2.1 功率键合图法的基本思想及其在气动系统仿真领域的实现

随着科学技术的迅猛发展，工程系统的动态分析与设计已显得日益重要。性能良好的工程系统，在设计、试验、操作及合理使用方面都需要充分了解有关系统的动态性能，计算机仿真为此提供了有效的手段，其中关键的问题是如何有效合理地建立系统的动力学模型并加以处理。

由于工程系统的复杂性及多样性，一个系统不仅仅涉及单一能量形式，往往是多种能量形式的耦合。现有的各种系统动力学分析方法，往往仅限于单一能域的系统，对多能域并存的工程系统具有局限性。

20世纪50年代末由美国的H M Paynter教授所提出的键合图理论为此提供了有效的解决途径。几十年来，以D C Karnopp及R C Rosenberg为代表的一批学者，在键合图理论及应用的研究方面起到了重要的作用，为多能域复杂系统的动态分析奠定了基础。功率键合图是一种非常有效的建模工具，与其他系统动力学分析方法相比较，键合图法具有许多独到之处：①可以用统一的方式处理多种能量形式并存的系统；②表达系统动态性能的键合图模型结构简明，包含信息量大，可以直观地揭示组成系统各元件之间的相互作用以及能量转换关系，加深人们对系统动力学结构的认识；③键合图动力学方程的建立方法具有规则化的特点，它与系统动态数学模型之间又存在着严格的逻辑上的一致性，可以根据系统的功率键合图的规律推导出相应的数学模型^[27-46]。

键合图是系统动态性能统一的直观图形表示。构成它的基本元件称为键合图元，键合图元间的连线代表功率的流动，称为键。一个键合图元与另一个键合图元进行能量传递的地方称为通口。通口用画在键合图元旁边的一根线段表示。值得说明的是，通口是对一个键合图元而言，而键则关联着两个键合图元。在未形成键的通口上没有能量流动，而键则用以传送功率。这种传送功率的键又称为功率键。还有一种键也关联着两个键合图元，但它不传送功率，而只传递信号，故这种键称为信号键。在功率键的一端带有半个箭头符号，而在信号键上则带有全箭头符号。一根键所关联的键合图元之间的联接称为键接。当键合图元键接后，能量从一个键合图元传送到另一个键合图元的过程中，在键上没有能量损失。键合图理论将多种物理参量统一地归纳成四种广义变量，即势变量、流变量、广义动量和广义位移。其中势变量e（t）和流变量f（t）的标量积称为功率P（t），即

故势变量和流变量又称为功率变量。广义动量p（t）定义为势变量的时间积分，即

或

式中 p₀——时间t₀时的初始动量（kg·m/s）。

广义位移q（t）定义为流变量的时间积分，即

或

式中 q₀——时间t₀时的初始位移（m）。

广义动量和广义位移是能量变量。因为通过一根键的能量E（t）可以写成

由式（2-2）和式（2-4）可知

将式（2-7）和式（2-8）分别代入式（2-6）可得

和

若将势变量e（t）写成广义位移q（t）的函数e（q），将流变量f（t）写成广义动量p（t）的函数f（p），则可将式（2-9）和式（2-10）写成

和

式（2-11）和式（2-12）表明，广义动量和广义位移是能量变量。

键合图方法在流体传动中应用已久，尤其在液压传动方面已有较成型的应用，表2-1列写了广义变量与气压变量的对应关系。相比之下，气体的可压缩性和热力学性质影响了键合图在气动系统中的应用，不能采用液压系统所采用的方法，具体讲，有以下难点。

1）气动系统中，气体流经阀口时，由于气体流动的壅塞现象，致使阀口流量方程是一个分段的非线性方程。

2）气体的热力学性质不能忽略，因此在描述系统时，气体的压力能和热能同时起作用，且两者相互联系，不能分开处理。

3）气动系统中工作介质的可压缩性对气动系统动态特性的影响很大。

4）气动系统出力较液压系统小，气缸活塞和缸筒之间的摩擦力与其出力相比，影响比液压系统摩擦力大，且摩擦力建模很困难。

正因为如此，在建立气动系统动态模型时，采用传统的线性化方法误差很大，用键合图方法建模也较其他系统建模困难。

为了用键合图理论描述气动系统，日本的研究学者在BGSP软件的建模中采用了如下真键合图思想^[34]：以气动系统中的压力p、温度T为势变量，以体积流量变化量和熵流量变化量作为流变量，其中压力p与体积流量变化量的乘积和温度T与熵流量的乘积正好都是功率变化量，分别代表了气体的压力能和热能。图2-1所示的控制体表示系统中的容腔等。一方面气体以q_m1（质量流量）或q_V1（体积流量）进入控制体，带入能量为；另一方面，气体以q_m2或q_V2流出控制体，带出能量为。控制体的体积为V。控制体与外界的热交换能量为，对外做功为。用一个气动C场来描述，其真键合图模型如图2-2所示。

对于图2-2所示的气动C场真键合图模型，根据键合图0结点的物理意义得到式（2-13）和式（2-14）。

式中 ——控制体进气端气体的体积变化（m³/s）；

——控制体出气端气体的体积变化（m³/s）；

——外界施加于控制体的体积变化（m³/s），见式（2-15）。

式中 ——控制体出气端的气体熵流量变化（J/K）；

——流入控制体的熵流量（J/K），见式（2-16）；

——流出控制体的熵流量（J/K），见式（2-17）；

——控制体进气端的气体熵流量变化（J/K），见（2-18）；

^*——外界施加于控制体的熵流量（J/K），见（2-19）。

外界施加于控制体的体积变化为

式中 ρ₁——进入端的空气密度（kg/m³）；

ρ₂——出气端的空气密度（kg/m³）。

流入控制体的熵流量为

式中 ——流入控制体内质量的增量（kg）；

——流入控制体的单位内能增量（J/kg）；

T——温度（K）。

流出控制体的熵流量为

式中 ——流出控制体内质量的增量（kg）；

——流出控制体的单位内能增量（J/kg）。

控制体进气端的熵流量变化为

外界施加于控制体的熵流量为

式中 S——控制体的内熵值（J/K·kg）；

——控制体内的单位内能增量（J/kg）；

——控制体内的质量增量；

p₁——进入端的空气压力（Pa）；

p₂——出气端的空气压力（Pa）；

v₁、v₂——进气端和出气端气流速度（m/s）。

质量流量和体积流量的关系为

根据变质量系统热力学理论，将上述公式（2-13）～式（2-19）整理得到

式（2-21）反映了图2-2所示模型的可取之处在于采用双通道键合图，严格按照键合图理论的意义，提出了气动控制体的键合图模型，反映了气动系统质量守恒和能量守恒本质。但是它的致命缺陷是太拘泥于键合图的势变量×流变量=功率的要求，致使模型中选择的流变量或者应用不变（体积流量），或者意义模糊（熵流量），使得模型的应用很不方便。

为了克服上述模型的缺陷，借鉴热流体的相关理论，继承了上述模型的双通道形式，抓住其质量守恒和能量守恒的本质，引入伪键合图的概念，即仍以气动系统中的压力p、温度T为势变量，但改流变量为质量流量q_m和能量流量^[44]。因此，此时的势变量与流变量的乘积不再是功率，这种模型称作伪键合图模型，如图2-3所示。

不论是图2-2所示的气动真键合图模型，还是图2-3所示的气动伪键合图模型，两者最终都可以归结到能量守恒的本质。

下面将用双通道伪键合图理论来建立排气回收控制系统的键图模型。