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项目2　运动水流的计算

任务2.1　恒定流连续方程的应用

技能要求：能熟练运用恒定流连续性方程进行水力计算。

【工程项目2.1】　在管道工程中常常见到如图2.1所示的过流断面发生变化的情况，此时往往需要由已知的断面直径和测得的流量计算各断面上的平均流速。如已知d1＝300mm，d2＝200mm，Q＝0.3m3/s，则两断面平均流速v1、v2各是多少？

液体运动和其他物质运动一样，也必须遵循质量守恒定律。恒定流连续方程，实质上是质量守恒定律在水流运动中的具体表现，它是液体运动三大规律之一，是解决液体运动各种问题的基础。为便于更深入研究和认识液体的运动规律，在应用恒定流连续方程进行计算之前，先了解液体运动的基本知识。

2.1.1　液体运动的基本知识

2.1.1.1　描述水流运动的两种方法

水力学中把水流看作是由无数质点构成的连续介质，描述液体运动就是研究液体质点随时间和空间位置变化时的情况。我们把运动液体所占用的空间称流场，把液体运动的流速、压强、加速度等称为流动要素（或水力要素）。水力学中描述水流运动通常采用的有迹线法和流线法。

1.迹线法

迹线法又叫拉格朗日（Lagrange）法，是以单个质点作为研究对象，通过对每个水流质点运动规律的研究来获得整个水流运动的规律性。这种方法实际上就是力学中用于研究质点系的方法，所以该法也称为质点系法。

2.流线法

流线法又叫欧拉（Euler）法，是以通过流场中固定空间点的水流质点为研究对象，研究水流流经各空间点时的流动特征。水流运动时在同一时刻每个质点都占据一个空间点，只要搞清楚每个空间点上运动要素随时间的变化规律，就可以了解整个水流的运动规律了，所以流线法还称为流场法。

迹线法与流线法的主要区别在于描述水流运动时着眼点不同。迹线法着眼于水流质点，而流线法则着眼于水流运动时所占据的空间点，不考虑该点是哪个水流质点通过。在实际工程中，一般需要了解在某位置上的水流运动情况，没有必要研究每个质点的运动轨迹，所以水力学中常采用流线法来描述水流运动。

2.1.1.2　水流运动的基本概念

1.迹线与流线

迹线是某一液体质点在连续运动过程中所占空间位置随时间连续变化的轨迹，亦即质点在流场中的运动轨迹，显然它是拉氏法研究液体运动时引出的概念。水力学很少使用欧拉法研究液体运动，所以迹线的概念使用较少。

图2.2　流线绘制示意图

表示某一瞬时流场中各质点流动方向的曲线称为流线。流线的绘制方法如图2.2所示。在某一时刻t，位于流场A1点水流质点的流速矢量为u1，在矢量u1上取微小线段Δl1得到A2点。在同一时刻t，绘出A2点的流速矢量u2。同样，在流速矢量u2上取微小线段Δl2得到A3点，再绘出A3点在同一时刻t的流速矢量u3。依次绘制下去，就得到一条折线A1—A2—A3—……若折线上相邻各点的距离趋近于零，则该折线将成为一条曲线，此曲线就是t时刻通过流场中A1点的一条流线。同样，可以绘出该时刻通过流场中另外一些空间点的流线，这一簇流线形象地描绘出该时刻整个流场的流动趋势。

根据流线的概念，可知流线有以下特征：

（1）任意两流线不相交，流线也不能是一条折线，而只能是一条光滑的连续曲线。因为线上所有各质点的切线方向代表了该点的流动方向，一个水流质点只能有一个流动方向。

（2）恒定流的流线形状不随时间变化，且流线与迹线重合。这是因为在恒定流中，运动要素不随时间变化，故不同时刻的流线，其位置和形状保持不变。而非恒定流由于运动要素随时间而变化，其迹线一般与流线不重合。

