第二节 水工结构设计的优化理论
一、基本概念
人类通过工程实践，很早就产生了优化设计的思想。人们总是希望在给定的荷载条件下得到在技术经济上尽量符合理想的设计方案。为了达到这个目的，传统上采用重复设计法。根据已有的经验，加上设计者的判断，拟出初步方案，然后进行结构的强度、刚度和稳定性的计算分析。再根据成果来修改设计方案，对修改后的方案再进行计算，再修改。这样反复计算、修改，直到得出满意的设计方案为止。
这样的设计方法有两方面的缺陷：一方面，设计繁复冗长，效率很低；另一方面，最终方案太受初始方案的影响，并且在很大程度上取决于设计者的经验，因此最终方案并非单纯由工程客观条件所决定的最优方案。
结构优化设计就是在可行域中用优化的方法，去搜索所有的设计方案，并从中找出最优设计方案，在满足结构的使用要求和经济（约束条件）的要求下，使各结构或构件中的各几何参数得到最好的协调。
广义的结构优化研究包括：结构尺寸优化、形状优化、拓扑优化、布局优化、动力结构优化等。
影响结构设计的控制因素（约束条件）主要有：①结构正常工作应满足的条件，如应力、稳定、变形等；②结构在施工期应满足的条件，如浇筑能力、散热要求等；③结构在运行期应满足的条件，如变形不能过大，操作使用方便等。
水工结构设计优化应分为3个阶段：
（1）建立数学模型，抓住主要影响结构设计的因素，将工程实际问题转化为数学问题。
（2）选择合理有效的优化计算方法。
（3）编制计算程序求解。
二、结构优化的数学模型
1.给定参数
预先给定的描述结构特征的参数在优化过程中始终保持不变，如弹性模量、容重等，均属设计常数；在水工结构优化设计中，坝高、坝址可利用基岩面等高线、坝体和坝基的材料特性、设计荷载也都属于设计常数。
2.设计变量
结构的设计方案是由一组设计变量来描述的。设计变量（自变量）是在优化设计过程中，需要选择、寻求的描述结构特征的量。寻优的目的就是寻求一组设计变量，使得设计方案逼近最好。
为了便于矩阵运算，通常用x1、x2、x3、…、xN表示一组设计变量，并构成一个向量
x=［x1x2x3…xN］T
一个设计向量代表一个设计方案，N个设计向量组成设计空间，一个设计向量在相应的设计空间中可用一个点表示。在设计空间中，每个满足约束条件的点，对应着一个目标函数值，结构优化的本质就是要找到对应目标函数值最小的点。
设计变量可以是连续的，也可以是离散的。一般采用连续设计变量表达式描述拱坝体形，采用离散设计变量描述重力坝和土石坝剖面体形。
3.目标函数
优化的总目标可以是结构的体积、造价或变形最小，目标函数是设计变量的函数，通常用V（x）表示。
4.约束条件
优化设计所必须满足或遵循的条件和要求，由设计规范、计算规程确定。如强度、刚度、稳定、构造要求等。通常有：
（1）几何约束。主要是对描述结构形状的设计变量的限制，对它们取值范围的约束，如大坝的坝顶宽度、重力坝的上下游坡度、拱坝的中心角等。这些设计变量的取值范围，可以依据以往的工程经验、设计规范及运用管理的要求确定。
（2）性态约束。对结构在工作中运行性能的要求。主要表现为在外部荷载作用下，对结构显示的力学性能的要求，即要求结构的稳定或强度等满足设计规范的要求。如应力约束，在采用有限单元法进行结构分析时，有
式中：［K］为总体刚度矩阵；{δ}为结点位移；{F}为荷载矩阵。
解式（5-22）可得
{δ}=［K］-1{F}
水工结构有些部位的变形是有一定限制的，可以给出位移约束表达式
式中：δ（s）为s点在荷载作用下的位移；u（s）为s点的容许位移。
约束条件通常用等式约束和不等式约束表示。
（1）等式约束。
hj（x）=0 j=1，2，…，n
（2）不等式约束。
gj（x）≤0 j=n+1，n+2，…，n+m
一个等式约束即是一个条件等式，也就是减少了目标函数的一个自由度，等式约束越多，目标函数的自由度越少。如果全部为等式约束，问题就成为定解问题，而不是优化问题了。因此，在优化问题中存在不等式约束是必要的。
结构优化设计是根据给定的参数，求解满足全部约束条件，并使目标函数取最小值的设计变量的解。
用数学模型表达为
极小化 V（x）
式中：hj（x）、gj（x）是x的函数。
三、结构优化的解法
1.简单解法
简单解法可以采用图解法和解析法，仅适合设计变量较少的情况。
2.准则法
从结构力学原理和工程实际出发，选择结构应达到的最优准则，如满应力准则、能量准则，再用迭代法求解满足这些准则的设计变量的解。适用于结构布局及几何形状已定的情况。
3.数学规划法
数学规划法是从解极值的数学问题出发，运用数学规划法寻求设计变量最优解。数学规划法可分为直接解法和间接解法。
（1）直接解法。也称为试验最优化方法，不直接对目标函数求导数，而是直接对目标函数的值进行比较，求变量最优解。适用于设计变量较多，对目标函数求导困难的情况。
