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2.2 平衡微分方程
首先根据平衡条件,来导出应力分量与体力分量之间的关系,即平面问题的平衡方程。根据前一节的分析,取出一个微小的平行六面体PACB,平面问题的微元体如图2-5所示。它在x和y方向的尺寸分别dx和dy,z方向取单位长度。
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图2-5 平面问题的微元体
在弹性力学中应力分量的正负号的规定如下:如果某一个截面上的外法线是沿着坐标轴的正方向,这个截面就称为坐标面的正面,该截面上的应力分量以沿坐标轴正方向为正,沿坐标轴负方向为负;相反,如果某一个截面上的外法线是沿着坐标轴的负方向,这个截面就称为坐标面的负面,该截面上的应力分量以沿坐标轴负方向为正,沿坐标轴正方向为负。
应力分量σx、σy和τxy(τyx)是位置坐标x和y的函数,因此,作用于左右两对面或上下两对面的应力分量不完全相同,而具有微小的差量。设作用于左面PB的正应力是σx,则作用于右面AC的正应力可用泰勒级数表示为
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略去二阶及更高阶的微量,简化为 。
同样,设左面的切应力是τxy,则右面的切应力是。
设上面的正应力及切应力分别为σy及τyx,则下面的正应力及切应力分别为和
。
因为六面体是微小的,所以它在各面上所受的应力可以认为是均匀分布的,其合力作用在对应面的中心。同理,六面体所受的体力,也可以认为是均匀分布的,其合力作用在它的体心。
以x轴为投影轴,列出力的平衡方程∑Fx=0,即
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约简以后,两边除以dxdy,得
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同样,由平衡方程∑Fy=0可得一个相似的微分方程。
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其次,以通过微元体中心O′并平行于z轴的直线为矩轴,列出力矩平衡方程∑MO′=0,即
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将上式的两边除以dxdy,并合并相同的项,得到
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因为dx、dy为微小量,去掉含dx、dy的项,得出
τxy=τyx (2-3)
式(2-1)、式(2-2)和式(2-3)即为平面问题的平衡微分方程。有一点注意,在建立力矩平衡方程时,按照小变形假定,用了微元体变形以前的尺寸,而没有用变形以后的尺寸。