九章筭术卷第一

魏　刘徽　注

唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉敕注释〔1〕

方田 〔2〕 以御田畴界域 〔3〕

今有田广十五步〔4〕 ，从十六步〔5〕 。问〔6〕 ：为田几何〔7〕 ？

荅曰〔8〕 ：一亩〔9〕 。

又有田广十二步，从十四步。问：为田几何？

荅曰：一百六十八步〔10〕 。图 〔11〕 ：从十四， 广十二 。

方田术曰〔12〕 ：广、从步数相乘得积步〔13〕 。此积谓田幂 〔14〕 。凡广、 从相乘谓之幂 〔15〕 。　　臣淳风等谨按： 经云“ 广、 从相乘得积步”， 注云“ 广、 从相乘谓之幂”， 观斯注意， 积、 幂义同 〔16〕 。以理推之， 固当不尔。 何则？ 幂是方面单布之名， 积乃众数聚居之称。 循名责实， 二者全殊 〔17〕 。虽欲同之， 窃恐不可。 今以凡言幂者据广从之一方； 其言积者举众步之都数 〔18〕 。经云相乘得积步， 即是都数之明文。 注云谓之为幂， 全乖积步之本意。 此注前云积为田幂， 于理得通。 复云谓之为幂， 繁而不当。 今者注释存善去非， 略为料简 〔19〕 ，遗诸后学 。以亩法二百四十步除之〔20〕 ，即亩数。百亩为一顷〔21〕 。臣淳风等谨按： 此为篇端， 故特举顷、 亩二法。 余术不复言者， 从此可知。 按： 一亩田， 广十五步， 从而疏之 〔22〕 ，令为十五行， 即每行广一步而从十六步。 又横而截之， 令为十六行， 即每行广一步而从十五步。 此即从疏横截之步， 各自为方。 凡有二百四十步， 为一亩之地， 步数正同。 以此言之， 即广从相乘得积步， 验矣。 二百四十步者， 亩法也； 百亩者， 顷法也。 故以除之， 即得。

今有田广一里〔23〕 ，从一里。问：为田几何？

荅曰：三顷七十五亩〔24〕 。

又有田广二里，从三里。问：为田几何？

荅曰：二十二顷五十亩。

里田术曰：广、从里数相乘得积里〔25〕 。以三百七十五乘之，即亩数。按： 此术广从里数相乘得积里。 故方里之中有三顷七十五亩 〔26〕 ，故以乘之， 即得亩数也。

【注释】

〔1〕朝议大夫：散官，简称朝议，始置于隋，唐因之，为文散官正五品下。　　太史令：官名，相传置于夏代，掌文书。后代沿置，汉景帝中元六年（前114）隶太常，掌天文、历法及修撰史书。唐初隶秘书省，从五品下。龙朔二年（662）改称秘阁郎中，后复名。　　上轻车都尉：官名，唐武德七年（624）改开府仪同三司置“轻车都尉”，为从四品上勋官。都尉，唐、宋、金、元、明武臣勋官等级，次于将军，高于骑尉，有上轻车都尉、轻车都尉、上骑都尉等名目。　　奉敕：奉皇帝之命。敕，汉魏指尊长、长官对后辈、下属的告诫等上命下之辞。南北朝之后专指皇帝诏书。

〔2〕方田：九数之一。传统的方田讨论各种面积问题和分数四则运算。狭义的方田，后来又称为直田，即长方形的田，如图1-1。李籍云：“田者，围周之以为疆，横从之以为理，平夷著建，兴作利养之地也。方田者，田之正也。诸田不等，以方为正，故曰方田。”

〔3〕御：本义是驾驭马车，引申为处理，治理。《玉篇》：“御，治也。”李籍与《广韵》均云：“御，理也。”　　畴：已经耕作的田地。李籍引《说文解字》：“畴，耕治之田也。”　　界域：李籍云：“疆也。”

〔4〕今有：假设有，《九章筭术》问题题设的起首方式。今，连词，表示假设，相当于“若”、“假如”。《孟子·梁惠王下》：“今王与百姓同乐，则王矣。”由秦汉数学简牍（《数》、《筭书》、《筭数书》、《筭术》等）知道，先秦数学问题题设的起首方式异彩纷呈，大多数题目没有任何引语作为起首，少数或以“程”，或以“取程”，或以“有”，或以“今有”等作起首。张苍等整理《九章筭术》，遂以“今有”统一了数学问题题设的起首方式。当一种术文有多个例题时，则从第二题起题设的起首用“又有”。　　广：一般指物体的宽度。李籍云：广，“阔也”。《墨子·备城门》：“沈机长二丈，广八尺。”有时广有方向的意义，表示东西的长度。赵爽《周髀筭经注》：“东西南北谓之广长。”

〔5〕从（zōnɡ）：又音zònɡ，又作袤，今作纵，表示直，南北的量度。《集韵》：“南北曰从。”李籍云：从，“长也”。广、从，今多译为宽（或阔）、长。实际上，中国古代的广、从有方向的含义。因此，广未必小于从，见下乘分术的第三个例题。《墨子·备城门》中“突”之“袤九尺，广十尺”，也是广大于袤。　　步：古代长度单位，秦汉1步为5尺。隋唐以后为6尺。

〔6〕问：中国古典数学问题发问的起首语。由秦汉数学简牍知道，先秦数学问题发问的起首也是不统一的。有的没有任何发问的起首语，而采取直叙的方式；有的以“欲”、“欲求”、“求”作为发问的起首语。张苍等整理《九章筭术》，遂以“问”统一了数学问题发问的起首方式。

〔7〕几何：若干，多少。李籍云：“几何，数之疑也。”中国古典数学问题的发问语。传统数学问题的发问语也经历了一个发展过程，秦汉数学简牍的发问方式不统一，尽管有的以“几何”发问，占了大多数，但还有的没有任何发问语，而以“欲”、“欲求”、“求”代替发问语。张苍等整理《九章筭术》，则完全以“几何”发问，没有例外。明末利玛窦与徐光启合译欧几里得的“Element”，定名为《几何原本》，“几何”实际上是拉丁文mathematica的中译，指整个的数学。后日本将geometria译作几何学，传到中国，几何遂成为数学中关于空间形式的学问。

〔8〕荅：同“答”。对荅之荅原作“畣”。荅本是小豆之名，后来借为对荅之荅。《玉篇》：“荅，当也。”《五经文字·艸部》：“荅：此荅本是小豆之一名，对荅之荅本作畣。经典及人间行此已久，故不可改。”《尔雅》：“畣，然也。”《玉篇》：“畣，今作荅。”对荅之荅，后作答。《广韵》：“答，当也，亦作荅。”本书的答案，凡引原文皆用“荅”字，而译文则全部改作“答”。从秦汉数学简牍可以看出，在先秦，答案的表示方式相当复杂，有的没有任何引语，以直叙的方式给出答案，有的以“曰”、“得”或“得曰”作引语给出答案。值得注意的是，没有一个题目使用“荅曰”。张苍等整理《九章筭术》，则统一使用“荅曰”，没有任何例外。

〔9〕亩：古代的土地面积单位。《九章筭术》中1亩为240步。此处“步”实际上为步2 。

〔10〕步：此处“步”为步2 。

〔11〕图：此“图”应该在刘徽所撰《九章重差图》中，已亡佚。本书凡提到刘徽注之图者，除另加说明者外，皆亡佚。

〔12〕术：方法，计算程序。《筭数书》中的计算方法皆作“术”，不是简化字；《九章筭术》本作“術”，简化成“术”。《筭数书》之“术”当是“術”的假借字。术（shú），指秫。又音zhú，菊科草类。

〔13〕乘：登，升。李籍云：乘，“登也。登之使其数多”。广从步数相乘得积步：设方田的面积为S ，广、从分别是a ，b ，则长方形的面积公式是

S =ab 。（1-1）

积步：是《九章筭术》提出的表示面积的概念，也可以作为面积的单位，即步之积。将1步长的线段在平面上积累起来，长a 步，就是a 积步，常简称为a 步，步即今之平方步，因此古代之步，视不同情况，有时指今之步，有时指步2 。下文中之积尺、积寸、积里等概念与此类似。由此又引申出积分等概念。值得注意的是，刘徽对公式（1-1）没有试图证明，显然是当作公理使用的。

〔14〕幂：即今之面积。王莽铜斛铭文中始使用，作“冥”。根据不同的情况，刘徽《九章筭术注》中有田幂、矩幂、勾幂、股幂、弦幂、方幂、圆幂、立幂等，还有以颜色表示的青幂、朱幂、黄幂等。清末李善兰、华衡芳等翻译西方数学著作，遂用“幂”表示指数，沿用至今。古今“幂”的含义既有联系，又有区别。

〔15〕凡广从相乘谓之幂：这是刘徽对幂即面积的定义。

〔16〕李淳风等从刘徽的话中得出“积幂义同”的结论是完全错误的。刘徽将“广从相乘”这种积称为幂，幂与积是种属关系，积包括幂，但积不一定是幂，因为三数相乘的体积，或更多的数相乘，也是积。李淳风等由刘徽注看不出幂和积的区别，说明他们的逻辑水平低下。

〔17〕循名责实，二者全殊：李淳风等认为积与幂完全不同。他们不懂幂属于积，两者有相同之处，说积、幂“二者全殊”，当然是错误的。他们指责正确的刘徽，徒然暴露其数学水平的低下和逻辑的混乱。殊，不同，异。《周易·系辞下》：“天下同归而殊涂。”

〔18〕都（dū）数：总数。都，聚，汇集。《管子·水地》：“卑也者，道之室，王者之器。而水以为都居。”注云：“都，聚也。”引申为总，总共。《汉书·西域传》：“都护之起，自吉置矣。”颜师古注：“都犹总也，言总护南北之道。”

〔19〕料简：品评选择。蔡邕《太尉杨公碑》：“沙汰虚冗，料简贞实。”亦作“料拣”。自唐起，“料简”就有误作“科简”者。《北史·循吏·张华原传》：“华原科简轻重，随事决遣。”

〔20〕亩法：1亩的标准度量。李籍引《司马法》曰：“六尺为步，步百为亩。秦孝公之制，二百四十步为一亩。”秦汉制度1亩=240步2 ，1顷=100亩。已知某田地的面积的步2 数，求亩数，便以240步2 为除数，故称240步2 为亩法。秦汉数学简牍与此同。　　除：在《九章筭术》及其刘徽注中有二义。一是除去，即现今之“减”。卷六“客去忘持衣”问刘徽注“除”曰：“除，其减也。”一是现今“除法”的除，此处即用此义。李籍释“除”云：“去也。去之使其少。”可见“除”之义先引申为“减去”，后进一步引申为除法之“除”。此二义在下文中一般不再一一指出，观前后文及译文即可明白。

〔21〕百亩为一顷：100亩为1顷，故称为顷法。

〔22〕疏：分，截。《史记·黥布传》：“上裂地而王之，疏爵而贵之。”司马贞索隐：“按：裂地是对文，故知疏即分也。”此处横截与从疏为对文，知“疏”即截。

〔23〕里：长度单位，秦汉时1里为300步。

〔24〕三顷七十五亩：1里2 =375亩=3顷75亩。故375亩为里法。《筭数书》亦有此问。

〔25〕以里为单位的田地的面积求法，其公式与方田术（1-1）相同。

〔26〕故：犹“夫”。裴学海《古书虚字集释》卷五：“‘故’，犹‘夫’也，提示之词也。”

【译文】

方田 为了处理田地等面积

假设一块田宽15步，长16步。问：田的面积有多少？

答：1亩。

又假设一块田宽12步，长14步。问：田的面积有多少？

答：168步。图：长14，宽12。

方田术：宽与长的步数相乘，便得到积步。这种积叫作田的面积。 凡是宽与长的步数相乘， 就叫它作面积。　　 淳风等按：《 九章筭术》 说宽、 长步数相乘， 便得到积步。 刘徽注说宽、 长相乘， 就把它叫作幂。 考察这个注的意思， 积和面积的意义相同。 按道理推究之， 本不应当是这样的。 为什么呢？ 面积是一层四方布的名称， 积却是众多的数量积聚的名称。 循名责实， 二者完全不同。 即使想把它看成相同的， 我们认为是不可以的。 现在凡是说到面积， 都是占据有宽有长的一个方形， 而说到积， 都是列举众多步数的总数。《 九章筭术》 说相乘得到积步， 就是总数的明确文字。 刘徽注说叫它做面积， 完全背离了积步的本意。 这个注前面说积是田的面积， 在道理上可以讲得通。 又说叫它做面积， 繁琐而 不恰当。 现在注释，留下正确的，删去错误的，稍加品评选择，把它贡献给后来的学子 。以亩法240步2 除积步，就是亩数。100亩为1顷。淳风等按：这是本篇的开端，因此特别举出顷、亩二者的法。 其他的术中不再谈到它们，就是因为由这里可以知道。 按： 1 亩地，宽为 15 步，竖着分割它，使成为 15 行，就是每行宽为 1 步而长为 16 步。 又横着裁截它，使成为 16 行，就是每行宽为 1 步而长为 15 步。 这就是竖着分割横着裁截的 1 步，各自成正方形，共有 240 步2 。 作为 1 亩的田地，步数恰好与亩法相同。 由此说来，就是宽、长相乘便得到积步，被验证了。 240 步2 ， 是亩法； 100 亩，是顷法。 因此，用来除积步，便得到答案。

假设一块田宽1里，长1里。问：田的面积有多少？

答：3顷75亩。

又假设一块田宽2里，长3里。问：田的面积有多少？

答：22顷50亩。

里田术：宽与长的里数相乘，便得到积里。以375亩乘之，就是亩数。按：这一术中，宽、长里数相乘，便得到积里。 而 1 方里中有 3 顷 75 亩，所以以它乘积里，就得到亩数。

今有十八分之十二〔1〕 。问：约之得几何〔2〕 ？

荅曰：三分之二。

又有九十一分之四十九。问：约之得几何？

荅曰：十三分之七。

约分〔3〕 按： 约分者， 物之数量， 不可悉全 〔4〕 ，必以分言之 〔5〕 。分之为数， 繁则难用。 设有四分之二者， 繁而言之 〔6〕 ，亦可为八分之四； 约而言之 〔7〕 ，则二分之一也 〔8〕 。虽则异辞， 至于为数， 亦同归尔。 法实相推 〔9〕 ，动有参差 〔10〕 ，故为术者先治诸分 〔11〕 。术曰：可半者半之〔12〕 ；不可半者，副置分母、子之数〔13〕 ，以少减多，更相减损〔14〕 ，求其等也〔15〕 。以等数约之〔16〕 。等数约之， 即除也。 其所以相减者， 皆等数之重叠 〔17〕 ，故以等数约之。

【注释】

〔1〕非名数真分数的表示方式在中国也有一个发展过程。由秦汉数学简牍知道，现今的真分数 （a ，b 皆为正整数）在先秦有两种表示方式：一是表示为“b 分a ”，一是表示为“b 分之a ”。张苍等整理《九章筭术》，遂统一为“b 分之a ”。

