.17查取。
通常为了便于查表计算，把式（2.34）、式（2.35）及式（2.36）统一表达为地基沉降的弹性力学公式的一般形式
式中 b——矩形荷载（基础）的宽度或圆形荷载（基础）的直径；
ω——沉降影响系数，按基础的刚度、底面形状及计算点位置而定，由表2.17查取。
对于中心荷载下的刚性基础，由于它具有无限大的抗弯刚度，受荷沉降后基础不发生挠曲，因而基底范围内各点的沉降量相等，也可用式（2.37）计算，式中ω取刚性基础的沉降影响系数ωr，由表2.17查取。
刚性基础承受偏心荷载时，沉降后基底为一倾斜平面，基底形心处的沉降（即平均沉降）可按式（2.37）取ω=ωr计算；基底倾斜的弹性力学公式如下
式中 θ——基础倾斜角；
P——基底竖向偏心荷载合力；
e——偏心距；
b——荷载偏心方向矩形基底的边长或圆形基础直径；
K——矩形刚性基础倾斜的无量纲系数，按l/b（l为矩形基底另一边长）值由图2.35查取。
图2.35 矩形刚性基础的无量纲系数K
当地基土质均匀时，利用上述公式估算地基的最终沉降量和倾斜是很简便的。但按这种方法计算的结果往往是偏大的，这是因为弹性力学公式假设地基是均质的半无限空间线性变形体得到的，而实际上地基常常是非均质的成层土（包括下卧基岩的存在），即使是均质土，其变形模量E0一般随深度增加而增大。因此，利用弹性力学公式计算沉降的问题，在于所用的E0值是否能反映地基变形的真实情况。如能借助已有建筑物的沉降观测资料，以弹性力学公式反算求得地基土层的E0值，这种数据是很有价值的。通常在整理地基静载荷试验资料时，就是利用式（2.37）反算E0的。对于成层土地基，应取地基沉降计算深度Zn范围内变形模量E0和泊松比μ的加权平均值，即近似地按各土层厚度的加权平均取值。
【思考题】
何谓地基最终沉降量?如何计算地基最终沉降量?
2.4.4 地基变形验算
1.地基变形分类
按地基承载力选定了适当的基础底面尺寸，一般可保证建筑物在防止地基剪切破坏方面具有足够的安全度，但是，在荷载作用下，地基土总是要产生压缩变形，使建筑物产生沉降。由于不同建筑物的结构类型、整体刚度、使用要求的差异，对地基变形的敏感程度、危害、变形要求也不同。因此，对于各类建筑结构，如何控制其不利的沉降形式——称“地基变形特征”，避免不利的沉降形式影响建筑物的正常使用，也是地基基础设计必须予以充分考虑的一个基本问题。
地基变形分类一般分为沉降量、沉降差、倾斜、局部倾斜。
（1）沉降量指独立基础中心点的沉降值或整幢建筑物基础的平均沉降值。
关于单层排架结构，在低压缩性的地基上一般不会因沉降而损坏，但在中高压缩性的地基上，应该限制柱基沉降量，尤其是要限制多跨排架中受荷较大的中排柱基的沉降量不宜过大，以免支承于其上的相邻屋架发生对倾而使端部相碰。
（2）沉降差一般指相邻柱基中心点的沉降量之差。框架结构主要因柱基的不均匀沉降而使结构受剪扭曲而损坏，因此其地基变形由沉降差控制。
（3）倾斜指基础倾斜方向两端点的沉降差与其距离的比值。高耸结构和高层建筑的整体刚度很大，可近似看成刚性结构，其地基变形应由建筑物的整体倾斜控制，必要时应控制平均沉降量。对于有吊车的工业厂房，还应验算桥式吊车轨面沿纵向或横向的倾斜，以免因倾斜而导致吊车自动滑行或卡轨。
（4）局部倾斜指砌体承重结构沿纵向6～10m内基础两点的沉降差与其距离的比值。砌体承重结构对地基的不均匀沉降是很敏感的，其损坏主要是由于墙体挠曲引起局部出现斜裂缝，故砌体承重结构的地基变形由局部倾斜控制。
2.地基变形验算
在地基基础的设计中，一般的步骤是先确定持力层的承载力特征值，然后按要求选定基础底面尺寸，最后（必要时）验算地基变形。地基变形验算的要求是：建筑物的地基变形计算值Δ应不大于地基变形允许值［Δ］，即
地基变形允许值的确定涉及很多因素，如建筑物的结构特点和具体使用要求、对地基不均匀沉降的敏感程度以及结构强度储备等等。《建筑地基基础设计规范》（GB 50007—2002）综合分析了国内外各类建筑物的有关资料，提出了表2.18所列的建筑物地基变形允许值。对表中未包括的其他建筑物的地基变形允许值，可根据上部结构对地基变形特征的适应能力和使用上的要求确定。
按“地基规范”要求，地基基础设计等级为甲、乙级的建筑物，均应进行地基变形验算。但进行地基变形验算必须具备比较详细的勘察资料和土工试验成果，这对于地基基础设计等级为丙级的大量中、小型工程来说，往往不易办到，而且也没有必要。为此，“地基规范”在确定各类土的地基承载力特征值时，已经考虑了一般中、小型建筑物在地质条件比较简单的情况下对地基变形的要求。所以，对满足“地基规范”要求，地基基础设计等级为丙级的建筑物，在按承载力特征值确定基础底面尺寸之后，可不进行地基变形验算。
表2.18 建筑物的地基变形允许值
注 1.本表数值为建筑物地基实际最终变形允许值。
2.有括号者仅适用于中压缩性土。
3.l为相邻柱基的中心距离（mm）；Hg为自室外地面起算的建筑物高度（m）。
【思考题】
地基有哪几种变形特征?如何进行地基变形验算?