3.5　空间问题中一点的应变状态

已知物体内任一点P处的六个应变分量εx、εy、εz、γxy、γxz、γyz，有微小线段PN=dr，其方向余弦为l、m、n。该线段在坐标轴上的投影为dx=ldr，dy=mdr，dz=ndr，空间问题中一点的应变状态如图3-3所示。

设P点的位移分量为u、v、w，则N点的位移分量为

在变形之后，线段PN在坐标轴上的投影成为

命线段PN的正应变为εN，根据正应变的定义，该线段在变形之后的长度为dr+εNdr，由此得出

化简，并略去微小量，得出

即

εN=l2εx+m2εy+n2εz+mnγyz+nlγzx+lmγxy　　（3-48）

设PN在变形之后的方向余弦为l1、m1、n1，得出

化简后，得出

同理，可以得出

设PN′在变形之后的方向余弦为l′1、m′1、n′1，得出

命线段PN及PN′在变形之后的夹角为θ1，则

cosθ1=l1l′1+m1m′1+n1n′1

将l1、l′1、m1、m′1、n1、n′1、代入上述方程，得

cosθ1=（1-εN-εN′）cosθ+2（ll′εx+mm′εy+nn′εz）+（mn′+m′n）yyz+（nl′+ln′）γzx+（lm′+l′m）γxy

求出θ1以后，即可求得PN与PN′之间的夹角的改变为θ1-θ。