〔2〕约：本义是缠束。《说文解字》：“约，缠束也。”引申为精明、简要。《吴子·论将》：“约者，法令省而不烦。”李籍云：“约者，欲其不烦。”这里是约简。

〔3〕约分：约简分数。约分术，就是约简分数的方法。

〔4〕不可悉全：不可能都是整数。悉，副词，全，都。全，整数。

〔5〕必以分言之：必须以分数表示之。刘徽在这里说明分数产生的最初的原因。言，记载，表示。

〔6〕繁而言之：繁琐地表示之。

〔7〕约而言之：约简地表示之。

〔8〕此谓 。

〔9〕推：计算。

〔10〕动有参差（cēn cī）：往往有参差不齐的情形。动，往往。《史记·律书》：“且兵凶器，虽克所愿，动亦耗病。”参差，长短、高低、大小不等。《诗经·周南·关雎》：“参差荇菜，左右流之。”

〔11〕诸分：各种分数运算法则。

〔12〕可半者半之：可以取其一半的就取其一半。亦即分子、分母都是偶数的情形，可以被2除。

〔13〕副置：即在旁边布置算筹。李籍云：“别设筭位，有所分也。”副，贰，次要的（区别于主或正）。段玉裁《说文解字注》：“周人言贰，汉人言副，古今语也。”李籍云：副，“敷救切，别也”。置，“陟吏切，设也”。

〔14〕更相减损：相互减损。这是一种与辗转相除法异曲同工的运算程序。更相，相互。《史记·张丞相列传》：“田文言曰：‘今此三君者，皆丞相也。’其后三人竟更相代为丞相。”减损，减少。《史记·礼书》：“叔孙通颇有所增益减损。”

〔15〕等：等数的简称。等数，今之最大公约数。因它是分子、分母更相减损，至两者的余数相等而得出的，故名。

〔16〕以等数约之：以等数同时除分子与分母。

〔17〕皆等数之重叠：分子、分母都是等数的重叠。设分母、分子分别为a ，b ，等数为r n -1 =r n ，计算每次更相减损的余数r i ，i =1，2，3，…n ，则

r n - 2 =r n - 1 q n +r n =r n （q n +1），

r n - 3 =r n - 2 q n - 1 +r n - 1 =r n （q n q n - 1 +q n - 1 +1），

r n - 4 =r n - 3 q n - 2 +r n - 2 =r n （q n q n - 1 q n - 2 +q n - 1 q n - 2 +q n - 2 +q n +1），

…

b =r n P （q 2 ，q 3 ，…q n ），

a =r n Q （q 1 ，q 2 ，…q n ）。

其中P ，Q 分别是q 2 ，q 3 ，…q n 与q 1 ，q 2 ，…q n 的多项式，是整数。因此a ，b 都是r n 的倍数，故云皆等数之重叠。

【译文】

假设有 。问：约简它，得多少？

答： 。

又假设有 。问：约简它，得多少？

答： 。

约分按：要约分，是因为事物的数量，不可能都是整数，必须用分数表示之； 而分数作为一个数，太繁琐就难以使用。 假设有 ， 繁琐地表示之，又可以成为 ； 约简地表示之，就是 。 虽然表示形式不同，而作为数，还是同样的结果。 法与实互相推求，常常有参差不齐的情况，所以探讨计算法则的人首先要研究各种分数的运算法则 。术：可以取分子、分母一半的，就取它们的一半；如果不能取它们的一半，就在旁边布置分母、分子的数值，以小减大，辗转相减，求出它们的等数。用等数约简之。用等数约简之，就是除。 之所以用它们辗转相减，是因为分子、分母都是等数的重叠。 所以用等数约简之。

今有三分之一，五分之二。问：合之得几何〔1〕 ？

荅曰：十五分之十一。

又有三分之二，七分之四，九分之五。问：合之得几何？

荅曰：得一、六十三分之五十。

又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。问：合之得几何？

荅曰：得二、六十分之四十三。

合分〔2〕 臣淳风等谨按： 合分知 〔3〕 ，数非一端， 分无定准， 诸分子杂互， 群母参差。 粗细既殊， 理难从一。 故齐其众分， 同其群母 〔4〕 ，令可相并 〔5〕 ，故曰合分 。术曰：母互乘子，并以为实。母相乘为法。母互乘子， 约而言之者， 其分粗 〔6〕 ；繁而言之者， 其分细 〔7〕 。虽则粗细有殊， 然其实一也。 众分错难， 非细不会 〔8〕 。乘而散之， 所以通之 〔9〕 。通之则可并也。 凡母互乘子谓之齐， 群母相乘谓之同 〔10〕 。同者， 相与通同共一母也； 齐者， 子与母齐， 势不可失本数也 〔11〕 。方以类聚， 物以群分 〔12〕 。数同类者无远； 数异类者无近。 远而通体知， 虽异位而相从也； 近而殊形知， 虽同列而相违也 〔13〕 。然则齐同之术要矣 〔14〕 ：错综度数， 动之斯谐 〔15〕 ，其犹佩觿解结 〔16〕 ，无往而不理焉。 乘以散之， 约以聚之， 齐同以通之， 此其筭之纲纪乎 〔17〕 。　　其一术者 〔18〕 ，可令母除为率 〔19〕 ，率乘子为齐 〔20〕 。实如法而一〔21〕 。不满法者，以法命之〔22〕 。今欲求其实， 故齐其子， 又同其母， 令如母而一。 其余以等数约之， 即得知。 所谓同法为母， 实余为子， 皆从此例 。其母同者，直相从之〔23〕 。

【注释】

〔1〕合：聚合，聚集。《论语·宪问》：“桓公九合诸侯。”进而引申为合并，相加。

〔2〕合分：将分数相加。李籍云：“合分者，欲其不离。”合分术，就是将分数相加的方法。

〔3〕合分知：与下文“远而通体知”、“近而殊形知”，此三“知”字，训“者”，见刘徽序“故枝条虽分而同本干知”之注释。

〔4〕齐：使一个数量与其相关的数量同步增长的运算。此处谓使各个分数的分子分别与其分母同步增长，即刘徽所说“母互乘子谓之齐”。　　同：使几组数量中某同类数相同的运算。此处谓使各个分数的分母相同，即刘徽所说“群母相乘谓之同”。

〔5〕并：即相加。表示“加”，古代有“合”、“并”、“从”、“和”等术语。

〔6〕粗：指数值大。分数约简后分数单位变大，亦即“约以聚之”。若分子、分母有等数m ，a =mp ，b =mq ，则 。

〔7〕细：指数值小。分子、分母同乘一数，使分数单位变小，亦即“乘以散之”。即 ，其中m 是正整数。

〔8〕众分错难，非细不会：诸分数错互（指分数单位不同一），难以处理，不将它们的分数单位变小，便不能相会通。

〔9〕通：通过等量变换使各组数量会通的运算。对分数而言就是通分。

〔10〕这是刘徽关于齐、同的定义。

〔11〕“齐者”三句：此谓通过“同”的运算，使诸分数有一共同的分母，而通过“齐”的运算，使诸分数的值不丧失什么，亦即其值保持不变。势，本义是力量，威力，权力，权势。引申为形势，态势。失，遗失，丧失，丢掉。《说文解字》：“失，纵也。”段玉裁注：“失，一曰舍也。”

〔12〕方以类聚，物以群分：义理按类分别相聚，事物按群分门别类。语出《周易·系辞上》：“方以类聚，物以群分，吉凶生矣。”孔颖达疏：“方，道也。”方，义理，道理。

〔13〕“数同类者”六句：刘徽借鉴稍前的何晏的“同类无远而相应，异类无近而不相违”，反其意而用之，是说同类的数不管表面上有什么差异，总还是相近的；不同类的数不管表面上多么接近，其差异总是很大的。通体，相似、相通。相从，狭义地指相加，广义地指相协调。

〔14〕齐同术：在数学运算中，“齐”与“同”一般同时运用，称为“齐同术”，今称为“齐同原理”。它最先产生于分数的通分，如分数 ，通分后化成 ，就是同其母，齐其子。后来推广到率的运算中。

〔15〕错综度数，动之斯谐：错综复杂的数量，施之齐同术就会和谐。斯，则，就。

〔16〕犹：好像，如同。《左传·隐公四年》：“夫兵，犹火也。”　　觿（xī）：古代用以解绳结的角锥。《诗经·卫风·芃兰》：“芃兰之支，童子佩觿。”

〔17〕“乘以散之”四句：刘徽在这里将“乘以散之，约以聚之，齐同以通之”这三种等量变换看成“筭之纲纪”。这三种等量变换本来源于分数运算，刘徽将其从分数推广到“率”的运算中，实际上将“率”看成“筭之纲纪”。纲纪，大纲要领，法度。《荀子·劝学》：“礼者，法之大分、类之纲纪也。”

〔18〕其一术：另一种方法。

〔19〕母除为率：指分别以各分数的分母除众分母之积，以其结果作为这个分数的率。

〔20〕率乘子为齐：以各个率乘各自的分子，就是齐。

〔21〕母互乘子，并以为实。母相乘为法。实如法而一：即分数加法法则

显然这里分数的加法没有用到分母的最小公倍数。

〔22〕以法命之：即以法为分母命名一个分数。命，命名。

〔23〕其母同者，直相从之：如果各个分数的分母相同，就直接相加。直，径直，直接。《史记·魏公子列传》：“侯生摄敝衣冠，直上载公子上座，不让。”从，本义是随从，此处是“加”的意思。

【译文】

合分淳风等按：合分，是因为分数不止一个，分数单位也不同一； 诸分子互相错杂，众分母参差不齐； 分数单位的大小既然不同，从道理上说难以遵从其中一个数。 因此，要让各个分数分别与分母相齐，让众分母相同，使它们可以相加，所以叫作合分 。术曰：分母互乘分子，相加作为实。分母相乘作为法。分母互乘分子：约简地表示一个分数，其分数单位大； 繁琐地表示一个分数，其分数单位小。 虽然单位的大小有差别，然而其实是一个。 各个分数互相错杂，难以处理，不将其分数 单位化小，就不能会通。 通过乘就使分数单位散开，借此使它们互相通达。 使它们互相通达就可以相加。 凡是分母互乘分子，就把它叫作齐； 众分母相乘，就把它叫作同。 同就是使诸分数相互通达，有一个共同的分母； 齐就是使分子与分母相齐，其态势不会改变本来的数值。 各种方法根据各自的种类聚合在一起，天下万物根据各自的性质分离成不同的群体。 数只要是同类的就不会相差很远，数只要是异类的就不会很切近。 相距很远而能相通者，虽在不同的位置上，却能互相依从； 相距很近而有不同的形态，即使在相同的行列上，也会互相背离。 那么，齐同之术是非常关键的：不管多么错综复杂的度量、数值，只要运用它就会和谐，这就好像用佩戴的觽解绳结一样，不论碰到什么问题，没有不能解决的。 乘使之散开，约使之聚合，齐同使之互相通达，这难道不是算法的纲纪吗？ 另一术：可以用分母除众分母之积作为率，用率分别乘各分子作为齐 。实除以法。实不满法者，就用法命名一个分数。现在要求它们的实，所以使它们的分子分别相齐，使它们的分母相同，用分母分别相除。 其余数用等数约简，就得到结果。 所谓相同的法作为分母，实中的余数作为分子的情况，都遵从此例 。如果分母本来就相同，便直接将它们相加。

今有九分之八，减其五分之一。问：余几何？

荅曰：四十五分之三十一。

又有四分之三，减其三分之一。问：余几何？

荅曰：十二分之五。

减分〔1〕 臣淳风等谨按： 诸分子、 母数各不同， 以少减多， 欲知余几， 减余为实， 故曰减分 。术曰：母互乘子，以少减多，余为实。母相乘为法。实如法而一〔2〕 。“母互乘子” 知 〔3〕 ，以齐其子也，“ 以少减多” 知， 齐故可相减也。“ 母相乘为法” 者， 同其母。 母同子齐， 故如母而一， 即得。

今有八分之五，二十五分之十六。问：孰多？多几何？

荅曰：二十五分之十六多，多二百分之三。

又有九分之八，七分之六。问：孰多？多几何？

荅曰：九分之八多，多六十三分之二。

又有二十一分之八，五十分之十七。问：孰多？多几何？

荅曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。课分〔4〕 臣淳风等谨按： 分各异名， 理不齐一， 校其相多之数， 故曰课分也 。术曰：母互乘子，以少减多，余为实。母相乘为法。实如法而一，即相多也〔5〕 。臣淳风等谨按： 此术母互乘子， 以少分减多分。 按 〔6〕 ：此术多与减分义同。 唯相多之数， 意共减分有异： 减分知 〔7〕 ，求其余数有几； 课分知， 以其余数相多也。

【注释】

〔1〕减分：将分数相减。李籍云“减分者，欲知其余”。减，《说文解字》与李籍均云：“减，损也。”减分术，就是将分数相减的方法。

〔2〕“母互乘子”五句：即分数减法法则，设 ，则

〔3〕知：与下文“‘以少减多’知”，二“知”字，训“者”，见刘徽序“故枝条虽分而同本干知”之注释。

〔4〕课分：就是考察分数的大小。李籍云：“欲知其相多。”课，考察，考核。《管子·明法》：“明分职而课。”李籍云：课，“校也”。课分术，就是比较分数大小的方法。元、明的著作常将两者归结为同一术，或称为减分术，或称为课分术。

〔5〕课分术的程序与减分术（1-3）基本相同。

〔6〕李淳风等指出减分术与课分术的区别：前者是求余数是多少，后者是将余数看作相多的数。

〔7〕减分知：与下文“课分知”，两“知”字训“者”，说见刘徽序“故枝条虽分而同本干知”之注释。

【译文】

减分淳风等按：诸分子、分母的数值各不相同，以小减大，要知道余几。 使相减的余数作为实，所以叫作减分 。术：分母互乘分子，以小减大，余数作为实。分母相乘作为法。实除以法。“分母互乘分子”， 是为了使它们的分子相齐；“ 以小减大”， 是因为分子已经相齐，故可以相减。“ 分母相乘作为法”， 是为了使它们的分母相同。 分母相同，分子相齐，所以相减的余数除以分母，即得结果。

课分淳风等按：诸分数各有不同的分数单位，在数理上不整齐划一。比较它们相多的数，所以叫作课分。 术：分母互乘分子，以小减大，余数作为实。分母相乘作为法。实除以法，就得到相多的数。淳风等按：此术中分母互乘分子，以小减大。按：此术与减分的意义大体相同，只是求相多的数，意思跟减分有所不同：减分是求它们的余数有几，课分是将余数看作相多的数。

今有三分之一，三分之二，四分之三。问：减多益少〔1〕 ，各几何而平〔2〕 ？

荅曰：减四分之三者二，三分之二者一，并，以益三分之一，而各平于十二分之七〔3〕 。

又有二分之一，三分之二，四分之三。问：减多益少，各几何而平？

荅曰：减三分之二者一，四分之三者四，并，以益二分之一，而各平于三十六分之二十三。

平分〔4〕 臣淳风等谨按： 平分知 〔5〕 ，诸分参差， 欲令齐等， 减彼之多， 增此之少， 故曰平分也 。术曰：母互乘子，齐其子也 。副并为平实〔6〕 。臣淳风等谨按： 母互乘子， 副并为平实知， 定此平实主限， 众子所当损益知， 限为平 〔7〕 。母相乘为法。“母相乘为法” 知， 亦齐其子， 又同其母 〔8〕 。以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法〔9〕 。此当副置列数除平实， 若然则重有分， 故反以列数乘同齐 〔10〕 。　　臣淳风等谨又按： 问云所平之分多少不定， 或三或二， 列位无常。 平三知， 置位三重； 平二知， 置位二重。 凡此之例， 一准平分不可预定多少， 故直云列数而已 。以平实减列实〔11〕 ，余，约之为所减〔12〕 。并所减以益于少〔13〕 。以法命平实，各得其平〔14〕 。