图2.3　溢流坝流线图

某一时刻在运动液体的整个空间绘出的一系列流线所构成的图形，称为流线图，它可以形象地描绘该时刻整个液流的流动趋势。图2.3是水流经过溢流坝时的流线图。由图可以看出，流线图形具有两个特点：①流线的疏密程度反映了流速的大小。流线密的地方流速大，流线稀的地方流速小。②流线的形状与固体边界的形状有关，离边界越近，边界对流线形状的影响越明显。

应该强调，流线不仅是形象地描述流场，便于深入理解液体运动区别于固体运动的基本概念，也是实际应用中将流动分类、定义流动要素的基础，是水力学中最重要的概念之一。

2.流管、元流与总流

在流场中垂直流动方向取一微小封闭曲线，在同一时刻，通知过曲线上的每一点可以绘出一条流线，这许多流线构成的封闭管状曲面，称为流管，如图2.4所示。因为流线不能相交，所以流管内外的水流不可能穿越管壁流动。

图2.4　流管

图2.5　微小流束

充满以流管为边界的一束液流，称为微小流束或元流，微小流束的横断面是一个无限小的面积单元，用dA表示，如图2.5所示。因dA很小，可近似认为其上各点的运动要素在同一时该是相等的。

由无数元流组成的、具有一定边界尺寸的实际水流，称为总流，如管流和明渠水流等。

图2.6　过水断面

3.过水断面、流量与平均流速

与微小流速或总流的流线正交的橫断面称为过水断面。过水断面的形状可以是平面，也可以是曲面。当流线互相平行时，过水断面为平面，否则为曲面，如图2.6所示。

单位时间内通过某一过流断面的液体体积称为流量，以符号Q表示，单位为m3/s或L/s（升/秒）表示。流量是衡量过水断面输水能力大小的一个物理量，假设在总流中任取一微小流束，其过水断面面积为dA，dA上同一时刻各点的流速相等，都为u，则单位时间内通过微小流束过水断面的流量（即元流流量）为

dQ＝udA

总流的流量Q，应等于所有微小流束流量dQ的总和，即

在总流过水断面上各点的流速u大小不相同，一般在近壁处较小，且断面流速分布又十分复杂。为使研究方便，实际工程中通常引入断面平均流速的概念。

图2.7　总流过断面平均流速

设想过水断面上各点的流速都均匀分布，且等于v，如图2.7所示。按这一流速计算所得的流量与按各点的真实流速计算所得的流量相等，则把流速v定义为该断面的平均流速，即

可见，总流的流量Q等于断面平均流速v与过水断面面积A的乘积。断面平均流速的概念，使对水流运动的分析得以简化。因为在实际应用中，有时并不一定需要知道总流过水断面上的流速分布，仅需要了解断面平均流速沿流程与随时间的变化情况。

2.1.1.3　水流运动的类型

1.恒定流与非恒定流

如图2.8所示的水箱小孔出流。若在泄流的同时，不断向水箱内充水，保持箱内水位不变［图2.7（a）］，可观察到：无论经过多长时间，孔口出流形状、流速和压强均保持不变；但若不向水箱中充水，则结果是：随着出流时间的增加，水箱中的水位不断下降，泄流形状、流速和压强都随时间而变化［图2.7（b）］。

图2.8　恒定流与非恒定流

在水力学中，将流场中各空间点上的任何流动要素均不随时间而变化的流动称为恒定流，否则为非恒定流。显然图2.8（a）的流动为恒定流，而图2.8（b）的流动则为非恒定流。

非恒定流比恒定流复杂得多，实际中绝对的恒定流是不存在的。但工程中的大多数流动，其流动要素随时间的变化都很缓慢，或者在一定时段内各运动要素的平均值不变，所以都可以恒定流来处理。显然恒定流的流线与迹线相重合，而非恒定流的流线在不同瞬时是不同的。本书主要讨论恒定流问题。

