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任务四 能量方程的应用条件及应用举例
一、能量方程的应用条件及注意事项
1.应用条件
实际液体恒定总流的能量方程是水力学三大方程之一,能解决很多工程实际问题。从该方程的推导可以看出,能量方程式(3-11)有一定的适用范围,应满足以下条件:
(1)水流必须是恒定流、均质不可压缩,且总流量沿程不变。
(2)所取过水断面1—1、2—2应在均匀流或渐变流区域,符合断面上各点测压管水头等于常数,且作用的质量力只有重力等条件,但两个断面间可以是急变流。
(3)所取过水断面1—1和过水断面2—2之间,除了水头损失以外,没有其他机械能的输入与输出。
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因总流能量方程中各项均指单位重量液体的能量,所以在水流有分支或汇入的情况下,仍可分别对每一支水流建立能量方程式。
对于汇流情况[见图3-8(a)],可建立断面1—1与断面2—2和断面3—3与断面2—2的能量方程如下:
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对于分流情况[见图3-8(b)]可建立断面1—1与断面2—2和断面1—1与断面3—3的能量方程如下:
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2.注意事项
为了更方便快捷地应用能量方程解决实际问题,能量方程在应用时应注意以下几点:
(1)列能量方程必须按照“三选一列”的原则,“三选”,即选“1—1、2—2两个计算断面”、选“计算点”、选“基准面”,“一列”即对所选计算点列能量方程。
(2)基准面可以任意选取,但必须是水平面且方便计算。在同一方程中,对不同断面位置水头必须对应同一基准面。
(3)两个计算断面必须选在均匀流或渐变流段,而且要选在已知条件较多处。一般计算点选在水平面或管轴线上。
(4)为简化计算,一般采用相对压强,也可采用绝对压强,但必须保证方程两边压强标准一致。
(5)不同过水断面上的动能修正系数α是不相等的,且不等于1.0。但在实际计算中,对于均匀流和渐变流,一般α1=α2=1.0。
应用能量方程式还应具体问题具体分析,若方程中同时出现较多的未知量, 应考虑与其他方程联立求解。
【例3-3】 如图3-14所示为水流流经溢流坝前后的水流纵断面图。设坝的溢流段较长,上下游每米宽的流量相等。当坝顶水头为1.5m时,上游断面1—1的流速v1=0.8m/s,坝址断面2—2的水深为0.42m,下游断面3—3处的水深为2.2m。
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图3-14
(1)分别求断面1—1、断面2—2、断面3—3处单位重量水体的势能、动能和总机械能。
(2)求断面1—1至断面2—2的水头损失和断面2—2至断面3—3的水头损失。
【解】 (1)列断面1—1和断面2—2连续性方程:
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列断面1—1和断面3—3连续性方程:
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以河床底部为基准面,计算点选在自由表面上,取α1=α2=α3=1.0,计算每个断面能量。
断面1—1:
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(2)计算水头损失:
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【例3-4】 如图3-15所示为一变直径的管段AB,dA=0.2m,dB=0.4m,高差Az=1.5m,今测得pA=30kN/m2,pB=40kN/m2,B点处断面平均流速vB=1.5m/s,求A、B两断面的总水头差及管中水流流动方向。
【解】 由连续方程vAAA=vBAB,得
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A、B两断面总水头差为(以A点所在水平面为基准面)
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图3-15
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图3-16
因此,B点总水头大于A点总水头。水流从B向A流动。
【例3-5】 自流管从水库取水(见图3-16),已知H=12m,管径d=100mm,水头损失,求自流管流量Q。(忽略上下游水流流速)
【解】 取下游水面为基准面,取如图两个计算断面即断面1—1和断面2—2。
列断面1—1和断面2—2的能量方程:
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3.知识延伸
在实际工程中,有时会遇到沿程两个断面有能量输入与输出的情况,如水泵向水流提供能量,把水提到一定高度,水轮机从水流获得能量,带动发电机发电等。
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图3-17
(1)有能量输入时的能量方程:如图3-17所示,在管道系统中有一水泵,水泵工作时,通过水泵叶片转动对水流做功,使水流能量增加。设单位重量水体通过水泵后所获得的外加能量为Ht,则总流的能量方程修改为
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当不计上下游水池流速时,有
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式中:z为上下游的水位差;hw1-2为断面1—1和断面2—2之间全部管道的水头损失。