【注释】

〔1〕益：增加。方程章之“损益”，与此“益”同义。宋元时期又用之表示开方式的负系数，如“益隅”就是负的最高次幂。

〔2〕平：平均值。李籍云：“均也。”

〔3〕此处“二”、“一”均是以十二为分母的分数的分子。这是说从 减 ，从 减 ，将 加到 上，得到它们的平均值。这实际上是将分母先置于旁边。下问同此。这种方法在宋元时期发展为处理分式运算的方式，称为“寄母”。

〔4〕平分：求几个分数的平均值。李籍云：“平分者，欲减多增少，而至于均。”平分术，求几个分数的平均值的方法。以求三个分数 的平均值为例。列数是3。

〔5〕平分知：与下文“平实知”、“损益知”、“母相乘为法知”，此四“知”字，训“者”，说见刘徽序“故枝条虽分而同本干知”之注释。

〔6〕并：加。李籍云：“兼也。别兼筭位，有所合也。”　　平实：分母互乘分子，求其和，称为平实。分子分别得adf ，bcf ，bde ，平实为adf +bcf +bde 。

〔7〕“定此平实主限”三句：确定这个平实作为主要的界限。各个分子所应当减损增益的，以这个界限作为标准。

〔8〕齐其子：分母互乘分子就是齐其子。　　同其母：分母相乘就是同其母。分母得bdf ，称为法。

〔9〕“以列数乘未并者”二句：以列数乘相齐后还没有相加的分子，得列实3adf ，3bcf ，3bde 。又以列数乘法，得3bdf 。未并者，指相齐后还没有相加的分子。

〔10〕“此当副置列数除平实”三句：这是说，《九章筭术》的方法有些曲折，本来用列数先除平实，再用法除即可。但是如此可能出现“重有分”的情形，故反过来，用列数乘同，得3bdf ，又用列数乘齐，得3adf ，3bcf ，3bde 。重有分，即今之繁分数。同，指术文中的法。齐，指术文中的“未并者”。

〔11〕以平实减列实：得3adf -（adf +bcf +bde ），3bcf -（adf +bcf +bde ），3bde -（adf +bcf +bde ）。

〔12〕约之为所减：是指以平实减列实的余数与法3bdf 约简（见下注），作为应该从大的数中减去的分子。

〔13〕并所减以益于少：将应该减去的分子相加，增益到小的分子上。

〔14〕以法命平实，各得其平：以法除平实，得到平均值。此即 。法，指列数与原“法”之积3bdf 。之所以仍称为“法”，是因为此位置为“法”，是位值制的一种表示。

【译文】

平分淳风等按：平分是当各个分数参差不齐时，想使它们齐等。 减那个分数所多的部分，增益这个分数所少的部分，所以叫作平分 。术：分母互乘分子，这是为了使它们的分子相齐 。在旁边将它们相加作为平实。淳风等按：“ 分母互乘分子，在旁边将它们相加作为平实”， 是为了确立这个平实作为主要的界限。 各个分子所应当减损的、增益的，以这个界限作为标准 。分母相乘作为法。“分母相乘作为法” 的原因是，既然已使它们的分子相齐，也应该使它们的分母相同 。以分数的个数乘未相加的分子，各自作为列实。同时以分数的个数乘法。这本来应当在旁边布置分数的个数去除平实。 如果那样做，就会出现双重分数，所以反过来用分数的个数乘同与齐。　　 淳风等又按：问题给出的要求其平均值的分数的个数多少不一定，有时是3 个，有时是2 个，个数不固定。 求3 个分数的平均值，就布置3 位，求2 个分数的平均值，就布置2 位。 凡是这类例子，求其平均值的分数的个数不能预定多少，所以直接说“ 个数” 就够了 。用平实减列实，用法将其余数约简，作为应该从大的数中减去的分子。将应该减去的分子相加，增益到小的分子上。用法除平实，便得到各分数的平均值。

今有七人，分八钱三分钱之一〔1〕 。问：人得几何？

荅曰：人得一钱二十一分钱之四。

又有三人三分人之一，分六钱三分钱之一、四分钱之三。问：人得几何？

荅曰：人得二钱八分钱之一。

经分〔2〕 臣淳风等谨按： 经分者， 自合分已下， 皆与诸分相齐， 此乃直求一人之分。 以人数分所分， 故曰经分也 〔3〕 。术曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一。有分者通之〔4〕 ；母互乘子知 〔5〕 ，齐其子； 母相乘者， 同其母； 以母通之者， 分母乘全内子 〔6〕 。乘， 散全则为积分 〔7〕 ，积分则与分子相通之， 故可令相从。 凡数相与者谓之率 〔8〕 。率知， 自相与通 〔9〕 。有分则可散， 分重叠则约也 〔10〕 。等除法实， 相与率也 〔11〕 。故散分者， 必令两分母相乘法实也 。重有分者同而通之〔12〕 。又以法分母乘实， 实分母乘法 〔13〕 。此谓法、 实俱有分， 故令分母各乘全分内子〔14〕 ，又令分母互乘上下。

【注释】

〔1〕由秦汉数学简牍知道，先秦的名数分数的表示方式也多种多样。比如现今的以尺为单位的分数 尺（m ，a ，b 均为正整数），有的在“分”后无名数单位，表示成m 尺b 分a ，或m 尺b 分之a 。有的在“分”后有名数单位，表示成m 尺b 分尺a ，或m 尺有b 分尺之a ，或m 尺b 分尺之a 。张苍等整理《九章筭术》，遂统一为m 尺b 分尺之a 。

〔2〕经分：本义是分割分数，也就是分数相除。李籍云：“经分者，欲径求一人之分而至于径。”似受李淳风等影响，未必符合原意。经，划分，分割。《孟子·滕文公》：“夫仁政必自经界始。”李籍引《释名》曰：“经者，径也。”经分术，分数除法。“经分”在《筭数书》中作“径分”。《九章筭术》与《筭数书》中的经分术的例题中被除数都是分数，而除数可以是分数也可以是整数。但在本卷乘分术刘徽注、卷三衰分术的刘徽注、卷二反其率术的李淳风等注释中，将除数、被除数都是整数的除法也称为经分，不知是不是符合《九章筭术》之义。

〔3〕李淳风等将“经分”理解成“以人数分所分”，“直求一人之分”，也就是说含有整数除法。

〔4〕有分者通之：此言实即被除数是分数，法即除数是整数的情形。此时需将实与法通分，其法则是

〔5〕母互乘子知：与下文“率知”，此二“知”字，训“者”，其说见刘徽序“故枝条虽分而同本干知”之注释。

〔6〕以母通之者，分母乘全内子：此谓以分母通分，就是将分数的整数部分乘以分母后纳入分子，化成假分数。内（nà），交入，纳入，后作“纳”。《史记·秦始皇本纪》：“百姓内粟千石，拜爵一级。”

〔7〕积分：即分之积，与“积步”、“积里”、“积尺”等术语同类。“积分”与现代数学的积分当然不同，但两者的渊源关系是不言而喻的。清末李善兰等以此翻译“integral”，非常恰当。

〔8〕凡数相与者谓之率：凡诸数相关就称之为率。这是刘徽关于“率”的定义。相与，相关。《周易·咸》：“二气感应以相与。”

〔9〕自：本来，本是。《乐府诗集》：“东家有贤女，自名秦罗敷。”

〔10〕有分则可散，分重叠则约也：如果有分数就可以散开，分数单位重叠就可以约简。散，散分。通过乘以散之，即下文之“两分母相乘法实”，化成相与率。

〔11〕相与率：就是没有等数（公约数）的一组率关系。刘徽在运算中经常使用相与率，它在某种意义上弥补了中国古算中没有互素概念的不足。

〔12〕重（chónɡ）有分：在这里是分数除分数的情形，将除写成分数的关系，就是繁分数。其法则是

〔13〕以法分母乘实，实分母乘法：这是分数除法中的颠倒相乘法

过去，中国数学史界一直认为这是刘徽的首创。实际上，《筭数书》“启从”条提出“广分子乘积分母为法，积分子乘广分母为实”，就是分数除法中的颠倒相乘法。可见先秦时人们已经掌握了颠倒相乘法，张苍等整理《九章筭术》时没有采用。

〔14〕全分：即“全”，整数部分。

【译文】

经分淳风等按：经分，自合分术以下，皆使诸分数相齐。 这里却是直接求一人所应分得的部分。 用人数去分所分的数，所以叫作经分 。术：把人数作为法，钱数作为实，实除以法。如果有分数，就将其通分。分母互乘分子，是为了使它们的分子相齐； 分母相乘，是为了使它们的分母相同； 用分母将其通分，使用分母乘整数部分再纳入分子。通过乘将整数部分散开，就成为积分。积分就与分子相通达，所以可以使它们相加。凡是互相关联的数量，就把它们叫作率。率，本来就互相关联通达；如果有分数就可以散开，分数单位重叠就可以约简；用等数除法与实，就得到相与率。所以，散分就必定使两分母互乘法与实。有双重分数的，就要化成同分母而使它们通达。又可以用法的分母乘实，用实的分母乘法。这里是说法与实都是分数，所以分别用分母乘整数部分纳入分子，又用分母互乘分子、分母。

今有田广七分步之四，从五分步之三。问：为田几何？

荅曰：三十五分步之十二。

又有田广九分步之七，从十一分步之九。问：为田几何？

荅曰：十一分步之七。

又有田广五分步之四，从九分步之五〔1〕 。问：为田几何？

荅曰：九分步之四。

乘分〔2〕 臣淳风等谨按： 乘分者， 分母相乘为法， 子相乘为实， 故曰乘分 。术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一〔3〕 。凡实不满法者而有母、 子之名 〔4〕 。若有分， 以乘其实而长之 〔5〕 。则亦满法， 乃为全耳 〔6〕 。又以子有所乘， 故母当报除 〔7〕 。报除者， 实如法而一也。 今子相乘则母各当报除， 因令分母相乘而连除也 〔8〕 。此田有广、 从， 难以广谕。 设有问者曰： 马二十匹， 直金十二斤 〔9〕 。今卖马二十匹， 三十五人分之， 人得几何？ 荅曰： 三十五分斤之十二。 其为之也， 当如经分术， 以十二斤金为实， 三十五人为法。 设更言马五匹， 直金三斤。 今卖四匹， 七人分之， 人得几何？ 荅曰： 人得三十五分斤之十二。 其为之也， 当齐其金、 人之数， 皆合初问入于经分矣 〔10〕 。然则“ 分子相乘为实” 者， 犹齐其金也；“ 母相乘为法” 者， 犹齐其人也。 同其母为二十， 马无事于同， 但欲求齐而已 〔11〕 。又， 马五匹， 直金三斤， 完全之率 〔12〕 ；分而言之， 则为一匹直金五分斤之三 〔13〕 。七人卖四马， 一人卖七分马之四 〔14〕 。金与人交互相生， 所从言之异， 而计数则三术同归也 〔15〕 。

今有田广三步三分步之一，从五步五分步之二。问：为田几何？

荅曰：十八步。

又有田广七步四分步之三，从十五步九分步之五。问：为田几何？

荅曰：一百二十步九分步之五。

又有田广十八步七分步之五，从二十三步十一分步之六。问：为田几何？

荅曰：一亩二百步十一分步之七。

大广田〔16〕 臣淳风等谨按： 大广田知 〔17〕 ，初术直有全步而无余分 〔18〕 ；次术空有余分而无全步 〔19〕 ；此术先见全步复有余分 〔20〕 ，可以广兼三术， 故曰大广 〔21〕 。术曰：分母各乘其全，分子从之，“分母各乘其全， 分子从之” 者， 通全步内分子， 如此则母、 子皆为实矣 。相乘为实。分母相乘为法。犹乘分也 。实如法而一〔22〕 。今为术广从俱有分， 当各自通其分。 命母入者， 还须出之， 故令“ 分母相乘为法” 而连除之。

【注释】

〔1〕此问是广大于从的情形。

〔2〕乘分：分数相乘。李籍云：“乘分者，欲知其所积。”乘分术，就是分数相乘的方法。李籍云：“自合分已下，独乘言田，而皆列于方田者，欲其学数者不可后也。故说筭者以谓‘为术者先治诸分’。能治诸分，则数学之能事尽矣。”这里道出了将分数四则运算法则列入方田章的原因。

〔3〕“母相乘为法”三句：此即分数乘法法则。

〔4〕凡实不满法者而有母、子之名：当实除以法时，如果出现实不满法的情形，即有余数，则以余数作为分子，法作为分母，就成为一个分数。这是分数产生的第二种方式。

〔5〕若有分，以乘其实而长之：如果有分数，以某数乘其实（分子），会使它增长。

〔6〕则亦满法，乃为全耳：则如果有满法（分母）的部分，就得到整数。亦，连词，相当于假如。《诗经·小雅·雨无正》：“云不可使，得罪于投资，亦云可使，怨及朋友。”全，整数。

〔7〕报除：回报以除。报，回报，回赠。《诗经·卫风·木瓜》：“投我以木瓜，报之以琼琚。”

〔8〕今子相乘则母各当报除，因令分母相乘而连除：如果分子相乘，则应当分别以分母回报以除，因而将分母相乘而连在一起除。即 。连除，连在一起除。连，联合，连接。

〔9〕直：值，价格。《史记·平准书》：“乃以白鹿皮方尺，缘以藻绩，为皮币，直四十万。”

〔10〕入于经分：纳入经分术。刘徽此处亦将整数相除归于经分。入，纳入。卷五刘徽注“以负土术入之”，卷八《九章筭术》经文“以方程术入之”，皆同义。

〔11〕此是以齐同术解卖马分金的问题。

〔12〕完全：整数。5匹马值3斤金，都是整数。

〔13〕分而言之：以分数表示之。1匹马值 斤金，是分数。

〔14〕此是以乘分术解卖马分金的问题。

〔15〕三术：指解决此问的经分术、齐同术和乘分术。

〔16〕大广田：《筭数书》的“大广”条提出大广术，与此基本一致。

〔17〕知：训“者”，说见刘徽序“故枝条虽分而同本干知”之注释。

〔18〕初术：指方田术，此术中的数都是整数。　　直：只，只是，仅。《孟子·梁惠王上》：“直不百步耳，是亦走也。”　　余分：分数部分。

〔19〕次术：指乘分术，此术中的数都是真分数。　　空：只，仅。《齐民要术》：“取石首鱼、麨鱼、鲻鱼三种肠、肚、胞，齐净洗，空著白盐。”

