3.1 引言

1.逻辑代数发展历程

逻辑代数（Logic Algebra）是一种用于描述客观事物逻辑关系的数学方法，由英国数学家乔治·布尔（George Boole）于1849年提出，因而又称布尔（Boolean）代数（也称开关代数）。逻辑代数有一套完整的运算规则，包括公理、定理和定律，被广泛应用于数字逻辑电路的变换、分析、化简和设计上。随着数字电子技术的发展，逻辑代数已成为分析和设计数字逻辑电路与系统的基本工具和理论基础。

逻辑代数中，数字信号被抽象表示为逻辑变量，数字信号的相互关系被抽象表示为逻辑运算。有了逻辑代数，数字电路与系统中的信号变换与处理过程就可以用数学方法加以研究。基于数字信号的二值特征，我们只研究逻辑代数中的二值逻辑，将在数字电路与系统的应用范畴内，介绍逻辑变量、逻辑运算和逻辑函数的有关概念。

2.逻辑变量与逻辑函数

一个代数体系最基本的问题是变量和运算。人们熟悉的初等代数中，变量通常可以取整数值、有理数值、实数值等；变量之间的运算包括加、减、乘、除等；参与运算的变量称为自变量。变量经运算后产生函数，函数也是变量，称为因变量，函数可以与自变量有不同的取值范围。而适用于数字电路与系统的逻辑代数中的变量和运算却有不同的特征。

逻辑代数中的变量称为逻辑变量，一个逻辑变量通常用来表示数字电路中某个器件引脚或某条信号线上变化的信号。一个逻辑变量只有两种可能的取值0、1，称为逻辑值，用来抽象表示数字信号的高、低电平。正如第1章概述介绍，用逻辑值0表示低电平，逻辑值1表示高电平为正逻辑体制；反之为负逻辑体制。正、负逻辑是一种人为的约定，使用不当容易引起混乱，用逻辑代数描述数字电路通常采用正逻辑。逻辑值不同于前面介绍的二进制数的数值，逻辑值0和1没有大小之分，只表示两种相对的状态。逻辑值可以表示高、低电平，也可以表示开关的断开和闭合、指示灯的亮和灭这类只有两种取值的事件。