单位时间内动力机械给予水泵的功称为水泵的轴功率Np;设单位时间内通过水泵的水流重量为γQ,所以水流在单位时间内由水泵获得的总能量为γQHt,称为水泵的有效功 率。由于水流通过水泵时有漏损和水头损失,再加上水泵本身的机械磨损,所以水泵的有效功率小于轴功率。两者的比值称为水泵的效率ηp,故
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式中γ的单位是N/m3,Q的单位是m3/s,Ht的单位是m,Np的单位是W(即N·m/s)。
(2)有能量输出时的能量方程:如图3-18所示,在管道系统中有一水轮机,由于水流驱使水轮机转动 .对水力机械做功,使水流能量减少。设单位重量水体给予水轮机能量为Ht,则总流的能量方程修改为
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图3-18
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式中:Ht为水轮机的作用水;hw1-2为断面1—1和断面2—2之间全部管道的水头损失,但不包括水轮机系统内部的能量损失。
由水轮机主轴发出的功率又称为水轮机的出力Nt。单位时间内通过水轮机的水流重量为γQ,所以单位时间内水流对水轮机作用的总能量为γQHt。由于水流通过水轮机时有漏损和水头损失,再加上水轮机本身的机械磨损,所以水轮机的出力要小于水流给水轮机的功率。两者的比值称为水轮机的效率ηt,故
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式中γ的单位是N/m3,Q的单位是m3/s,Ht的单位是m,Nt的单位是W(即N·m/s)。
二、能量方程应用举例
在实际工程中,某些水力要素无需利用基本公式来推算,而是可以直接用工程用仪器直接测出,下面我们就来介绍测量流速的毕托管和测量流量的文德里流量计。
1.毕托管测流速
毕托管是常用的测量流体点流速的仪器,用以测量流速水头和流速,它是亨利·毕托在1703年首创的,其测量流速的原理就是能量转化和守恒原理。若在运动液体(如管流)中放置一根测速管,如图3-19所示,它是弯成直角的两端开口的细管,一 端正对来流,置于测定点B处,另一端垂直向上。B点的运动质点由于测速管的阻滞,因而流速等于零,动能全部转化为压能,使得测速管中液面升高为。B点称为滞止点或驻点。在B点上游同一水平流线上相距很近的A 点未受测速管的影响。流速为u,其测压管高度
可通过同一过水断面壁上的测压管测定。应用恒定流理想液体沿流线的伯努利方程于A、B两点,有
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图3-19
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由此说明了流速水头等于测速管与测压管的液面差hw。这是流速水头几何意义的另一种解释。
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图3-20
根据这个原理,可将测压管与测速管组合制成一种测定点流速的仪器,称为毕托管。其构造如图3-20所示,其中与前端迎流孔相通的是测速管,与侧面顺流孔(一般有4~8个)相通的是测压管。考虑到实际液体从前端小孔至侧面小孔的黏性效应,还有毕托管放入后对流场的干扰,以及前端小孔实测到的测速管高度f不是一点的值,而是小孔截面的平均值,所以使用时应引入修正系数ζ,即式中ζ值由实验测定,一般约为0.98~1.0。
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2.文德里流量计
文德里流量计是用于测量管道中流量大小的一种装置,包括收缩段、喉管和扩散段三部分,安装在需要测定流量的管道中。在收缩段进口前断面1—1和喉管断面2—2分别安装测压管,如图3-21所示。通过测量断面1—1和断面2—2测压管水头差值,就能计算出管道通过的流量Q,其原理就是恒定总流的能量方程。
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图3-21
取管轴线0—0为基准面,列断面1—1和断面 2—2 的能量方程(α1=α2=1.0),有
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由于实际液体存在水头损失,将会使流量减小,因而应引入一系数加以修正,则实际流量公式为
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式中:μ为流量系数,一般取0.95~0.98。
如果断面1—1和断面2—2的动水压强很大,这时可在文德里管上直接安装水银压差计,如图3-22所示。
由压差计原理可知
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图3-22
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图3-23
【例3-6】 如图3-23所示断面突然缩小的管道,已知d1=200mm,d2=150mm,Q=50L/s,水银比压计读数h=500mmHg,求hw。
【解】 渐变流端断面选为断面1—1和断面2—2。
建立能量方程:
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(1)由连续方程计算得
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(2)由水银比压计公式计算得
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