任务一　平面汇交力系的合成

如果作用在物体上各力的作用线都在同一平面内,而且相交于同一点,则该力系称为平面汇交力系。例如,起重机起吊重物时[图2-1(a)],作用于吊钩C的三根绳索的拉力F、FA、FB都在同一平面内,且汇交于一点,组成平面汇交力系[图2-1(b)]。又如,图2-2所示的桁架的结点作用有F1、F2、F3、F4四个力,且相交于O点,也构成平面汇交力系。

平面汇交力系的合成可采用几何法和解析法。这里仅讨论以力在坐标轴上的投影为基础的解析法。

一、力在平面直角坐标轴上的投影

如图2-3所示,在力F作用的平面内建立直角坐标系xOy。由力F的起点A和终点B分别向x轴引垂线,得垂足a、b,则线段ab冠以适当的正负号称为力F在x轴上的投影,用Fx表示,即Fx＝±ab；同理,力F在y轴上的投影Fy＝±a'b'。

投影的正负号规定如下：若从起点到终点的方向与轴正向一致,投影取正号；反之,取负号。由图2-3(a)、(b)可知,投影Fx和Fy可用式(2-1)计算：

式中：α为力F与x轴正向所夹的锐角。

力在轴上的投影为代数量,投影的大小等于力的大小乘以力与轴所夹锐角的余弦,其正负可根据上述规则直观判断确定。

图2-3(a)、(b)还画出了力F沿直角坐标轴方向的分力Fx和Fy。应当注意的是,力的投影Fx、Fy与力的分力Fx、Fy是不同的,力的投影只有大小和正负,它是标量；而力的分力是矢量,有大小,有方向,其作用效果还与作用点或作用线有关。当Ox、Oy轴垂直时,力沿坐标轴分力的大小与力在轴上投影的绝对值相等,投影为正号时表示分力的指向和坐标轴的指向一致,而当投影为负号时,则表示分力指向与坐标轴指向相反。

【例2-1】　已知F1＝100N,F2＝50N,F3＝60N,F4＝80N,各力方向如图2-4所示。试分别求出各力在x轴和y轴上的投影。

解：由式(2-1)可求出各力在x、y轴上的投影：

二、合力投影定理

设刚体受一平面汇交力系F1、F2、F3作用,如图2-5(a)所示。在力系所在平面内作直角坐标系xOy,从任一点A作力多边形ABCD,如图2-5(b)所示。图中：,。各分力及合力在x轴上的投影分别为

由图可知

由此可得

同理,合力与各分力在y轴上的投影关系是

将上述关系推广到由n个力F1,F2,…,Fn组成的平面汇交力系,则有

合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上的投影的代数和。这就是合力投影定理。

三、平面汇交力系的合成

由多边形法则可知,平面汇交力系可以合成为通过汇交点的合力,现用解析法求合力的大小和方向。设有平面汇交力系F1,F2,…,Fn,如图2-6(a)所示,在力系所在的平面内任意选取一直角坐标系xOy,为了方便,取力系的汇交点为坐标原点。应用合力投影定理,即式(2-2)可求合力在正交轴上的投影FRx和FRy。由图2-6(b)中的几何关系,可得出合力FR的大小和方向为

式中：α为合力FR与x轴所夹的锐角,合力的指向由∑Fx和∑Fy的正负号决定,合力作用线通过力系的汇交点。

【例2-2】　求图2-7所示平面汇交力系的合力。

解：取直角坐标系如图2-7所示,合力FR在坐标轴上的投影为

因FRx、FRy均为负值,所以FR在第三象限,如图2-7所示。