2.均匀流与非均匀流

在恒定流中，根据水流的运动要素是否沿程变化，可将水流分为均匀流与非均匀流。

凡位于同一流线上各液体质点流速的大小和方向均沿程不变（即流场地中流线相互平行）的流动，称为均匀流，否则为非均匀流。例如在等截面长而直的管道或渠道中流动的水流，属于均匀流；而在断面变化、转弯的管道或断面沿程变化的天然河道中流动的水流则为非均匀流。

3.渐变流与急变流

在非均匀流中，根据流线的不平行和弯曲程度，可将水流分为渐变流和急变流，如图2.9所示。

当流线之间夹角较小或流线曲率半径较大，各流线近似为平行直线时，称为渐变流，它的极限情况为均匀流。当流线之间夹角较大或流线曲率半径较小，这种非均匀流称为急变流。

应当指出渐变流和急变流之间没有明确的区分界限，这是因为流线的形状与水流的边界条件有密切关系。一般来说，边界为近似平行直线的流段，水流往往是渐变流；边界变化急剧的流段，水流都是急变流。实际工程中是否将非均匀视为渐变流，主要取决于对计算结果精度的要求。

图2.9　渐变流与急变流

渐变流与均匀流时的水流受力情况基本一致，其同一过水断面上的动水压强分布规律也符合静水压强分布规律，即同一过水断面上各点的测压管水头相等。但是对于急变流，过水断面上的动水压强分布规律不再服从静水压强分布规律。

4.有压流与无压流

液体沿流程无自由液面的流动称为有压流；有自由液面的流动称为无压流。有压流只能发生在充满水流的封闭管道里，如自来水管、水电站的压力管道中的水流。无压流具有自由表面，表面受大气压力，如渠道、河流以及未充满管道的水流。

5.一元流、二元流与三元流

水流运动时，按照运动要素在三维空间坐标上的变化情况，可将水流流动分为一元流、二元流和三元流。

如果水流中任一点的运动要素仅是空间一个坐标的函数，这种流动称为一元流。微小流束就是一元流。

如果水流中任一点的运动要素是空间二个坐标的函数，这种流动称为二元流。例如，水流在宽浅的矩形明渠中流动，当两侧边界对流动的影响忽略不计时，水流中任一点的流速只与决定该点所在断面位置的流程坐标和该点距渠底的铅垂距离有关，属于二元流。

如果水流中任一点的运动要素是三个空间坐标的函数，则称这种流动为三元流。例如，水流经过突然扩散的矩形明渠时在扩散以后的较长范围内，水流中任意点的流速不仅与过水断面的位置有关，还与该点的垂直位置坐标和横向坐标有关，属于三元流。

严格地说，实际工程中的水流运动一般都是三元流。用三元流来分析，使得问题非常复杂，还会遇到许多数学上的困难。目前，水力学常采用理论与实践相结合的方法，在满足实际工程要求的前提下，设法将三元流简化为一元流或二元流，由此而引起的误差，可通过修正系数加以校正。本教材主要研究一元流。

2.1.2　恒定总流连续性方程及应用

水流同其他物质一样，在运动过程中必须遵循质量守恒定律。恒定总流的连续性方程，实质上是质量守恒定律在水流运动中的具体表现。

在恒定总流中任取一段微小流束作为研究对象，如图2.10所示。设过水断面1—1和断面2—2的面积分别为dA1和dA2，相应的流速为u1和u2。由于液体一般可视为不可压缩的连续介质，其密度ρ为常数；恒定流中，元流的流线的位置和形状不随时间变化；流管四周都由流线组成，不可能有水流穿越流管，水流只能由两端的过水断面流入或流出。所以，根据质量守恒定律，在dt时段内由断面1—1流入的水流质量，等于由断面2—2流出的水流质量，即

ρ1u1dA1dt＝ρ2u2dA1dt

化简得