（2）间接解法。也称为分析最优化方法，采用对目标函数求导的解析法，求变量最优解。适用于对目标函数求导不困难的情况，或采用差分法计算导数。
数学规划法又可分为线性规划法和非线性规划法，结构优化中常用非线性规划法。非线性规划法的求解方法一般有以下几种类型：
（1）问题不作转换，但需用求解导数的方法，如可行方向法、梯度投影法。
（2）问题不作转换，也不需用求解导数的直接搜索方法，如网格法、复形法。
（3）采用线性规划法来逐次逼近。
（4）转换为无约束极值问题求解，如罚函数法、乘子法等。
四、混凝土重力坝的优化设计
在混凝土重力坝枢纽中，大坝的工程量大，造价高，对工程总投资有着关键性的影响，大坝的设计优劣差别也较大。
1.设计常量
设计常量包括：①坝高H，由调洪演算及流域规划资料给定；②最高蓄水位H0，由流域规划资料给定；③扬压力折减系数α，由坝基内防渗排水设施的布置确定；④坝体材料的容重γ；⑤坝体与地基接触面上的抗剪断摩擦系数f′；⑥坝体与地基接触面上的抗剪断凝聚力c′；⑦滑动面上的摩擦系数f。
2.设计变量的选取
设计变量可以用离散变量表示（图5-4），即
x=［x1x2x3x4］T
式中：x1为坝顶至上游坝坡起坡点的高度；x2为上游坝踵至上游坝顶的水平距离，反映上游坝坡的坡率；x3为上游坝顶至下游坝趾的水平距离，反映下游坝坡的坡率；x4为坝顶宽度。
3.结构分析方法
重力坝结构分析可以采用材料力学法或有限单元法。
4.约束条件的建立
（1）几何约束条件。
图 5-4 重力坝优化设计计算简图（单位：m）
（2）应力约束。坝踵应力应小于混凝土的容许拉应力。
式中：［σl］为混凝土的容许拉应力。
坝趾应力应小于混凝土的容许压应力。
式中：［σa］为混凝土的容许压应力。
（3）稳定约束。
式中：［K］、［K′］为坝基抗滑稳定的容许安全系数。
（4）目标函数。取单位长度坝段，其断面面积可表示为设计变量的函数V（x），使
上述目标函数及部分约束条件是设计变量的非线性函数，可以采用复形法等非线性规划法寻优。
五、拱坝的优化设计
在拱坝地基系统应力和稳定分析的基础上，对拱坝进行优化，有着重要的意义。拱坝在拱端及梁底的应力控制了坝体剖面尺寸，其他部位的应力都远小于材料的容许应力。
拱坝优化设计的目标函数可取拱坝坝体混凝土体积，也可取造价C（x）。
式中：V1（x）为坝体混凝土体积，m3；V2（x）为基础岩石开挖体积，m3；C1为混凝土单价；C2为基础开挖单价。
约束条件包括几何约束、应力约束及稳定约束。
（1）几何约束。包括坝轴线位置、坝顶最小厚度、坝体表面倒悬度、中心角、第i层拱圈至断层的距离等。
（2）应力约束。在最不利的工况下，逐点检查坝体应力，坝内最大应力不能超过容许应力，如用多拱梁法或有限单元法计算坝体应力，则可用主应力控制。坝体施工应力应单独作为一种工况进行核算，即在自重单独作用下，对于不同的浇筑高度，按悬臂梁计算的拉应力不得超过容许值。
（3）稳定约束。当坝基存在可能滑动面时，需将抗滑稳定要求作为约束条件。
浙江省丽水地区的瑞祥拱坝是中国第一座采用优化设计，并已建成的混凝土拱坝（图5-5）。拱坝坝高54.5m，建于V字形河谷，采用单心双曲率体形，河谷两岸基本对称，河床段宽约35m，坝顶弦长约140m，弦高比2.6，坝址为角砾熔结凝灰岩。
图 5-5 瑞祥拱坝优化设计（单位：m）
（a）初设方案；（b）优化方案
瑞祥拱坝在优化设计中采用描述拱坝轴线和拱坝在垂直面上体形的变量共14个，以确定坝体几何形状，并假定坝体的几何参数沿坝高方向呈三次曲线变化，取坝体体积作为优化的目标函数，约束条件为：
（1）几何约束。坝顶最小厚度3.5m，坝底最大厚度15m，要求上下游面均为向上游凸的曲线，上游面允许倒悬度0.25，下游面允许倒悬度0.2，拱冠梁下游底部最大坡角45°。
（2）应力约束。梁向和拱向容许压应力均为5MPa，梁向和拱向容许拉应力分别为1.65MPa和1.2MPa，施工期容许拉应力为0.3MPa。
（3）稳定约束。拱端法线和利用岩面等高线的最小夹角为30°。
优化计算方法采用罚函数法和部分一次逼近法相结合，以加快计算的收敛速度。在确定了坝体体形后，采用三向调整的拱梁分载法，对优化方案进行应力验证计算，控制工况为正常高水位时静水压力+泥沙压力+自重+均匀温降。
初步设计方案坝体混凝土方量为3.82万m3，优化设计方案后坝体混凝土方量为2.65万m3，节省了1.17万m3，优化方案比初步设计方案减少坝体体积31%。
常规的优化方法一般采用数学规划方法和基于力学意义上的准则法。随着学科之间的相互渗透，人工智能技术中人工神经网络方法也逐步应用到结构的优化计算中。