〔20〕见（xiàn）：显露，显现。《广韵》：“见，露也。”《周易·乾》：“见龙在田。”下文“见径”、“见其形”、“见幂”之“见”均同。

〔21〕三术：是方田术、乘分术和大广田术。

〔22〕“分母各乘其全”五句：设两个带分数为 和 ，其中a ，b 分别是两个分数的整数部分。其法则就是

【译文】

乘分淳风等按：对于乘分，分母相乘作为法，分子相乘作为实，所以叫作乘分 。术：分母相乘作为法，分子相乘作为实，实除以法。凡是有实不满法的情况才有分母、分子的名称。 若有分数，通过乘它的实而扩大它，则如果满了法，就形成整数部分。 又因为分子有所乘，所以在分母上应当用除回报。 用除回报，就是实除以法。 如果分子相乘，则应当分别以分母回报以除，因而将分母相乘而连在一起除。 这里田地有宽、长，难以比喻更多的方面。 假设有人问： 20 匹马值 12 斤金。 如果卖掉 20 匹马， 35 人分所得的金，每人得多少？ 答： 斤金。 那处理它的方式，应当像经分术那样，以 12 斤金作为实，以 35 人作为法。 又假设说： 5 匹马，值 3 斤金，如果卖掉 4 匹， 7 人分所得的金，每人得多少？ 答：每人得 斤金。 那处理它的方式，应当使金、人的数相齐，都符合开始的问题，而纳入经分术了。 那么，“ 分子相乘作为实”， 如同使其中的金相齐；“ 分母相乘作为法”， 如同使其中的人相齐。 使它们的分母相同，成为 20。 马除了用来使分母相同之外没有什么作用，只是想用它求金、人相齐之数罢了。 又， 5 匹马，值 3 斤金，这是整数之率； 若用分数表示之，就是 1 匹马值 斤金。 7 人卖 4 匹马， 1 人卖 匹马。 金与人交互相生。 表示它们的言辞虽然不同，然而计算所得的数值，则三种方法殊途同归。

大广田淳风等按：开头的术只有整数步而无分数，第二术只有分数而无整数步，此术先出现整数步，又有分数，可以广泛地兼容三种术，所以叫作大广 。术：分母分别乘自己的整数部分，加入分子，“分母分别乘自己的整数部分，加入分子”， 这是将整数部分通分，纳入分子。 这样，分子、分母都化成为实 。互相乘作为实。分母相乘作为法。如同乘分术 。实除以法。现在所建立的术是宽、长都有分数部分，应当各自通分。 既然分母已融入分子，那么还必须将它剔除，所以将分母相乘作为法而一下子除。

今有圭田广十二步〔1〕 ，正从二十一步〔2〕 。问：为田几何？

荅曰：一百二十六步。

又有圭田广五步二分步之一，从八步三分步之二〔3〕 。问：为田几何？

荅曰：二十三步六分步之五。

术曰：半广以乘正从〔4〕 。半广知〔5〕 ，以盈补虚为直田也〔6〕 。亦可半正从以乘广〔7〕 。按半广乘从，以取中平之数〔8〕 ，故广从相乘为积步〔9〕 。亩法除之，即得也。

【注释】

〔1〕圭田：本是古代卿大夫士供祭祀用的田地。《孟子·滕文公上》：“卿以下必有圭田。”圭田应是等腰三角形。李籍云：“圭田者，其形上锐有如圭然。”《九章筭术》之圭田可以理解为三角形。如图1-2（1）。《夏侯阳筭经》“圭田”自注云“三角之田”。圭，本是古代帝王、诸侯举行隆重仪式所执玉制礼器，上尖下方。李籍引《白虎通》曰：“圭者，上锐，象物皆生见于上也者。”

〔2〕正从：即“正纵”，三角形的高。

〔3〕从八步三分步之二：此圭田给出“从”，而不说“正从”，可见从就是正从，即其高。因此此圭田应是勾股形。

〔4〕这是圭田面积公式

其中S ，a ，h 分别是圭田的面积、广和正从。

〔5〕知：训“者”，说见刘徽序“故枝条虽分而同本干知”之注释。

〔6〕以盈补虚：在卷五称为“损广补狭”，在卷九称为“出入相补”，今通称为出入相补原理。出入相补原理基于这样两个明显的事实：一是将一个图形平移或旋转不改变该图形的面积或体积，一是将一个图形分割成若干部分，则所有这些部分的面积或体积的总和等于原图形的面积或体积。圭田面积的以盈补虚方法如图1-2（2）所示。

〔7〕这是刘徽记载的圭田面积的另一公式 。其以盈补虚方法如图1-2（3）所示。

〔8〕中平之数：平均值。中平，中，中等，平均。

〔9〕此是刘徽记载的关于圭田面积公式的推导。将图1-2（2），1-2（3）中的Ⅰ，Ⅱ分别移到Ⅰ′，Ⅱ′处，便将圭田化为直田，由方田术求解。

【译文】

假设有一块圭田，宽12步，长21步。问：田的面积是多少？

答：126步2 。

又假设有一块圭田，宽 步，长 步。问：田的面积是多少？

答： 步2 。

术：用宽的一半乘高。取宽的一半，是为了以盈补虚，使它变为长方形田。又可以取高的一半，以它乘宽。按：宽的一半乘高，是为了取其宽的平均值， 所以宽与长相乘成为积步。以亩法除之，就得到答案。

今有邪田〔1〕 ，一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四步〔2〕 。问：为田几何？

荅曰：九亩一百四十四步。

又有邪田，正广六十五步，一畔从一百步，一畔从七十二步〔3〕 。问：为田几何？

荅曰：二十三亩七十步。

术曰：并两邪而半之〔4〕 ，以乘正从若广〔5〕 。又可半正从若广，以乘并〔6〕 。亩法而一。并而半之者，以盈补虚也〔7〕 。

今有箕田，舌广二十步，踵广五步〔8〕 ，正从三十步。问：为田几何？

荅曰：一亩一百三十五步。

又有箕田，舌广一百一十七步，踵广五十步，正从一百三十五步。问：为田几何？

荅曰：四十六亩二百三十二步半。

术曰：并踵、舌而半之，以乘正从。亩法而一〔9〕 。中分箕田则为两邪田， 故其术相似 〔10〕 。又可并踵、 舌， 半正从以乘之 〔11〕 。

【注释】

〔1〕此问之邪田如图1-3（1）所示。　　邪田：直角梯形。邪，斜。

〔2〕正从：高。

〔3〕此问之邪田如图1-3（2）所示。两问之邪田在数学上没有什么不同。　　正广：指直角梯形两直角间的边。　　畔：边侧。

〔4〕两邪：指与邪边相邻的两广或两从，此是古汉语中实词活用的修辞方式。

〔5〕以乘正从若广：以并两邪而半之乘正从或广。若，训“或”，或者。《左传·定公元年》：“若从践土，若从宋，亦唯命。”商功章城、垣、堤、沟、堑、渠术，刍童、曲池、盘池、冥谷术之“若”与此同义。这里给出邪田面积公式

其中S ，a 1 ，a 2 ，h 分别是邪田的面积、一头广或一畔从、另一头广或一畔从，以及正从或广。

〔6〕此给出邪田面积的另一公式

〔7〕证明以上两个公式的以盈补虚方法分别如图1-3（3），（4）所示。分别将Ⅰ分别移到Ⅰ′处即可。

〔8〕箕田：是形如簸箕的田地，即一般的梯形，如图1-4（1）。李籍云：“箕田者，有舌有踵，其形哆侈，如有箕然。”又引《诗经》曰：“哆兮侈兮，成是南箕。”箕，簸箕，簸米去糠的器具。　　踵：脚后跟。舌和踵分别是梯形的上底与下底。

〔9〕此给出箕田面积公式 ，其中S ，a 1 ，a 2 ，h 分别是箕田的面积、舌、踵和正纵，与（1-7-1）相同。

〔10〕箕田分割成两邪田，如图1-4（2）所示。　　相似：相类，相像。《周易·系辞上》：“与天地相似，故不违。”

〔11〕刘徽提出箕田的另一面积公式 ，与（1-7-2）相同。

【译文】

假设有一块斜田，一头宽30步，一头宽42步，长64步。问：田的面积是多少？

答：9亩144步2 。

又假设有一块斜田，宽65步，一侧的长100步，另一侧的长72步。问：田的面积是多少？

答：23亩70步2 。

术：求与斜边相邻两宽或两长之和，取其一半，以乘长或宽。

又可以取其长或宽的一半，用以乘两宽或两长之和。除以亩法。求其和，取其一半，这是以盈补虚。

假设有一块箕田，舌处宽20步，踵处宽5步，长30步。问：田的面积是多少？

答：1亩135步2 。

又假设有一块箕田，舌处宽117步，踵处宽50步，长135步。问：田的面积是多少？

答：46亩 步2 。

术：求踵、舌处的两宽之和而取其一半，以它乘长。除以亩法。从中间分割箕田，则成为两块斜田，所以它们的术相似。 又可求踵、舌处两宽之和，取长的一半，用来相乘。

今有圆田〔1〕 ，周三十步，径十步〔2〕 。臣淳风等谨按： 术意以周三径一为率， 周三十步， 合径十步。 今依密率 〔3〕 ，合径九步十一分步之六 。问：为田几何？

荅曰：七十五步。此于徽术 〔4〕 ，当为田七十一步一百五十七分 步之一百三。　　 臣淳风等谨依密率，为田七十一步二十二分步之一十三。

又有圆田，周一百八十一步，径六十步三分步之一。臣淳风等谨按： 周三径一， 周一百八十一步， 径六十步三分步之一。 依密率， 径五十七步二十二分步之十三 。问：为田几何？

荅曰：十一亩九十步十二分步之一。此于徽术， 当为田十亩二百八步三百一十四分步之一百一十三。　　 臣淳风等谨依密率， 为田十亩二百五步八十八分步之八十七。

术曰：半周半径相乘得积步〔5〕 。按： 半周为从， 半径为广， 故广从相乘为积步也 〔6〕 。假令圆径二尺， 圆中容六觚之一面 〔7〕 ，与圆径之半， 其数均等。 合径率一而弧周率三也 〔8〕 。　　又按： 为图 〔9〕 ，以六觚之一面乘一弧半径 〔10〕 ，因而三之 〔11〕 ，得十二觚之幂 〔12〕 。若又割之， 次以十二觚之一面乘一弧之半径 〔13〕 ，因而六之 〔14〕 ，则得二十四觚之幂。 割之弥细 〔15〕 ，所失弥少 〔16〕 。割之又割， 以至于不可割 〔17〕 ，则与圆周合体而无所失矣 〔18〕 。觚面之外， 犹有余径 〔19〕 ，以面乘余径， 则幂出弧表 〔20〕 。若夫觚之细者， 与圆合体， 则表无余径 〔21〕 。表无余径， 则幂不外出矣 〔22〕 。以一面乘半径， 觚而裁之 〔23〕 ，每辄自倍 〔24〕 。故以半周乘半径而为圆幂 〔25〕 。此以周、 径， 谓至然之数 〔26〕 ，非周三径一之率也。 周三者， 从其六觚之环耳 〔27〕 。以推圆规多少之觉 〔28〕 ，乃弓之与弦也 〔29〕 。然世传此法， 莫肯精核； 学者踵古 〔30〕 ，习其谬失 〔31〕 。不有明据， 辩之斯难。 凡物类形象， 不圆则方。 方圆之率， 诚著于近， 则虽远可知也 〔32〕 。由此言之， 其用博矣。 谨按图验， 更造密率。 恐空设法， 数昧而难譬 〔33〕 ，故置诸检括 〔34〕 ，谨详其记注焉 〔35〕 。　　割六觚以为十二觚术曰： 置圆径二尺， 半之为一尺， 即圆里觚之面也。 令半径一尺为弦， 半面五寸为句， 为之求股 〔36〕 ：以句幂二十五寸减弦幂 〔37〕 ，余七十五寸， 开方除之， 下至秒、 忽 〔38〕 。又一退法， 求其微数 〔39〕 。微数无名知以为分子 〔40〕 ，以十为分母， 约作五分忽之二。 故得股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二 〔41〕 。以减半径， 余一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之三， 谓之小句。 觚之半面而又谓之小股。 为之求弦 〔42〕 。其幂二千六百七十九亿四千九百一十九万三千四百四十五忽 〔43〕 ，余分弃之 〔44〕 。开方除之， 即十二觚之一面也 〔45〕 。　　割十二觚以为二十四觚术曰： 亦令半径为弦， 半面为句， 为之求股 〔46〕 。置上小弦幂， 四而一， 得六百六十九亿八千七百二十九万八千三百六十一忽， 余分弃之，即句幂也〔47〕 。以减弦幂，其余开方除之，得股九寸六分五厘九毫二秒五忽五分忽之四〔48〕 。以减半径，余三分四厘七秒四忽五分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小股。为之求小弦〔49〕 。其幂六百八十一亿四千八百三十四万九千四百六十六忽，余分弃之〔50〕 。开方除之，即二十四觚之一面也〔51〕 。　　割二十四觚以为四十八觚术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股〔52〕 。置上小弦幂，四而一，得一百七十亿三千七百八万七千三百六十六忽，余分弃之，即句幂也〔53〕 。以减弦幂，其余，开方除之，得股九寸九分一厘四毫四秒四忽五分忽之四〔54〕 。以减半径，余八厘五毫五秒五忽五分忽之一，谓之小句〔55〕 。觚之半面又谓之小股。为之求小弦〔56〕 。其幂一百七十一亿一千二十七万八千八百一十三忽，余分弃之。开方除之，得小弦一寸三分八毫六忽，余分弃之，即四十八觚之一面〔57〕 。以半径一尺乘之，又以二十四乘之，得幂三万一千三百九十三亿四千四百万忽。以百亿除之，得幂三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四，即九十六觚之幂也〔58〕 。　　割四十八觚以为九十六觚术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股〔59〕 。置次上弦幂，四而一，得四十二亿七千七百五十六万九千七百三忽，余分弃之，则句幂也〔60〕 。以减弦幂，其余，开方除之，得股九寸九分七厘八毫五秒八忽十分忽之九〔61〕 。以减半径，余二厘一毫四秒一忽十分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小股。为之求小弦〔62〕 。其幂四十二亿八千二百一十五万四千一十二忽，余分弃之。开方除之，得小弦六分五厘四毫三秒八忽，余分弃之，即九十六觚之一面〔63〕 。以半径一尺乘之，又以四十八乘之，得幂三万一千四百一十亿二千四百万忽。以百亿除之，得幂三百一十四寸六百二十五分寸之六十四，即一百九十二觚之幂也〔64〕 。以九十六觚之幂减之，余六百二十五分寸之一百五，谓之差幂〔65〕 。倍之，为分寸之二百一十，即九十六觚之外弧田九十六所，谓以弦乘矢之凡幂也〔66〕 。加此幂于九十六觚之幂，得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九，则出于圆之表矣〔67〕 。故还就一百九十二觚之全幂三百一十四寸以为圆幂之定率而弃其余分〔68〕 。以半径一尺除圆幂，倍所得，六尺二寸八分，即周数〔69〕 。令径自乘为方幂四百寸，与圆幂相折，圆幂得一百五十七为率，方幂得二百为率。方幂二百，其中容圆幂一百五十七也〔70〕 。圆率犹为微少〔71〕 。按：弧田图令方中容圆，圆中容方，内方合外方之半〔72〕 。然则圆幂一百五十七，其中容方幂一百也〔73〕 。又令径二尺与周六尺二寸八分相约，周得一百五十七，径得五十，则其相与之率也。周率犹为微少也〔74〕 。　　晋武库中汉时王莽作铜斛〔75〕 ，其铭曰：律嘉量斛〔76〕 ，内方尺而圆其外〔77〕 ，庣旁九厘五毫〔78〕 ，幂一百六十二寸，深一尺，积一千六百二十寸，容十斗〔79〕 。以此术求之，得幂一百六十一寸有奇〔80〕 ，其数相近矣。此术微少。而觚差幂六百二十五分寸之一百五〔81〕 。以一百九十二觚之幂以率消息〔82〕 ，当取此分寸之三十六〔83〕 ，以增于一百九十二觚之幂，以为圆幂，三百一十四寸二十五分寸之四〔84〕 。置径自乘之方幂四百寸，令与圆幂通相约，圆幂三千九百二十七，方幂得五千，是为率。方幂五千中容圆幂三千九百二十七；圆幂三千九百二十七中容方幂二千五百也〔85〕 。以半径一尺除圆幂三百一十四寸二十五分寸之四，倍所得，六尺二寸八分二十五分分之八，即周数也〔86〕 。全径二尺与周数通相约，径得一千二百五十，周得三千九百二十七，即其相与之率〔87〕 。若此者，盖尽其纤微矣。举而用之，上法为约耳。当求一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之幂〔88〕 ，而裁其微分，数亦宜然，重其验耳〔89〕 。　　臣淳风等谨按：旧术求圆，皆以周三径一为率〔90〕 。若用之求圆周之数，则周少径多。用之求其六觚之田，乃与此率合会耳。何则？假令六觚之田，觚间各一尺为面，自然从角至角，其径二尺可知。此则周六径二与周三径一已合。恐此犹以难晓〔91〕 ，今更引物为喻。设令刻物作圭形者六枚，枚别三面，皆长一尺。攒此六物，悉使锐头向里，则成六觚之周，角径亦皆一尺。更从觚角外畔，围绕为规，则六觚之径尽达规矣〔92〕 。当面径短，不至外规。若以径言之，则为规六尺，径二尺，面径皆一尺。面径股不至外畔，定无二尺可知。故周三径一之率于圆周乃是径多周少。径一周三，理非精密。盖术从简要，举大纲略而言之。刘徽将以为疏，遂乃改张其率〔93〕 。但周、径相乘，数难契合。徽虽出斯二法〔94〕 ，终不能究其纤毫也。祖冲之以其不精，就中更推其数〔95〕 。今者修撰，攈摭诸家〔96〕 ，考其是非，冲之为密。故显之于徽术之下，冀学者之所裁焉〔97〕 。

