第3章　水资源供需时序多时间尺度集对分析

3.1　主要方法介绍

3.1.1　小波分析

顾名思义，小波（Wavelet）就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；“波”则是指它的波动性，其振幅为正负相间的振荡形式。小波分析属于时频分析的一种。传统的傅里叶分析中，信号完全是在频域展开的，不包含任何时域信息［94］。

小波变换是一种信号时间-尺度（时间-频率）分析法，具有多分辨率分析（Multiresolution Analysis）的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变，但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。它通过伸缩平移运算对信号（函数）逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节［95］。

设ψ（t）∊L2（R）［L2（R）表示平方可积的实数空间，即能量有限的空间信号］，其Fourie变换为（ω）。当（ω）满足容许条件（Admissible Condition）：

此时，称ψ（t）为基小波或母小波（Mother Wavelet）。由容许条件可以推论出：基小波ψ（t）至少必须满足（ω=0）=0，即∫ψ（ω）=0。也就是说（ω）必须具有带通性质。

将母小波经伸缩和平移得小波序列，又称子小波：

式中：a为伸缩因子或尺度因子，将基本小波作伸缩；b为平移因子。

小波是具有振荡特性、能够迅速衰减到零的一类函数。由式（3.1）知，满足允许条件的函数Ψ（t）称为基小波，其伸缩和平移构成一簇函数系：

式中：ψa，b（t）称为子小波；a为尺度因子或频率因子；b为时间因子或平移因子。对于能量有限信号f（t）∊L2（R），其连续小波变换定义为

式中：（t）为ψ（t）的复共轭函数。

式（3.4）说明小波变换是对信号用不同滤波器进行滤波。由于t、a、b都是连续的变量，式（3.4）称为连续小波变换。

如果Ψ（t）满足相容条件：Cψ=∫R|W|-1ψ2（W）d w＜+∞C，其中（ω）为（t）的傅里叶变换。对于信号连续小波变换，f（t）可重构：

实际中水文序列是离散的，因此可利用离散小波变换将水文序列进行分解，得到不同时间尺度上的小波系数。这些小波系数是水文序列在不同时间尺度和不同空间位置上的投影，从而可以用来描述水文序列的内在结构、性质和变化特性［96］。对不同时间尺度上的小波系数进行小波重构，可以得到序列的不同组成部分。

水文序列由确定性成分和随机成分两大部分组成［97］。对于水文序列来说，低频部分是最重要的，它主要由确定性成分构成，反映了水文序列的主要变化特征，例如序列的趋势和周期等。高频部分主要由随机成分构成，是由许多不确定性因素引起的不规则波动。如果将高频部分从原序列中去除，低频部分的重构序列仍可以保持原序列的变化特征，且重构序列与原序列的特征值应该近似相等，高频重构序列的特征值应该具有随机信号的特点［98］。

具体的小波函数选择过程如下：①选定所要分析的水文序列，然后应用某一小波函数对该序列做离散小波分解，得到不同时间尺度下对应的小波系数；②确定合理的小波系数阈值，将小波系数分成低频、高频两部分；③利用离散小波重构方法，分别将两部分系数重构，得到低频重构序列和高频重构序列，并统计两个重构序列的特征值；④依次选用小波总体中的每个小波函数，重复②和③两步骤对该序列作相同处理；⑤应用小波函数选择依据和判别标准，对每个小波对应的重构序列特征值进行统计分析，从而选择出适合该序列小波变换分析的小波函数类型［99］。

3.1.2　集对分析

所谓集对是指具有某种联系的两个集合A和B组成的对子，记为H（A，B）。集对分析可对两个集合的特性作同一性、差异性和对立性分析，通过两个集合的联系度公式来表达［100］：

式中：μ为集合A和B的联系度；S为同一性的个数；F为差异性的个数；P为对立性的个数；N为集合特性的总数；i和j分别为差异度F/N和对立度P/N的系数，i在［-1，1］之间取值，j在一般情况下取值为-1；a=P/N为同一度，b=F/N为差异度，c=P/N为对立度，a、b、c非负且满足归一化条件。

集对分析的计算步骤为：首先构造集合A、B和集对H（A，B）；其次，通过一定的分类标准，将集合A和B的各个元素进行符号量化处理；第三，将集合A和B的符号量化值两两比较，计算同一性S、差异性F和对立性P；最后取合适的i值，计算同一度a、差异度b和对立度c及联系度μ。

将陆浑灌区的降雨量、ETc及灌溉水量各序列利用小波进行分解，进而将分解后的各分量进行集对分析。其中，各变量的分量d1对应的波动周期为短周期，d2对应的波动周期为中周期，d3对应的波动周期为中长周期，d4对应的波动周期为长周期，d5对应的波动周期为特长周期。将灌区年降雨原始系列记为集合A，各分量对应序列记为集合Ai，d1记为集合A1，d2序列记为集合A2，d3序列记为集合A3，d4序列记为集合A4，d5序列记为集合A5；同理，将灌区年ETc原始序列记为集合B，各分量对应序列记为集合Bi，分别为B1、B2、B3、B4、B5；将灌区年灌溉水量原始序列记为集合C，各分量对应序列记为集合Ci，分别为C1、C2、C3、C4、C5，其中样本容量n=63。将集合A、B、C两两进行集对，即（A，B）、（A，C）、（B，C）；将Ai、Bi、Ci各序列分别进行两两集对，即将年降雨量与年ETc各分量进行集对为（A1，B1）、（A2，B2）、（A3，B3）、（A4，B4）、（A5，B5）；将年降雨量与灌溉水量各分量进行集对为（A1，C1）、（A2，C2）、（A3，C3）、（A4，C4）、（A5，C5）；将年ETc与年灌溉水量各分量进行集对为（B1，C1）、（B2，C2）、（B3，C3）、（B4，C4）、（B5，C5）。

采取均值标准差法将灌区年降雨量、ETc及灌溉水量分为枯（Ⅰ）、平（Ⅱ）、丰（Ⅲ）三个等级，分别对应区间为（-∞，-0.5s），［-0.5s，+0.5s），［+0.5s，+∞），其中x、s分别为集合各元素的均值和均方差，k1、k2为经验系数，此处取k1=-0.5，k2=0.5，根据该标准对各集对元素进行符号量化处理。