3.1　平衡微分方程

分析空间问题时，仍然要从三方面来考虑：静力学方面、几何学方面和物理学方面。现在考虑空间问题的静力学方面，导出空间问题的平衡微分方程。

在物体内任意一点P，取一个微小的长方体，它的六面垂直于坐标轴，棱边长为PA=dx，PB=dy，PC=dz。因为应力分量是位置坐标的函数，所以，作用在这六面体两对面上的应力分量不完全相同，而具有微小的差量。通过泰勒级数展开，并近似处理，六个面上的应力分量如图3-1所示。

图3-1　空间问题的微元体

首先，以x轴为投影轴，列出平衡方程∑Fx=0，得

化简后得出

由其余两个平衡方程∑Fy=0和∑Fz=0，可以得出与此相似的两个方程，即

以连接六面体前后两面中心的直线ab为矩轴，列出力矩的平衡方程∑Mab=0，即

化简以后，得

τyz=τzy　　（3-4）

同理，可以得

τxz=τzx　　（3-5）

τxy=τyx　　（3-6）

式（3-1）、式（3-2）、式（3-3）、式（3-4）、式（3-5）和式（3-6），就是空间问题的平衡微分方程。