【注释】

〔1〕圆田：即圆，如图1-5。

〔2〕由此问及下问知当时取“周三径一”之率，即π=3。后来的数学著作常将此率称为“古率”。

〔3〕密率：精密之率。密率是个相对概念。此处李淳风等将圆周率近似值 称作密率，元明以前的数学著作皆如此。盖 比3精确，也比徽率精确。而在《隋书·律历志》中祖冲之则将他求出的圆周率近似值 称作密率，而将 称作约率。

〔4〕徽术：又称作“徽率”，即下文刘徽所求出的圆周率近似值 。

〔5〕此即圆面积公式

其中S ，L ，r 分别是圆的面积、周长和半径。

〔6〕半周为从，半径为广，故广从相乘为积步：这是刘徽记载的前人对《九章筭术》圆面积公式的推证。它是以圆内接正六边形的周长代替圆周长，以圆内接正十二边形的面积代替圆面积，推证方法大体是：如图1-6，将圆内接正十二边形分割成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ及1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11凡16部分，使Ⅰ，1不动，而将Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ及2，3，4，5，6，7，8，9，10，11移到Ⅱ′，Ⅲ′，Ⅳ′，Ⅴ′及2′，3′，4′，5′，6′，7′，8′，9′，10′，11′处，形成一个以圆半径为广，正六边形周长的一半为纵的长方形。再由方田术，就得到《九章筭术》的圆面积公式。

〔7〕六觚：本是正六角形，今称正六边形。同样，n 觚本是正n 角形，今称正n 边形。下面的注释与今译一般不再使用正n 角形，而径直使用正n 边形。觚，多棱角的器物。《史记·酷吏列传》：“破觚而为圆。”　　面：边。

〔8〕合径率一而弧周率三：刘徽指出，以上的推证是以周三径一为前提的，实际上是以圆内接正六边形的周长代替圆周长，以圆内接正十二边形的面积代替圆面积，因而并没有真正证明《九章筭术》的圆面积公式（1-8-1）。

〔9〕此段为刘徽用极限思想和无穷小分割方法对《九章筭术》圆面积公式（1-8-1）的证明。为图：作图。

〔10〕一弧半径：即圆半径。

〔11〕因而三之：南宋本、《大典》本讹作“二因而六之”，汇校本及其增补版依戴震辑录校勘本改作“三之”，本书初版从。今依《九章筭术新校》校正。

〔12〕十二觚之幂：即圆内接正12边形之面积。设正6边形一边长为l 0 ，正12边形面积为S 1 ，则S 1 =3l 0 r 。24觚之幂亦可类似求得，即S 2 =6l 1 r 。其中S 2 ，l 1 分别是圆内接正24边形的面积及正12边形的一边长。

〔13〕一弧之半径：即圆半径。

〔14〕因而六之：南宋本、《大典》本讹作“四因而六之”，汇校本及其增补版依戴震辑录校勘本改作“六之”，本书初版从。今依《九章筭术新校》删“四”字。

〔15〕割之弥细：这里指将圆内接正6边形割成正24，48，96……边形，那么割的次数越多，则它们的边长就越细小。弥细，益加细微。弥，本义是弓张满。引申为满，遍。《周礼·春官·大竹》：“国有大故天烖，弥祀社稷祷祠。”郑玄注：“弥，犹遍也。”《史记·司马相如列传》：“离宫别馆，弥山跨谷。”张守节正义：“弥，满也。”又引申为表示程度加深的副词。《论语·子罕》：“仰之弥高，钻之弥坚。”邢昺疏：“弥，益也。”

〔16〕所失弥少：此谓如果把圆内接正多边形的面积当作圆面积，则圆面积的损失越来越少。换言之，设第n 次分割得到正6·2 n 边形的面积为S n ，显然S n ＜S ，但S -S n 越来越小。失，损失。这里指圆面积的损失。弥少，益加少。

〔17〕不可割：不可再割。这里指无限分割下去，会达到对圆内接多边形不可再分割的境地。当然只有圆内接多边形的边都变成点，才会不可再割。《墨经·经下》：“非半弗 则不动，说在端。”《经说下》：“ 半，进前取也。前，则中无为半，犹端也。前后取，则端中也。 必半；毋与非半，不可 也。”显然刘徽的割圆会达到“不可割”的境地，与《墨经》的无限分割会达到“不可 ”的端的思想是一脉相承的。 （zhuó），破，析，可以理解为分割。

〔18〕合体：合为一体，重合。此谓无限分割下去，割到不可再分割的境地，则圆内接正无穷多边形就与圆周完全重合。　　无所失：没有损失。与圆周合体而无所失，此谓此时将圆内接正多边形的面积作为圆面积，则圆面积就不再有损失。换言之，当n →∞时，则 。如图1-7（1）所示。

〔19〕余径：半径剩余的部分，即圆半径与圆内接正多边形的边心距之差。

〔20〕幂出弧表：面积超出了圆周。弧表，即圆周。将余径乘正多边形的每边之积加到正多边形的面积上，则大于圆面积，即S n +6×2 n l n r n =S n +2（S n + 1 -S n ）＞S ，其中r n 是圆内接正n 边形的余径。如图1-7（2）。

〔21〕“若夫觚之细者”三句：至于觚间的距离非常细微，圆内接正多边形与圆周合体的时候，则不再有余径。亦即n →∞时，有 。若夫，至于。《周易·系辞下》：“若夫杂物撰德，辩是与非，则非其中爻不备。”

〔22〕表无余径，则幂不外出矣：刘徽认为，当不再有余径时，则余径乘正多边形的每边之积与正多边形的面积之和不再大于圆面积。亦即 时，有

〔23〕以一面乘半径，觚而裁之：此谓以正多边形的一边乘圆半径，当然这得将与圆周合体的正多边形从每个角将其裁开。刘徽考虑与圆周合体的正无穷多边形，将它分割成以圆心为顶点，以每边为底的无穷多个小等腰三角形。“觚而裁之”四字，本书初版误植于“以一面乘半径”之前，今依《九章筭术新校》恢复原序。盖“觚而裁之”是刘徽自注“以一面乘半径”。

〔24〕每辄自倍：由于每个小等腰三角形的高就是圆半径，显然以正多边形的一边乘圆半径，总是每个小等腰三角形面积的2倍。设每个小等腰三角形的底边长为l i ，其面积为A i ，则l i r =2A i 。如图1-7（3）所示。辄，总是。《史记·李斯列传》：“二世拜赵高为中丞相，事无大小辄决于高。”自倍，自身的2倍。

〔25〕故以半周乘半径而为圆幂：所以以圆周长的 乘半径就得到圆面积。盖所有这些小等腰三角形的底边之和为圆周长 ，它们的面积之和为圆面积 。因此， 。由此式反求出S ，就得到（181）式，即 。这是一个使用极限思想和无穷小分割方法对《九章筭术》圆面积公式的完整证明。可是在20世纪70年代末以前，所有涉及刘徽割圆术的著述都有意无意地忽略了刘徽“以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂”这几句画龙点睛之语——甚至一篇逐字逐句翻译刘徽割圆术的文章对这几句话竟略而不译，因此都没有认识到刘徽在证明《九章筭术》的圆面积公式（1-8-1）。而证明《九章筭术》的圆面积公式，是刘徽割圆术的主旨所在。同时，所有著述都将刘徽此注中的几个极限过程说成是为了求圆周率。实际上，下面将看到，求圆周率用不到极限过程和无穷小分割，只是极限思想在近似计算中的应用。并且，由于没有认清刘徽割圆术的主旨，20世纪70年代末以前所有关于刘徽求圆周率程序的论述都背离了刘徽注。

〔26〕至然之数：非常精确的数值。

〔27〕六觚之环：圆内接正六边形的周长。

〔28〕觉（jiào）：“较”之通假字。《孟子·离娄下》赵岐注：“如此贤不肖相觉，何能分寸？”较（jiào），比较，较量。《老子·第二章》：“长短相较，高下相顷。”

〔29〕乃弓之与弦也：此谓圆内接正六边形与圆的关系，就是弓与弦的关系。

〔30〕踵古：追随古人。踵，本义是脚后跟，引申为追，追逐，追随。《左传·昭公二十四年》：“吴踵楚，而疆埸无备，邑能无亡乎？”

〔31〕习：沿袭。“习”的本义是鸟类频频试飞。《说文解字》：“习，数飞也。”引申为学习、习惯，沿袭，重复。《书经·大禹谟》：“龟筮协从，卜不习吉。”孔传：“习，因耶。”　　谬失：错误。谬，荒谬，谬误，差错。《说文解字》：“谬，狂者之妄言也。”《汉书·司马迁传》：“故《易》曰：‘差以豪厘，谬以千里。’”失，错误，过失。《汉书·路温舒传》：“臣闻秦有十失，其一尚存，治狱之吏是也。”

〔32〕“方圆之率”三句：此谓在近处求出方率与圆率，在远处也是可以知道的。其意思是，方率与圆率是常数，在任何地方都是一样的。

〔33〕昧：冥，昏暗，不清楚。　　譬：明白，通晓。《后汉书·鲍永传论》：“若乃言之者虽诚，而闻之者未譬。”但此例句已在刘徽之后。

〔34〕检括：法则，法度。晋刘越石《答卢逊诗并书》：“昔在少年，未尝检括。”此例句亦在刘徽之后。

〔35〕其记注就是刘徽在中国首创的求圆周率的程序。

〔36〕这是考虑由圆内接正六边形的边长的一半AC 作为勾，边心距OC 作为股，圆半径OA 作为弦的勾股形OAC 。已知弦、勾，求股。如图1-8。

〔37〕句幂：是以勾为边长的正方形的面积。该正方形称为勾方。　　弦幂：是以弦为边长的正方形的面积。该正方形称为弦方。下“股幂”、“股方”同。见卷九勾股术注释。

〔38〕秒、忽：都是长度单位。李籍云：“忽者，数之始也。一蚕所吐谓之忽。”又引《孙子筭术》曰：“蚕所生吐丝为忽，十忽为秒，十秒为毫，十毫为厘，十厘为分。”即1分=10厘，1厘=10毫，1毫=10秒，1秒=10忽。李籍所引与《隋书·律历志》所引《孙子筭经》的文字相同，而与南宋本、《大典》本不同。

〔39〕微数：微小的数。求微数是刘徽创造的以十进分数逼近无理根的近似值方法，见卷四开方术注释。

〔40〕知：训“者”，其说见刘徽序“故枝条虽分而同本干知”之注释。

〔41〕考虑以圆内接正6边形一边长之半AC 为勾，边心距OC 为股，圆半径OA 为弦的勾股形OAC ，那么 忽。

〔42〕考虑以圆内接正6边形的余径CA 1 为勾，其边长之半AC 为股，正12边形一边长AA 1 为弦的勾股形A 1 AC ，余径 。

〔43〕亿：万万曰亿。李籍云：“十万曰亿。万者，物数也。以人之意数为足以胜物数故也。或曰：万万曰亿。黄帝为法，数有十等，及其用也，乃有三焉。十等者，谓亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载也。三等者，谓上、中、下之数也。下数者，十十变之。若言：十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京。中数者，万万变之。若言：万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京。上数者，数穷则变。若言：万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京。《诗》云：‘不稼不穑，胡取禾三百亿兮？’毛氏曰：‘万万曰亿。’郑氏曰：‘十万曰亿。’据如此言，则郑用下数，毛用中数也。”数有十等之说，李籍引自东汉末徐岳《数术记遗》。北周甄鸾《数术记遗注》引用《诗经》及其毛、郑注释三等数。

〔44〕余分弃之：舍去分数部分。此谓

〔45〕那么弦

就是圆内接正12边形的一边长l 1 。

〔46〕考虑以圆内接正12边形一边长之半AC 1 为勾，边心距OC 1 为股，圆半径OA 为弦的勾股形OAC 1 。

〔47〕

〔48〕那么勾股形OAC 1 的股即正12边形的边心距

〔49〕考虑以圆内接正12边形的余径C 1 A 2 为勾，其边长AA 1 之半AC 1 为股，正24边形一边长A 2 A 为弦的勾股形A 2 AC 1 ，余径即勾

求其弦A 2 A 。

〔50〕那么弦幂为

弃去余分 ，则弦幂

A 2 A 2 =68 148 349 466忽2 。

〔51〕开方除之，得

就是圆内接正24边形的一边长l 2 。

〔52〕考虑以圆内接正24边形一边长之半AC 2 为勾，边心距OC 2 为股，圆半径OA 为弦的勾股形OAC 2 。

〔53〕勾AC 2 之幂 。弃去余分，得 。

〔54〕则股即正24边形的边心距

〔55〕勾即余径C 2 A 3 =OA 3 -OC 2 =10寸- 忽= 忽。

〔56〕考虑以圆内接正24边形的余径C 2 A 3 为勾，其边长AA 2 之半AC 2 为股，正48边形一边长A 3 A 为弦的勾股形A 3 AC 2 。

〔57〕

就是圆内接正48边形的一边长l 3 。

〔58〕圆内接正96边形的面积

〔59〕考虑以圆内接正48边形一边长之半AC 3 为勾，边心距OC 3 为股，圆半径OA 为弦的勾股形OAC 3 。

〔60〕勾AC 3 之幂 。

〔61〕那么股即正48边形的边心距

〔62〕考虑以圆内接正48边形的余径C 3 A 4 为勾，其边长AA 3 之半AC 3 为股，正96边形一边长A 4 A 为弦的勾股形A 4 AC 3 。

〔63〕余径 ，那么弦 ，就是圆内接正96边形的一边长l4 。

〔64〕圆内接正192边形的面积

〔65〕差幂：谓圆内接正192边形与96边形的面积之差。即

〔66〕以弦乘矢之凡幂：以弦乘矢的总面积。此即 96l 4 r 4 ，其中r 4 是圆内接正96边形的余径。凡，总共，总计。《史记·陈涉世家》：“陈胜王凡六月。”凡幂，总面积。

