1.9 有限元方法简介

1.9.1 有限元基本理论简介

有限元方法的数学原理是泛函变分原理或是方程余量与权函数正交化原理。对一般给定的问题，如果能找到相关泛函，则可以建立起泛函极小的变分表达式；对比较复杂的水利水电工程，不论是结构工程还是计算流体力学问题（例如水库大坝溃坝、大坝、土石坝渗流、边坡稳定、地下工程安全、泥石流、河水流动、海潮等）无法获得泛函。通常是从它所对应的微分方程出发，根据方程余量或者是加权函数正交化原理，建立起加权余量积分表达式。有限元方法是将一个连续的求解域任意划分成适当形状的许多微小单元，并且各小单元分片构造插值函数，然后根据极值原理［变分法（Variational methods）或加权余量法（Weighted reidual methods）］，将问题的数学模型转化为所有单元上的有限元方程，把总体的极值作为各单元极值之和，形成嵌入了指定边界条件的代数方程组，求解该方程就获得各节点上待求的函数值。即有限元方法离散求解的主要思想是“分块逼近”。如果属于流动问题，就将流场的求解域剖解分成有限个互不重叠的子区域，将之称为单元；在每个单元体内，选择若干个合适的点作为求解函数的插值点，称之为结点；单元中的求解函数将由一种规则化的线性组合来代替，线性组合的系数正是求解函数在结点的函数值（或是导数值）。如此处理，对单元体积分就得到单元有限方程，通过累加可以获取总体有限元方程。通过求解总体有限元方程，即可以计算出所有结点上的函数值。有限元模拟仿真的基本步骤为：

（1）写出积分表达式。根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式。

（2）区域剖分。根据求解区域的形状以及实际问题的物理特点，将求解区域剖解分成若干大小合适、形状规则的单元，并确定单元的结点数目与位置，然后对单元、结点按一定的要求进行编号。结构的离散化是有限元方法分析的基础，即把求解的区域或实体剖分成网格，把整体离散为各个单元，单元之间依赖于连续条件和平衡条件协调，单元的具体形态要依赖于计算精度、计算时间和结构或区域的特性来确定。

（3）确定单元基函数。根据单元中结点数目及对近似解可微性要求，选择满足一定插值条件的插值函数为单元的基函数。选择位移函数即选择合适的位移函数来近似地模拟结构或区域的实际应力分布，位移函数选择的好坏将直接影响到计算结果，在有限元方法中大多采用多项式作为位移函数。单元刚度矩阵的形成主要取决于位移模型、单元几何形状和材料本构关系。平面的单元刚度矩阵可以表述如下：

式中 t——单元厚度；

［D］——单元本构关系矩阵；

［B］——单位应变矩阵。

（4）单元分析。单元分析是为了建立单元有限元方程。将单元中的近似解表示为单元基函数的线性组合，再将它代入积分表达式中，并在其单元区域进行积分，就能获得含待定系数的代数方程组（或是常微分方程组），将之称为单元有限元方程。如果是结构分析，即把结构上受的各种力转换到单元的各个结点上，以集中力的形式出现。

（5）总体合成。总体合成是指将区域中所有单元有限元方程按照一定的法则进行累加处理，形成总体有限元方程。其实质是将剖解的单元积分表达式重新合起来，构建总体区域上的积分表达式，该方程式中的未知数即是求解函数在各结点上的参数（函数值或是导数值）由（3）形成的单元刚度矩阵［K］^e，根据单元的连接情况来集成总体刚度矩阵，然后由有限元基本方程Ka=P即可求得位移向量。

（6）边界条件的处理。

（7）解总体有限元方程，计算有关物理量。根据本质边界条件修正得到的总体有限元方程，是含有全部未知待定量的封闭方程组，可以采用合适的数值计算方法进行求解，当获取所有待求量后，即可得到近似解的表达式，再根据其他条件计算相关的物理量。即计算由（5）求得的位移向量，再由公式{σ}=［S］{a}即可求得结点和单元应力。其中，［S］为应力矩阵。

1.9.2 水利工程中的有限元分析建议

任何仿真软件只是工具，不能帮助分析问题，使用ANSYS软件也是一样，只有对模拟对象有清楚的认识（物理、力学或数学概念），才会得到令人满意的仿真结果，对模拟结果要有辨别和分析能力。切忌不假思索就开始建立几何模型、划分网格、输入材料、定义边界条件和载荷、启动求解，最后看见模拟分析收敛打印一系列云图、画几张趋势曲线、书写报告就万事大吉。就仿真而言，面对一个具体工程对象，要对其进行仿真分析时，应该依次思考并解决好以下几个关键性问题。

