任务四　扭转轴的内力分析

一、功率、转速与外力偶矩之间的关系

研究扭转轴的内力,首先必须确定作用在轴上的外力偶矩,而工程中传递转矩的动力机械往往仅标明轴的转速和传递的功率。根据轴每分钟传递的功与外力偶矩所做功相等,可换算出功率、转速与外力偶矩之间的关系为

式中：P为轴传递的功率,单位为千瓦(kW)；n为轴的转速,单位为转/分(r/min)；mx为外力偶矩,单位为牛顿·米(N·m)。

如果功率的单位为马力,则式(3-1)变为

二、扭矩、扭矩图

扭转轴横截面的内力计算仍采用截面法。设圆轴在外力偶矩mx1、mx2、mx3作用下产生扭转变形,如图3-11(a)所示,求其横截面Ⅰ-Ⅰ的内力。①将圆轴用假想的截面Ⅰ-Ⅰ截开,一分为二；②取左段为研究对象,画其受力图如图3-11(b)所示,去掉的右段对保留部分的作用以截面上的内力Mx代替；③由保留部分的平衡条件确定截面上的内力。由圆轴的平衡条件可知,横截面上与外力偶平衡的内力必为一力偶,该内力偶矩称为扭矩,用Mx表示。由平衡条件得

若取右段轴为研究对象[图3-11(c)],由平衡条件得

为了取不同的研究对象计算同一截面的扭矩时,结果相同,扭矩的符号规定为：按右手螺旋法则,以右手四指顺着扭矩的转向,若拇指指向与截面外法线方向一致,扭矩为正[图3-12(a)]；反之为负[图3-12(b)]。

多个外力偶作用的扭转轴计算横截面上的扭矩仍采用截面法。归纳以上计算结果,可由轴上外力偶矩直接计算截面扭矩。任一截面上的扭矩,等于该截面一侧轴上的所有外力偶矩的代数和：Mx＝∑mxi,扭矩的符号仍用右手螺旋法则判断：凡拇指离开截面的外力偶矩在截面上产生正扭矩；反之产生负扭矩。

显然,不同轴段的扭矩不相同。为了直观地反映扭矩随截面位置变化的规律,以便确定危险截面,与轴力图相仿可绘出扭矩图。绘制扭矩图的要求是：选择合适比例将正值的扭矩纵标画在轴线上侧,负值的扭矩画在轴线下侧；图中标明截面位置,截面的扭矩值、单位和正负号。

【例3-3】　传动轴如图3-13(a)所示,主动轮A轮,输入功率PA＝50kW,从动轮B、C、D输出功率分别为PB＝PC＝15kW,PD＝20kW,轴转速为n＝300r/min。试绘制轴的扭矩图。

解：(1)计算外力偶矩。

(2)分段计算扭矩。

BC段：用截面1-1将轴一分为二,取左段为研究对象,画其受力图,假设该截面扭矩为正转向,如图3-13(c)所示。由平衡方程得

计算结果为负,说明假设扭矩转向与实际转向相反,为负扭矩。

CA段：截取2-2截面以左轴段计算扭矩Mx2,其受力图如图3-13(d)所示。

AD段：取3-3截面右段为研究对象,计算3-3截面扭矩[图3-13(e)]。

(3)绘扭矩图。

由于扭矩在各段的数值不变,故该轴扭矩图由三段水平线组成,最大扭矩在CA段,|Mmax|＝0.96kN·m,如图3-13(b)所示。

若将该轴主动轮A装置在轴右端,则其扭矩图如图3-14所示。此时,轴的最大扭矩为|Mmax|＝1.6kN·m。显然,图3-13(a)所示的轮布置比较合理。