〔67〕此即 。

〔68〕定率：确定的率。此谓取圆内接正192边形面积的整数部分314寸2 作为圆面积的近似值S ≈314寸2 。

〔69〕“以半径一尺除圆幂”四句：以半径1尺除圆面积，将结果加倍，得到6尺2寸8分，就是圆周长。此借助圆面积公式（1-8-1），由圆面积近似值314寸2 反求出圆周长的近似值 8分。

〔70〕方幂二百，其中容圆幂一百五十七也：圆的外切正方形与圆的面积之比为

S 外 :S =200:157。（1-9-1）

〔71〕圆率犹为微少：圆率仍然微少。犹，还，仍。《诗经·卫风·氓》：“士之耽兮，犹可说也。”

〔72〕圆中容方，内方合外方之半：圆内接一个正方形，则圆内接正方形的面积是其外切正方形的 ，如图1-9。

〔73〕圆幂一百五十七，其中容方幂一百：圆与圆内接正方形的面积之比为

S :S 内 =157:100。（1-9-2）

由（1-9-1）与（1-9-2），得

S 外 :S :S 内 =200:157:100。（1-9-3）

〔74〕刘徽用圆直径2尺与圆周长6尺2寸8分相约，得到

这就是徽术或徽率。20世纪70年代末以前，所有著述由于没有认识到刘徽在证明圆面积公式（1-8-1），将求圆周率的程序也搞错了。这些著述皆认为在确定了圆面积的近似值314寸2 之后，使用中学数学教科书中的圆面积公式S =πr 2 。这不仅背离了刘徽注，而且会将刘徽置于他从未犯过的循环推理的错误境地。因为刘徽此时并未证明这个圆面积公式，而是在求出圆周率（1-10-1）之后，用它修正了与之相当的圆面积公式，即下文之（1-8-3）。

〔75〕晋武库：刘徽所称“晋武库”是晋朝之武库，还是晋王之武库，学术界有争论。盖魏景元四年（263）司马昭称晋公，旋为晋王。笔者倾向于此为晋王甚或晋公之武库。因为在魏朝，刘徽可以说晋王之武库为“晋武库”。若是晋朝之武库，则刘徽肯定入晋，不当加“晋”字。武库，储藏兵器的仓库。《汉书·毋将隆传》：“武库兵器，天下公用。”从晋武库藏王莽铜斛看，武库不仅藏兵器，还藏国家的重要器物。　　王莽铜斛：西汉末年刘歆为王莽制造的标准量器。新始建国元年（9）颁行，合斛、斗、升、合、龠为一器。上部为斛，下部为斗，左耳为升，右耳为合、龠。今藏台北故宫博物院。如图1-10。

〔76〕律嘉量斛：标准量器中的斛器。律，本是用竹管或金属管制成的定音仪器，后引申为标准、法纪，如乐律、历律、格律、律尺、律吕等。嘉量，古代的标准量器。有鬴、豆、升三量。　　《周礼·考工记》：“㮚氏为量……其铭曰：‘时文思索，允臻其极，嘉量既成，以观四国。’”

〔77〕内方尺而圆其外：王莽铜斛的斛量的截面是圆形的，内部的一个边长1尺的正方形，这是虚拟的，实际上并不存在。

〔78〕庣（tiāo）旁：是铜斛的截面中假设的边长1尺的正方形的对角线不满外圆周的部分。如图1-11。庣，凹下或不满之处。李籍云：“不满之貌也。”王莽铜斛之庣旁与齐量之庣旁恰好相反，在那里是量器的截面中假设的边长1尺的正方形的对角线超过外圆周的部分，见卷五委粟术刘徽注及图5-46。

〔79〕现存王莽铜斛之斛铭是：“律嘉量斛，内方尺而圜其外，庣旁九厘五豪，冥百六十二寸，深尺，积千六百二十寸，容十斗。”刘徽注所述与此略有不同，而与《隋书·律历志》的记载基本一致。《隋书·律历志》是李淳风撰写的，刘徽所述的斛铭或许经过李淳风等改窜，亦未可知。

〔80〕奇（jī）：奇零。李籍云：“余数也。”假设的正方形边长为1尺，那么铜斛的圆直径为 。以徽术计算，底面积为 ，故云161寸2 有奇。

〔81〕觚差幂：两个正多边形面积之差，这里是圆内接正192边形与96边形的面积之差，即 。

〔82〕这是说以圆内接正192边形的面积作为增减的基础。以：训“为”。裴学海《古书虚字集释》卷一：“‘以’犹‘为’也。”　　消息：谓一消一长。《周易·丰》：“天地盈虚，与时消息。”

〔83〕 寸2 是如何取得的，学术界有不同看法。笔者认为是估值。盖 寸2 ，而S -S 4 大约是S 5 -S 4 的 ，即约 寸2 ，如 图1-12。为化简方便，取其为 寸2 。

〔84〕此确定圆面积的近似值 。

〔85〕此即

S 外 :S :S 内 =5 000:3 927:2 500。（1-9-4）

〔86〕此亦借助圆面积公式（1-8-1），由圆面积近似值 寸2 ，反求出圆周长的近似值

〔87〕刘徽用圆直径2尺与圆周长的近似值6尺2寸 分相约，得到

这是刘徽求得的第二个圆周率近似值，相当于3.141 6。

〔88〕据严敦杰计算，圆内接正1 536边形的边长 忽，正3 072边形的面积 寸2 。

〔89〕刘徽以 寸2 作为圆面积的近似值，再利用（1-8-1）式反求出圆周长的近似值，与圆直径2尺相约，重新验证了（1-10-2）式。

〔90〕旧术：指《九章筭术》时代的圆周率。

〔91〕如此简单的问题，李淳风等还恐算学馆的学子不懂，可见当时数学水平之低下。以：训“为”。

〔92〕畔：本指田界。《说文解字》：“畔，田界也。”引申为界限，边。规：这里指用圆规画出的圆。

〔93〕将：训“则”。裴学海《古书虚字集释》卷八：“将，犹则也。”《左传·襄公二十九年》：“专责速及，侈将以其力毙。”

〔94〕二法：指刘徽求出的两个圆周率近似值 。有的学者根据戴震辑录本认为此当作“一法”，仅指 ，并将此作为 系祖冲之所创的根据，失之。

〔95〕祖冲之（429—500）：南北朝宋、齐数学家、天文学家。字文远。祖籍范阳遒（今河北涞水），父、祖均仕南朝。冲之少稽古，有机思，专攻数术。青年时直华林学省（学术机关），后任南徐州（今江苏镇江）从事史、娄县（今江苏昆山）令。入齐，官至长水校尉。注《九章筭术》，撰《缀术》，均亡佚。特善算，推算出圆周率近似值领先世界约千年。制定《大明历》，首先引入岁差，其日月运行周期的数据比以前的历法更为准确。撰《驳议》，不畏权贵，坚持科学真理，反对“虚推古人”。又曾改造指南车、水碓磨、千里船、木牛流马、欹器，解钟律、博、塞，当时独绝。注《周易》、《老子》、《庄子》，释《论语》，亦亡佚。又撰《述异记》，今有辑本。严敦杰撰有《祖冲之科学著作校释》（辽宁教育出版社，2000年；山东科学技术出版社，2017年），校释了现传世的祖冲之的著作及有关祖冲之的史料。　　更推其数：重新计算圆周率的数值。《隋书·律历志》（李淳风撰）云：“宋末，南徐州从事史祖冲之更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈、朒二限之间。密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率：圆径七，周二十二。”这相当于3.141 592 6＜π＜3.141 592 7，密率 ，约率 。李淳风等在此将后者称为密率，并显之于徽术之下。

〔96〕攈摭（jùn zhí）：摘取，搜集。《汉书·刑法志》：“三章之法，不足以御奸，于是相国萧何攈摭秦法，取其宜于时者，作律九章。”李籍云：“攈摭，取拾也。”攈，或作捃。是当时还有一“攈”作“捃”的抄本。

〔97〕李淳风等指出祖冲之所求的圆周率比徽率精确，是对的。但对刘徽有微词，则不妥。刘徽在中国数学史上首创求圆周率的科学方法，理论意义与实践意义十分重大。祖冲之的方法已失传，一般认为，他使用的是刘徽的方法。钱宝琮指出：“李淳风等缺乏历史发展的认识，有意轻视刘徽割圆术的伟大意义，徒然暴露了他们自己的无知。”

【译文】

假设有一块圆田，周长30步，直径10步。淳风等按：问题的意思是以周三径一作为率，那么周长 30 步，直径应当是 10 步。 现在依照密率，直径应当是 步 。问：田的面积是多少？

答：75步2 。用我的方法，此田的面积应当是 步2 。　　 淳风等按：依照密率，此田的面积是 步2 。

又假设有一块圆田，周长181步，直径 步。淳风等按：按照周三径一，周长 181 步，直径应当是 步。 依照密率，直径为 。 问：田的面积是多少？

答：11亩 步2 。用我的方法，此田的面积应当是 10 亩 步2 。　　 淳风等按：依照密率，此田的面积是 10 亩 步2 。

术：半周与半径相乘便得到圆面积的积步。按：以圆内接正六边形的周长之半作为长，圆半径作为宽，所以宽、长相乘就成为圆面积的积步。 假设圆的直径为 2 尺，圆内接正六边形的一边与圆半径，其数值相等。 这符合周三径一。　　 又按：作图。 以圆内接正 6 边形的一边乘圆半径，以 3 乘之，便得到正 12 边形的面积。 如果再分割它，以正 12 边形的一边乘圆半径，又以 6 乘之，便得到正 24 边形的面积。 分割得越细，正多边形与圆的面积之差就越小。 这样分割了又分割，一直分割到不可 再分割的地步，则正多边形就与圆周完全吻合而没有什么差别了。 正多边形每边之外，还有余径。 以每边长乘余径，加到正多边形上，则其面积就超出了圆弧的表面。 如果是其边非常细微的正多边形，因为与圆吻合，那么每边之外就没有余径。 每边之外没有余径，则它的面积就不会超出圆弧的表面。 以正多边形的每边乘圆半径—— 将与圆周合体的正多边形从每个角到圆心裁开，分割成无穷多个小等腰三角形。 其乘积总是每个小等腰三角形的面积的二倍。 所以以圆的周长之半乘半径，就成为圆面积。 这里所用的圆周和直径，说的是非常精确的数值，而不是周三径一之率。 周 3， 只符合正 6 边形的周长，用来推算与圆周多少的差别，就像弓与弦一样。 然而世代传袭这一方法，不肯精确地核验； 学者跟随古人的脚步，沿袭他们的谬失。 没有明晰的证据，辩论这个问题就很困难。 凡是事物的形象，不是圆的，就是方的。 方率与圆率，如果在切近处确实很明显，那么即使在邈远处也是可以知道的。 由此说来，它的应用是非常广博的。 我谨借助图形作为验证，提出计算精密圆周率值的方法。 我担心凭空设立一种方法数值不清晰而且使人难以通晓，因此把它置于一个法度之中，谨详细地写下这个注释。　　 割圆内接正 6 边形为正 12 边形之术：布置圆直径 2 尺，取其一半，为 1 尺，就是圆内接正 6 边形之一边长。 取圆半径 1 尺作为弦，正 6 边形边长之半 5 寸作为勾，求它们的股：以勾方的面积 25 寸2 减弦方的面积，余 75 寸2 。 对它作开方除法，求至秒、忽。 又再退法，求它的微数。 微数中没有名数单位的，就作为分子，以 10 作为分母，约简成 忽。 因此得到股是 8 寸 6 分 6 厘 2 秒 忽。 以它减圆半径，余 1 寸 3 分 3 厘 9 毫 7 秒 忽，称作小勾。 正 6 边形边长之半又称作小股。 求它们的弦。 它的面积是 267 949 193 445 忽2 ， 舍弃了忽以下剩余的分数。 对它作开方除法，就是圆内接正 12 边形的一边长。　　 割圆内接正 12 边形为正 24 边形之术：也取圆半径作为弦，正 12 边形边长之一半作为勾，求它们的股。 布置上述小弦方的面积，除以 4， 得 66 987 298 361 忽2 ， 舍弃了忽以下剩余的分数，就是勾方的面积。 以它减弦方的面积，对其余数作开方除法，得到股是 9 寸 6 分 5 厘 9 毫 2 秒 忽。 以它减圆半径，余 3 分 4 厘 7 秒 忽，称作小勾。 正 12 边形边长之半又称作小股。 求它们的小弦。 它的面积是 68 148 349 466 忽2 ， 舍弃了忽以下剩余的分数。 对它作开方除法，就是圆内接正 24 边形的一边长。　　 割圆内接正 24 边形为正 48 边形之术：也取圆半径作为弦，正 24 边形边长之一半作为勾，求它们的股。 布置上述小弦方的面积，除以 4， 得 17 037 087 366 忽2 ， 舍弃了忽以下剩余的分数，就是勾方的面积。 以它减弦方的面积，对其余数作开方除法，得到股是 9 寸 9 分 1 厘 4 毫 4 秒 忽。 以它减圆半径，余 8 厘 5 毫 5 秒 忽，称作小勾。 正 24 边形边长之半又称作小股。 求它们的小弦。 它的面积是 17 110 278 813 忽2 ， 舍弃了忽以下剩余的分数。 对它作开方除法，就是圆内接正 48 边形的一边长。 以圆半径 1 尺乘之，又以 24 乘之，得到面积 3 139 344 000 000 忽2 。 以 10 000 000 000 除之，得到面积 寸2 ， 就是圆内接正 96 边形的面积。　　 割圆内接正 48 边形为正 96 边形之术：也取圆半径作为弦，正 48 边形边长之一半作为勾，求它们的股。 布置上述小弦方的面积，除以 4， 得 4 277 569 703 忽2 ， 舍弃了忽以下剩余的分数，就是勾方的面积。 以它减弦方的面积，对其余数作开方除法，得到股是 9 寸 9 分 7 厘 8 毫 5 秒 忽。 以它减圆半径，余 2 厘 1 毫 4 秒 忽，称作小勾。 正 48 边形边长之半又称作小股。 求它们的小弦。 它的面积是 4 282 154 012 忽2 ， 舍弃了忽以下剩余的分数。 对它作开方除法，得小弦 6 分 5 厘 4 毫 3 秒 8 忽，舍弃了忽以下剩余的分数，就是圆内接正 96 边形的一边长。 以圆半径 1 尺乘之，又以 48 乘之，得到面积 3 141 024 000 000 忽2 。 以 10 000 000 000 除之，得到面积 寸2 ， 就是圆内接正 192 边形的面积。 以圆内接正 96 边形的面积减之，余 寸2 ， 称作差幂。 将其加倍，为 寸2 ， 就是圆内接正 96 边形之外 96 块位于圆弧上的田，是以弦乘矢之总面积。 将此面积加到正 96 边形的面积上，得到 寸2 ， 则就超出于圆弧的表面了。 因而回过头来取圆内接正 192 边形的面积的整数部分 314 寸2 作为圆面积的定率，而舍弃了寸以下剩余的分数。 以圆半径 1 尺除圆面积，将所得的数加倍，为 6 尺 2 寸 8 分，就是圆周长。 使圆的直径自乘，为正方形的面积 400 寸2 ， 与圆面积相折算，圆面积得 157 作为率，正方形面积得 200 作为率。 如果正方形面积是 200， 其内切圆的面积就是 157， 而圆面积之率仍然稍微小一点。 按：弧田图中，使正方形中有内切圆，内切圆中又有内接正方形，内接正方形的面积恰恰是外切正方形的一半。 那么，如果圆面积是 157， 其内接正方形的面积就是 100。 又使圆直径 2 尺与圆周长 6 尺 2 寸 8 分相约，圆周得 157， 直径得 50， 就是 它们的相与之率。 而圆周的率仍然稍微小一点。　　 晋武库中西汉王莽制作的铜斛，其铭文说：律嘉量斛：外面是圆形的，而内部相当于一个有 9 厘 5 毫的庣旁而边长为 1 尺的正方形，面积是 162 寸2 ， 深是 1 尺，容积是 1 620 寸3 ， 容量为 10 斗。 用这种周径之率计算之，得到面积为 161 寸2 ， 还带有奇零。 它们的数值相近，而这样的计算结果稍微小一点。 而圆内接正 192 边形与正 96 边形的面积差为 寸2 。 以 192 边形的面积作为求率时增减的基础，应该取 寸2 ， 加到正 192 边形的面积上，作为圆面积，即 寸2 。 布置圆直径自乘的正方形面积 400 寸2 ， 使之与圆面积通分约简，圆面积得 3 927， 正方形面积得 5 000， 这就是方圆之率。 如果正方形面积是 5 000， 其内切圆的面积就是 3 927； 如果圆面积是 3 927， 则其内接正方形的面积是 2 500。 以圆半径 1 尺除圆面积 寸2 ， 将所得的数加倍，为 6 尺 2 寸 分，就是圆周长。 圆直径 2 尺与圆周长通分相约，直径得 1 250， 圆周得 3 927， 就是它们的相与之率。 如果取这样的值，大概达到非常精确的地步了。 拿来应用，上述方法是简约一些。 应当求出圆内接正 1 536 边形的一边长，得出正 3 072 边形的面积，裁去其微小的分数，其数值也是这样，再次得到验证。　　 淳风等按：以旧术解决圆的各种问题，皆以周三径一为率。 若用之求圆周长，则圆周小，直径大。 用来求正 6 边形的田地，才与此率相吻合。 为什么呢？ 假设正 6 边形的田，棱角之间各是 1 尺，作为边长，那么自然可以知道，从角至角，直径为 2 尺。 这就是周六径二，与周三径一相吻合。 我们担心，这仍然使人难以明白，今进一步拿一种物品作为比喻。 假设将一种物品刻成三角形，共 6 枚，每一枚各有三边，每边 1 尺。 把这 6 个物品集中起来，使它们的尖头都朝里，就成为正 6 边形的周长，相邻两角间的长度都是 1 尺。 再从棱角的外缘，围绕成圆弧形，则正 6 边形的直径全都抵达圆弧。 而正 6 边形对边之间的直径短，不能抵达外圆弧。 如果以圆直径说来，则应该为圆弧 6 尺，直径 2 尺，每边长都是 1 尺。 然而每边的股不能抵达外圆弧，可以知道肯定不足 2 尺长。 所以周三径一之率对圆直径而言就是直径略大而圆周长略小。 径一周三，从数理上说并不精密。 因为数学方法都要遵从简易的原则，所以略举它的大纲，概略地表示之。 刘徽则认为这个率太粗疏，于是就改变它的率。 但是圆周长与直径相乘，其数值难以吻合。 刘徽尽管提出了这两种方法，终究不能穷尽其纤毫。 祖冲之因为他的值不精确， 就此重新推求其数值。现在修撰，搜集各家的方法，考察他们的是非，认为祖冲之的值是精密的。因此，将它显扬于刘徽的方法之下， 希望读者有所裁断。