1.明确工程模拟分析目的

应该明确所关心的是水利工程本身研究目的，研究对象不同分析方法也就存在差异。对于结构问题比较主要研究结构本身的强度（应力、疲劳）、刚度（位移和载荷关系）、稳定性等，而且结构类型不一样研究重点也不一样。

2.选取适当的数学分析模型

水利工程中结构分析类型包括静力分析、模态分析、瞬态分析、动态分析、振动分析。虽然我们分析的水利工程结构往往处于运动状态中，但是并非只要研究对象是运动的，就一定要用动态分析。事实上，静力学分析建模过程更简单，不确定因素更少，更容易得到可靠的结果，完成静力学分析后获得感性的认识后再做动力学分析。对待振动、冲击、高速撞击、碰撞、有加速度、有流体力学作用，或受力情况比较复杂的情况的分析，还是建议先做静力学分析。

3.选取适当的建模对象

水利水电工程的研究尺度比较大，根据建模中控制规模的原则，建模时可遵循以下几个原则：

（1）尽量选取所关心的主要结构为研究对象。

（2）去掉或简化对分析结果影响很小的结构或环境因素。

（3）在模型中的结构或模型之外的结构的交界处应定义适当的边界条件和载荷。

4.建立合理的几何模型

虽然建议选用成熟、先进、可靠的CAD建模软件，能够建立出与水利工程结构的每个细节相符的几何模型，但是建模时要抓住主要的，放弃次要的。具体原则是：根据研究目的简化模型时，判断结构在模型中的尺寸比例，如果是“远远小于”结构主体，就忽略。例如针对整个水利枢纽工程优化仿真而言，水轮机的叶片上的焊缝往往应该忽略，因为研究目的是水利枢纽的整体而不是水轮机；如果研究目的是仿真水轮机性能或是工况效率，焊缝是不能忽略的，即使研究对象是全流道（整机）焊缝也是要考虑的。

5.划分合理的网格

在仿真过程中，会花费很多时间去学习几何模型，而相比较而言很少有人花时间去研究网格划分，甚至有些用户常常对整个模型划分均匀网格，这是不合理的安排，也是不可取的。因为采用这样的方法会造成一些重要的部位（应力集中处、大变形处、流动不规则处等）的网格过粗，可能结果不准确，甚至不会收敛，其他部位网格划分较细，计算仿真时浪费了大量的时间和电脑资源。所以不论采用什么样的软件平台，均要学习软件网格划分方法，合理创建仿真有限元模型。

6.选择适当的材料并适当修改其参数属性

水利水电工程仿真过程中会涉及到多种材料的模型，有时同一种材料，力学、温度等性能也存在一定的差异。弹塑性分析的收敛难度和计算时间均会高于线弹性模拟仿真。所以在水利工程仿真过程中，一定要认真定义材料属性。比如在分析碾压混凝土大坝强度分析时，同样要对常规混凝土与碾压混凝土分区材料进行分别定义（大坝混凝土、防渗混凝土、结构混凝土）。

7.合理定义和简化模型边界条件、载荷和相互作用

前文中说水利工程属于复杂的系统工程，不仅在几何模型、定义材料、网格划分过程中进行合理的简化处理，同样需要在定义边界条件和载荷过程中进行合理的处理。水利工程中，边界条件很多是动力学边界，动载荷也是常见的，水流均为紊流，温度载荷在仿真过程中不断变化等，真实的多孔介质流动过程需要简化，流固问题、热固问题、渗流场和温度场以及应力场相互作用。总之，水利工程动态系统仿真时需要占用大量的时间和计算资源的，为不同的研究仿真目的，我们应该合理定义模型边界条件、载荷和相互作用，甚至需要必要的简化。

8.掌握评价模拟过程和能分析仿真结果

虽然依据软件操作均会得到一定的云图、趋势曲线和仿真数据，但是结果的正确性需要读者去评价，也需要读者对仿真结果进行理解评价，甚至要对仿真过程作出合理的预测，对出现的错误进行排除，提出正确的调整方案。初步判断模拟结果后，与实验数据和相关理论知识相比较，得出较为正确合理的评价。同时，如果条件成熟的话，可以用模拟结果去指导实践研究，对实践研究进行预测。相反，通过一定的试验数据来论证仿真模拟的合理性、正确性和准确性。最终是仿真模拟研究与试验研究、实践应用相互支撑，相互提高。

9.优化和改进水利工程设计、生产实际和应用

水利工程在整个经济社会中永远是基础设施工程，求知不止的人类不会停止对水利工程的研究，应用模拟仿真方法来研究水利工程也是新时期的产物，所以应用软件不仅仅是为了仿真而仿真，我们还应该要有服务工程的意识和责任。

水利水电工程有限元仿真方法及其分析流程图如图1.9所示。

图1.9 有限元分析流程图