又术曰：周、径相乘，四而一〔1〕 。此周与上弧同耳。 周、 径相乘各当以半。 而今周、 径两全， 故两母相乘为四， 以报除之。 于徽术， 以五十乘周， 一百五十七而一， 即径也 〔2〕 。以一百五十七乘径， 五十而一， 即周也 〔3〕 。新术径率犹当微少。 则据周以求径， 则失之长 〔4〕 ；据径以求周， 则失之短 〔5〕 。诸据见径以求幂者， 皆失之于微少； 据周以求幂者， 皆失之于微多 〔6〕 。　　臣淳风等按： 依密率， 以七乘周， 二十二而一， 即径 〔7〕 ；以二十二乘径， 七而一， 即周 〔8〕 。依术求之， 即得。

【注释】

〔1〕此即圆面积的又一公式

〔2〕此为刘徽修正的由圆周求直径的公式 。

〔3〕此为刘徽修正的由圆直径求圆周的公式 。

〔4〕此谓 的失误在于稍微大了点。

〔5〕此谓 的失误在于稍微小了点。

〔6〕此谓 稍微小， 稍微大。

〔7〕此为李淳风等修正的由圆周求直径的公式 。

〔8〕此为李淳风等修正的由圆直径求圆周的公式 。

【译文】

又术：圆周与直径相乘，除以4。此处的圆周与上术中的周是相同的。 圆周与直径相乘，应当各用它们的一半。 而现在圆周与直径两者都是整个的，所以两者的分母相乘为 4， 回报以除。 用我的方法，用 50 乘圆周，除以 157， 就是直径； 用 157 乘直径，除以 50， 就是圆周。 新的方法中，直径的率还应当再稍微小一点。 那么，根据圆周来求直径，则产生的失误在于长了； 根据直径来求圆周，则产生的失误在于短了。 至于根据已给的直径来求圆面积，那么产生的失误都在于稍微小了一点； 根据已给的圆周来求圆面积，那么产生的失误都在于稍微大了一点。　　 淳风等按：依照密率，用 7 乘圆周，除以 22， 就是直径； 用 22 乘直径，除以 7， 就是圆周。 用这种方法求，就得到了。

又术曰：径自相乘，三之，四而一〔1〕 。按： 圆径自乘为外方 〔2〕 。“三之， 四而一” 者， 是为圆居外方四分之三也 〔3〕 。若令六觚之一面乘半径， 其幂即外方四分之一也。 因而三之， 即亦居外方四分之三也 〔4〕 。是为圆里十二觚之幂耳。 取以为圆， 失之于微少。 于徽新术， 当径自乘， 又以一百五十七乘之， 二百而一 〔5〕 。　　臣淳风等谨按： 密率， 令径自乘， 以十一乘之， 十四而一， 即圆幂也 〔6〕 。

【注释】

〔1〕此即圆面积的第三个公式

〔2〕外方：即圆的外切正方形。它的面积是d 2 。

〔3〕这是说，圆面积是其外切正方形面积的 。

〔4〕此谓以圆内接正12边形的面积为圆面积，用出入相补原理推证圆田又术。如图1-13，将图1-13（1）中的圆内接正12边形分割成Ⅰ—Ⅸ，1—9等18份，移到图1-13（2）中的Ⅰ′—Ⅸ′，1′—9′上，恰占满该正方形的 。这是刘徽采前人之说记入注中。

〔5〕此为刘徽修正的公式

〔6〕此为李淳风等修正的公式

【译文】

又术：圆直径自乘，乘以3，除以4。按：圆的直径自乘为它的外切正方形。“ 乘以 3， 除以 4”， 这是因为圆占据外切正方形的 。 若令圆内接正 6 边形的一边长乘圆半径， 其面积就是外切正方形的 。 乘以 3， 就占据外切正方形的 ， 这就成为圆内接正 12 边形的面积。 取它作为圆， 产生的失误在于小了一点。 用我的方法， 应该使圆直径自乘， 又乘以 157， 除以 200。　　 淳风等按：依照密率， 使圆直径自乘， 乘以 11， 除以 14， 就是圆面积。

又术曰：周自相乘，十二而一〔1〕 。六觚之周， 其于圆径， 三与一也 〔2〕 。故六觚之周自相乘为幂， 若圆径自乘者九方 〔3〕 ，九方凡为十二觚者十有二 〔4〕 ，故曰十二而一， 即十二觚之幂也 〔5〕 。今此令周自乘， 非但若为圆径自乘者九方而已 〔6〕 。然则十二而一， 所得又非十二觚之 类也 〔7〕 。若欲以为圆幂， 失之于多矣 〔8〕 。以六觚之周， 十二而一可也 〔9〕 。于徽新术， 直令圆周自乘， 又以二十五乘之， 三百一十四而一， 得圆幂 〔10〕 。其率： 二十五者， 圆幂也； 三百一十四者， 周自乘之幂也 〔11〕 。置周数六尺二寸八分， 令自乘， 得幂三十九万四千三百八十四分。 又置圆幂三万一千四百分。 皆以一千二百五十六约之， 得此率 〔12〕 。　　臣淳风等谨按： 方面自乘即得其积。 圆周求其幂， 假率乃通。 但此术所求用三、 一为率。 圆田正法， 半周及半径以相乘。 今乃用全周自乘， 故须以十二为母。 何者？ 据全周而求半周， 则须以二为法。 就全周而求半径， 复假六以除之。 是二、 六相乘除周自乘之数。 依密率， 以七乘之， 八十八而一 〔13〕 。

【注释】

〔1〕此即圆面积的第四个公式

〔2〕三与一：3与1之率。此谓圆内接正六边形的周长是圆直径的3倍。

〔3〕如图1-14，以圆直径自乘形成一个正方形（含有4个以半径为边长的小正方形），而以圆内接正六边形的边长自乘形成一个大正方形，含有9个以直径为边长的正方形。

〔4〕这里仍以圆内接正12边形的面积代替圆面积，由图1-13，圆内接正12边形的面积是圆直径形成的正方形的 ，因此圆内接正六边形的周长形成的大正方形有12个圆内接正12边形。

〔5〕此谓1个正12边形的面积恰为大正方形的 。这也是刘徽采前人用出入相补原理推证圆田又术（1-8-4）的方法记入注中。

〔6〕此谓以圆周形成的正方形不只9个圆直径形成的正方形，换言之，不只12个圆内接正12边形的面积。　　非但：不仅，不只。　　若：乃，就。

〔7〕此谓 不是圆内接正12边形的面积。

〔8〕此谓如果以 作为圆面积，失误在于多了一点。

〔9〕此谓圆内接正六边形周长形成的正方形的面积，除以12，是圆内接正12边形的面积，是可以的。

〔10〕此为刘徽的修正公式

〔11〕此谓L 2 :S =314:25。

〔12〕以上的率这样得到：L 2 =（628分）2 =394384分2 ，S =314寸2 =31 400分2 。两者有等数1 256，以其约简即可。

〔13〕此为李淳风等的修正公式

【译文】

又术：圆周自乘，除以12。圆内接正 6 边形的周长对于圆的直径是 3 比 1。 因此，正 6 边形的周自乘形成的面积，相当于 9 个圆直径自乘所形成的正方形。 这 9 个正方形总共形成 12 个正 12 边形，所以说除以 12，就是正12边形的面积。现在使圆周自乘，那就不只是9个圆直径自乘所形成的正方形。那么，除以12，更不是正12边形之类。如果想把它作为圆面积，产生的失误就在于多了一点。用正6边形的周长作正方形，除以12，作为正12边形的面积是可以的。用我的新方法，径直使圆周自乘，又乘以25，除以314，就得到圆面积。其中的率：25是圆面积的，314是圆周自乘的面积的。布置圆周数6尺2寸8分，使自乘，得到面积394 384分2 。又布置圆面积31 400分2 ，都以1 256约简，就得到这个率。　　淳风等按：边长自乘就得到它的面积。用圆周求它的面积，借助于率就会通达。但是这一方法中所求的却是用周三径一作为率。正确的圆田面积方法是半圆周与半径相乘。现在却是整个圆周自乘，所以须以12作为分母。为什么呢？根据整个圆周而求半圆周，则必须以2作为法。根据整个圆周而求它的半径，应再除以6。这就是用2与6相乘，去除圆周自乘之数。依照密率，乘以7，除以88。

今有宛田〔1〕 ，下周三十步，径十六步。问：为田几何？

荅曰：一百二十步。

又有宛田，下周九十九步，径五十一步。问：为田几何？

荅曰：五亩六十二步四分步之一。

术曰：以径乘周，四而一〔2〕 。此术不验 〔3〕 。故推方锥以见其形 〔4〕 。假令方锥下方六尺， 高四尺。 四尺为股， 下方之半三尺为句。 正面邪为弦 〔5〕 ，弦五尺也。 令句、 弦相乘， 四因之， 得六十尺， 即方锥四面见者之幂 〔6〕 。若令其中容圆锥， 圆锥见幂与方锥见幂， 其率犹方幂之与圆幂也 〔7〕 。按： 方锥下六尺， 则方周二十四尺。 以五尺乘而半之， 则亦方锥之见幂。 故求圆锥之数， 折径以乘下周之半， 即圆锥之幂也。 今宛田上径圆穹， 而与圆锥同术， 则幂失之于少矣 〔8〕 。然其术难用， 故略举大较 〔9〕 ，施之大广田也。 求圆锥之幂， 犹求圆田之幂也。 今用两全相乘， 故以为法， 除之， 亦如圆田矣。 开立圆术说圆方诸率甚备 〔10〕 ，可以验此。

【注释】

〔1〕宛田：是类似于球冠的曲面形。其径指宛田表面上穿过顶心的大弧，如图1-15。李籍云：“宛田者，中央隆高。《尔雅》曰：‘宛中宛丘。’又曰：‘丘上有丘为宛丘。’皆中央隆高之义也。”亦有人根据所设的两个例题的数值，计算出若为球冠，必为优球冠，而世间不可能有此类田地，从而认为宛田不是球冠形，而是优扇形。今按：《九章筭术》的例题只是说明其术文的应用，并不是都来源于人们的生产生活实践。元朱世杰《四元玉鉴·混积问元门》的畹田有图示，正是球冠形。

〔2〕此是《九章筭术》提出的宛田面积公式

其中S ，L ，D 为宛田的面积、下周和径。

〔3〕刘徽指出，《九章筭术》宛田术是错误的。

〔4〕此谓通过计算方锥的体积以显现《九章筭术》宛田术不正确。推：计算。　　见（xiàn）：显现。

〔5〕刘徽考虑以方锥下方之半为勾，方锥高为股，正面邪为弦构成的勾股形。　　正面邪：即方锥侧面上的高。

〔6〕方锥四面见者之幂：即“方锥见幂”，也就是方锥的表面积（不计底面）。

〔7〕圆锥见幂：即圆锥的表面积（不计底面）。此即刘徽提出的重要原理S 方锥 :S 圆锥 =4:π，其中S 方锥 、S 圆锥 分别是方锥、圆锥的见幂。如图1-16。

〔8〕刘徽指出《九章筭术》宛田术“不验”是对的，然而此处的论证并不充分。《九章筭术》提出的宛田术是 ，刘徽提出的圆锥见幂公式是 ，其中d 为圆锥两母线之和，两者取同一形式。但由于D ＞d ，当然有 ，因而无法由两者同术而证明 比真值小。刘徽在此混淆了D 与d ，犯了反驳中混淆概念的失误。这是刘徽极为罕见的失误。

〔9〕大较：大略，大致。《史记·货殖列传》：“夫山西饶材、竹、榖、 、旄、玉石，山东多鱼、盐、漆、丝、声色，江南出楠、梓……此其大较也。”

〔10〕开立圆术：见卷四。

【译文】

假设有一块宛田，下周长30步，穹径16步。问：田的面积是多少？

答：120步2 。

又假设有一块宛田，下周长99步，穹径51步。问：田的面积是多少？

答：5亩 步2 。

术：以穹径乘下周，除以4。这一方法不正确。 特地用方锥进行推算，以显现这一问题的真相。 假令方锥底面是 6 尺见方，高是 4 尺。 把 4 尺作为股，底边长的一半 3 尺作为勾，那么侧面上的高就是弦，弦是 5 尺。 使勾与弦相乘，乘以 4， 得 60 尺2 ， 就是方锥四个侧面所显现的面积。 如果使其中内切一个圆锥，那么圆锥所显现的面积与方锥所显现的面积，其率如同正方形的面积之对于内切圆的面积。 按：方锥底边 6 尺，那么底的周长是 24 尺，乘以 5， 取其一半，那么也是方锥所显现的面积。 所以求圆锥的数值，将穹径折半，乘以底周长的一半，就是圆锥的面积。 现在宛田的上径是一段圆弧，而与圆锥用同一种方法，则产生的面积误差在于过小。 然而这一方法难以处置，因此粗略地举出其大概，应用于大的田地。 求圆锥的面积，如同求圆田的面积。 现在用两个整体相乘，因此以 4 作为法除之，也像圆田那样。 开立圆术注解释圆方诸率非常详细，可以检验这里的方法。

今有弧田〔1〕 ，弦三十步，矢十五步。问：为田几何？

荅曰：一亩九十七步半。

又有弧田，弦七十八步二分步之一，矢十三步九分步之七。

问：为田几何？

荅曰：二亩一百五十五步八十一分步之五十六。

术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一〔2〕 。方中之圆， 圆里十二觚之幂， 合外方之幂四分之三也。 中方合外方之半， 则朱、 青合外方四分之一也 〔3〕 。弧田， 半圆之幂也 〔4〕 ，故依半圆之体而为之术 〔5〕 。以弦乘矢而半之则为黄幂 〔6〕 ，矢自乘而半之为二青幂 〔7〕 。青、 黄相连为弧体 〔8〕 。弧体法当应规 〔9〕 。今觚面不至外畔 〔10〕 ，失之于少矣。 圆田旧术以周三径一为率， 俱得十二觚之幂， 亦失之于少也。 与此相似， 指验半圆之弧耳。 若不满半圆者， 益复疏阔。　　 宜依句股锯圆材之术 〔11〕 ，以弧弦为锯道长， 以矢为句深 〔12〕 ，而求其径 〔13〕 。既知圆径， 则弧可割分也 〔14〕 。割之者， 半弧田之弦以为股， 其矢为句， 为之求弦， 即小弧之弦也 〔15〕 。以半小弧之弦为句， 半圆径为弦， 为之求股 〔16〕 ，以减半径， 其余即小弦之矢也 〔17〕 。割之又割， 使至极细。 但举弦、 矢相乘之数， 则必近密率矣 〔18〕 。然于筭数差繁 〔19〕 ，必欲有所寻究也 〔20〕 。若但度田， 取其大数， 旧术为约耳 〔21〕 。

【注释】

〔1〕弧田：即今之弓形，如图1-17。李籍云：“弧田者，有弧有矢，如弧之形。”

〔2〕设S ，c ，v 分别是弓形的面积、弦和矢，此即弓形面积公式

〔3〕刘徽以半圆作为弧田以论证《九章筭术》弧田术之不准确。如图1-18（1）。“中方”是圆内接正方形，其面积是外方之半。两朱幂、两青幂是圆内接正12边形减去中方所剩余的部分，如图1-18（2）。两青幂分别是ABCD 和ALKJ ，两朱幂分别是DEFG 和GHIJ 。将青幂ALKJ 中的Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ分别移到AMDCB 的Ⅰ′ ，Ⅱ′ ，Ⅲ′ 上，便知一个青幂为外方的 。朱幂亦然。两朱幂与两青幂的总面积是外方的 。

〔4〕“弧田”二句：弧田可以是半圆之幂。

〔5〕故依半圆之体而为之木：故以半圆为例论证《九章筭术》弧田术之不准确。

〔6〕以弦乘矢而半之则为黄幂：黄幂是弦矢相乘之半即勾股形ADJ 。

〔7〕矢自乘而半之为两青幂：即勾股形AMD ，亦即ABCD 与ALKJ 之和。

〔8〕青、黄相连为弧体：二青幂与黄幂形成所设的弧体，亦即半圆ABCDJKL ，其结构应如图1-18（2）。

〔9〕弧体法当应规：此谓弧田的弧应与圆弧重合。

〔10〕觚面不至外畔：这是说，如此算出的面积是圆内接正12边形的一半，达不到外面的圆弧。

〔11〕如图1-19。已知弧田之弦AB ，记为c ，及弧田之矢A 1 D ，记为v ，勾股锯圆材之术见卷九。

〔12〕弦AB 相当于锯道长，矢A 1 D 就是锯道深。

〔13〕依据勾股章勾股锯圆材之法，那么弧田所在的圆直径为 。

〔14〕这是将弧田分割成以弦AB 为底的等腰三角形A 1 AB ，以及分别以AA 1 ，A 1 B 为弦的两个小弧田。将小弧田AA 2 A 1 再分割成小等腰三角形A 2 AA 1 ，以及分别以AA 2 ，A 2 A 1 为弦的两个更小弧田。对小弧田BA′ 2 A 1 亦可分割成小等腰三角形A′ 2 BA 1 ，以及分别以A 1 A′ 2 ，A′ 2 B 为弦的两个更小弧田。如此可以继续下去。

〔15〕考虑勾股形AA 1 D ，由勾股术，小弧之弦为 。

〔16〕由勾股形OA 1 D 1 ，求出 。

〔17〕小弦之矢即小弧之矢 。

〔18〕上述的分割过程可以无限继续下去，依次求出 ，i =1，2，3，…n 。显然，当n足够大时， k=1就相当准确，故云“必近密率矣”。显然，这里不是一个极限过程，而是极限思想在近似计算中的应用。

〔19〕差（cī）繁：繁杂。差，不整齐，参差。

〔20〕刘徽的意思是，有所寻究，才这样做。这种“寻究”无疑是数学家的数学研究，具有纯数学的性质。　　寻究：查考，研求。

〔21〕约：简约。刘徽认为，如果实际应用，还是用旧的方法。显然，在刘徽的头脑中有明确的纯数学研究与数学的实际应用的区分。

【译文】

假设有一块弧田，弦是30步，矢是15步。问：田的面积是多少？

答：1亩 步2 。

又假设有一块弧田，弦是 步，矢是 步。问：田的面积是多少？

答：2亩 步2 。

术：以弦乘矢，矢又自乘，两者相加，除以2。正方形中有一个内切圆，圆中的内接正12 边形的面积等于外切正方形面积的 。 中间的正方形的面积等于外正方形的一半，那么朱青的面积等于外正方形的 。 这里的弧田是半圆的面积，因此就依照半圆的图形而考察该术。 以弦乘矢，取其一半，作为黄色的面积； 矢自乘，取其一半，是二青色的面积。 如果青色的与黄色的面积连在一起成为弧体，那么弧体在道理上应当与圆弧相吻合。 但现在这个多边形的边达不到圆弧的外周，产生的失误在于小了。 旧的圆田面积的方法以周三径一为率，都是得到圆内接正12 边形的面积，产生的失误也在于太小了，与此相同。 这里只考察了半圆形弧田，如果不是半圆形弧田，这种方法更加疏漏。　　 应当按照勾股章勾股锯圆材之术，把弧田的弦作为锯道长，把矢作为锯道深，而求弧田所在圆的直径。 既然知道了圆的直径，那么弧田就可以被分割。 如果分割它的话，以弧田弦的一半作为股，它的矢作为勾，求它的弦，就是小弧的弦。 以小弧弦的一半作为勾，圆半径作为弦，求它的股。 以股减半径，其剩余就是小弦的矢。 对弧分割了再分割，使至极细。 只要全部列出弦与矢相乘的数值，将它们相加，则必定会接近密率。 然而这种方法的算数非常繁杂，必定要有所研求才这样做。 如果只是度量田地，取它大概的数值，那么旧的方法还是简约的。

今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步〔1〕 。此欲令与周三径一之率相应， 故言径五步也。 据中、 外周， 以徽术言之， 当径四步一百五十七分步之一百二十二也 〔2〕 。　　臣淳风等谨按： 依密率， 合径四步二十二分步之十七 〔3〕 。问：为田几何？

荅曰：二亩五十五步。于徽术， 当为田二亩三十一步一百五十七分步之二十三 〔4〕 。　　臣淳风等依密率， 为田二亩三十步二十二分步之十五 〔5〕 。

又有环田，中周六十二步四分步之三，外周一百一十三步二分步之一，径十二步三分步之二。此田环而不通匝 〔6〕 ，故径十二步三分步之二。 若据上周求径者， 此径失之于多， 过周三径一之率， 盖为疏矣。 于徽术， 当 径八步六百二十八分步之五十一 〔7〕 。　　臣淳风等谨按： 依周三径一考之， 合径八步二十四分步之一十一 〔8〕 。依密率， 合径八步一百七十六分步之一十三 〔9〕 。问：为田几何？

荅曰：四亩一百五十六步四分步之一。于徽术， 当为田二亩二百三十二步五千二十四分步之七百八十七也 〔10〕 。依周三径一， 为田三亩二十五步六十四分步之二十五 〔11〕 。　　臣淳风等谨按密率， 为田二亩二百三十一步一千四百八分步之七百一十七也 〔12〕 。

术曰：并中、外周而半之，以径乘之，为积步〔13〕 。此田截而中之周则为长。 并而半之知 〔14〕 ，亦以盈补虚也 〔15〕 。此可令中、 外周各自为圆田， 以中圆减外圆， 余则环实也 〔16〕 。

密率术曰〔17〕 ：置中、外周步数，分母、子各居其下。母互乘子，通全步，内分子。以中周减外周，余半之，以益中周。径亦通分内子，以乘周为密实。分母相乘为法。除之为积步，余，积步之分。以亩法除之，即亩数也〔18〕 。按： 此术， 并中、 外周步数于上， 分母、 子于下。 母互乘子者， 为中、 外周俱有分， 故以互乘齐其子。 母相乘同其母。 子齐母同， 故通全步， 内分子。“ 半之” 知 〔19〕 ，以盈补虚， 得中平之周。 〔20〕 周则为从， 径则为广， 故广、 从相乘而得其积。 既合分母， 还须分母出之。 故令周、 径分母相乘而连除之， 即得积步。 不尽， 以等数除之而命分。 以亩法除积步， 得亩数也。

【注释】

〔1〕环田：即今之圆环，如图1-20（1）。李籍云：“环田者，有肉有好，如环之形。《尔雅》曰：‘肉好若一，谓之环。’或作镮。”知当时还有一抄本作“镮田”。　　中周：即圆环的内圆之周。　　外周：即圆环的外圆之周。　　径：即中外周之间的距离。

〔2〕记圆环之径为d ，构成圆环的内圆的周长和半径分别是L 1 ，r 1 ，外圆的周长和半径分别是L 2 ，r 2 。则刘徽求出圆环之径

〔3〕李淳风等求出圆环之径 。

〔4〕刘徽求得面积 。

〔5〕李淳风等求得面积 。

〔6〕此问之环田为大约240°的环缺，如图1-20（2），故刘徽说“此田环而不通匝”。　　匝：周。环绕一周曰一匝。《史记·高祖本纪》：“围宛城三匝。”

〔7〕不知为什么，刘徽和李淳风等都将其看成“通匝”的圆环进行计算。刘徽的计算应是

〔8〕李淳风等依周3径1的计算是

由下文刘徽计算了按周3径1的面积，刘徽应按周3径1计算过直径。

〔9〕李淳风等依密率 的计算是

〔10〕刘徽依环田密率术的计算是

〔11〕刘徽依周3径1之率的计算是

〔12〕李淳风等依环田密率术的计算是

〔13〕此即圆环面积公式

〔14〕知：训“者”，见刘徽序“故枝条虽分而同本干知”之注释。

〔15〕此处“以盈补虚”是将圆环沿环径剪开，展成等腰梯形，如图1-21。然后如梯形（箕田）那样出入相补。

〔16〕这是刘徽提出的圆环的另一面积公式

其中S 1 ，S 2 分别是构成圆环的内圆和外圆的面积。

〔17〕此术是针对各项数值都带有分数的情形而设的，比关于整数的上术精密，故称“密率术”。

〔18〕用现代符号写出，此术亦是（1-15）式。

〔19〕知：训“者”，其说见刘徽序“故枝条虽分而同本干知”之注释。

〔20〕中平之周：中周与外周长的平均值。中平，平均。

【译文】

假设有一块环田，中周长92步，外周长122步，环径5步。这里想与周三径一之率相应，所以说环径5 步。 根据中、外周，用我的方法处理它，环径应当是 步。　　 淳风等按：依照密率，环径是 步 。问：田的面积是多少？

答：2亩55步2 。用我的方法，田的面积应当是2 亩 步2 。　　 淳风等按：依照密率，田的面积是2 亩 步2 。

又假设有一块环田，中周长是 步，外周长是 步，环径是 步。这块田是环形的但不满一周，所以环径为 步。 如果根据上述周长求环径，这一环径的误差在于太大，超过了周三径一之率，很粗疏。 用我的方法，环径应当是 步。　　 淳风等按：依照周三径一之率考察之，环径是 步。 依照密率，环径是 步 。问：田的面积是多少？

答：4亩 步2 。用我的方法，田的面积应当是2 亩 步2 。 依周三径一之率，田的面积是3 亩 步2 。　　 淳风等按：依照密率，田的面积是2 亩 步2 。

术：中外周长相加，取其一半，乘以环径长，就是积步。这块田被截割而得到的中平之周，就作为长。“ 中外周长相加，取其一半”， 也是以盈补虚。 这里也可以使中、外周各自构成圆田，以中周减外周，由其余数就得到环田的面积。

密率术：布置中、外周长的步数，分子、分母各置于下方，分母互乘分子，将整数部分通分，纳入分子。以中周减外周，取其余数的一半，增益到中周上。对环径亦通分，纳入分子。以它乘周长，作为密实。周、径的分母相乘，作为法。实除以法，就是积步；余数是积步中的分数。以亩法除之，就是亩数。按：在此术中，将中、外周长步数相加，置于上方，分子、分母置于下方。“ 分母互乘分子”， 是因为中、外周长都有分数，所以通过互乘使它们的分子相齐。 分母相乘，是使它们的分母相同。 分子相齐，分母相同，所以可以将步数的整数部分通分，纳入分子。 取中、外周长之和的一半，这是为了以盈补虚，得中平之周。 中平之周就是纵，环径就是广，所以广纵相乘就得到它们的积。 既然分子中融合了分母，还需把分母分离出去，所以要使周、径的分母相乘而合起来除，就得到积步。 如不尽，就用等数约之，命名一个分数。 以亩数除积步，便得到亩数。