1.4 分数阶系统的应用领域

分数阶微积分特别适用于描述具有记忆和历史依赖的系统或物理过程，而实际系统中大部分研究对象都具有这样的性质。因此，分数阶微积分在物理、化学、生物等领域具有较大的优势和广阔的应用前景。目前，越来越多的学者开始对实际系统中的研究对象建立分数阶数学模型，尽可能对系统进行精确描述。Aghababa对医学中的肌型血管建立了分数阶数学模型，并将相关治疗问题转化为分数阶系统的同步问题^[16]；张小芝使用分数阶微分算子进行多属性决策，并将其用于医学治疗，主要考察临床疗效、毒副反应、生存率3个决策属性^[17]；Aghababa将能源供需系统中的数学模型推广到分数阶领域^[18]，并讨论了当分数阶阶数处于不同范围时系统的动态性能；杨晴霞等针对锂电池的充电状态估计问题，提出了一种基于锂电池电化学阻抗谱的分数阶阻抗模型，并对其进行了仿真，验证了分数阶数学模型与理论分析的正确性^[19]；郑伟佳等将机理建模与数值建模结合，提出了一种永磁同步电动机分数阶建模方法^[20]，结果表明，与整数阶模型相比，分数阶模型能更准确地描述电动机的实际特性。

近年来，分数阶系统控制研究逐渐出现在图像处理、神经网络和信号处理等信息科学领域，人们对分数阶控制的重视程度越来越高。杜兰等研究了分数阶信号处理，在常规窄带雷达下，利用分数阶傅里叶变换扩展特征域，解决直升机、螺旋桨飞机和喷气式飞机目标回波分类中的特征提取问题^[21]；王虎将分数阶控制理论应用于神经网络的动力学分析^[22]，分数阶微分有利于进行高效的神经元信息处理，可以触发神经元振荡频率的独立变化；李博等研究了图像处理，针对传统图像去噪算法容易忽视图像纹理细节的问题，提出了一种全局自适应分数阶积分去噪算法^[23]。该算法可以在去除图像噪声的同时，在一定程度上保留图像的纹理。除了上述研究成果，在图像处理领域，分数阶预测滤波器也发挥了新的作用；在磁盘驱动和信号调制等领域，分数阶干扰观测器、分数阶正弦振荡器及分数阶 Wien-Bridge 振荡器也有成功应用的例子。

在对分数阶控制的研究过程中，分数阶傅里叶变换（Fractional Fourier Transform，FRFT）逐渐发展起来。分数阶傅里叶变换在某最佳旋转阶数上对非平稳信号（如Chirp信号）具有最好的能量聚集性。在各种实际系统的建模和分析过程中，利用FRFT可以得到更优质的检测结果。另外，FRFT也发展了适合实际应用的快速算法，减少了计算量。因此，使用 FRFT 对强杂波环境下的目标进行检测具有较大优势^[24]。

19世纪，法国科学家傅里叶提出了傅里叶变换（Fourier Transform），随着研究的深入，傅里叶变换在学术界和工程界都发挥了重要作用。在雷达目标检测中，动目标指示（MTI）和动目标检测（MTD）都用到了快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）。然而，随着傅里叶变换的应用越来越广泛，人们发现其存在一定的局限性。在信号分析中使用傅里叶变换只能得到信号的整体频谱，但对于非平稳信号来说，局部特性更重要，傅里叶变换对时变非平稳信号的处理能力有限，FRFT、小波变换、Wigner分布等应运而生。在这些非平稳信号处理方法中，FRFT 具有独特的优势。Wiener 是第一个研究FRFT的人，他提出了比傅里叶变换更完备的变换核^[25]，即将特征函数的特征值修改为 exp（-jnα）。后来，一些学者展开了进一步研究^[26，27]。Namias^[28]和Almeida^[29]分别在特征分解和坐标轴旋转的角度提出了FRFT的概念；Ozaktas等提出了两种采样型离散算法^[30]，使FRFT的优势越来越明显。FRFT广泛应用于图像处理、信号处理、滤波、神经网络、雷达等方面。

（1）在图像处理方面，FRFT 将图像旋转，变换到最佳分数阶傅里叶域，再通过门限检测水印^[31]。

（2）在信号处理方面，由于线性调频（LFM）信号具有能量聚集特性，对LFM 信号进行旋转，找到能量聚集最好的旋转阶数就能够对 LFM 信号进行分析和检测^[32-35]。

（3）在滤波方面，将传统频域的乘性滤波器推广到分数阶傅里叶域，就得到了分数阶傅里叶域乘性滤波器^[36]

式中，为变换算子，为传递函数。文献[29]介绍了一种FRFT扫频滤波器^[37]。

（4）在神经网络方面，通过旋转在最佳阶数 FRFT 域设计神经网络，能够取得比傅里叶变换更好的效果。文献[38]和文献[39]讨论了该问题，并给出了相应算法。

（5）在雷达方面，基于分数阶傅里叶变换的阵列信号处理算法吸引了一些学者的注意^[36]。文献[40]和文献[41]通过分数阶傅里叶变换准确估计了每个分量信号的波达方向；文献[42]和文献[43]研究了利用FRFT分析冲激类回波信号的方法。除此之外，FRFT在机载SAR^[44，45]中也有一定的应用。

总体来看，目前与 FRFT 相关的研究不多，关于 FRFT 的算法也不是很完善，但随着研究的深入，这种新型时频分析工具在处理非平稳信号、时变信号方面将具有广阔的应用前景。

FRFT反映了信号的时频信息，可以看作广义傅里叶变换，FRFT没有交叉项干扰，交叉项干扰会影响Wigner分布。传统傅里叶变换无法得到一些信号最重要的局部信息，但是FRFT不同，FRFT适用于处理非平稳信号。因为具有阶数 p，所以在相同条件下 FRFT 的效果更好^[36]。FRFT 具有以下优势。

（1）FRFT具有阶数p，p不同时会出现不同的能量聚集情况，可以选择能量聚集最好的阶数对LFM信号进行分析和检测。

（2）可以将FRFT理解为Chirp基分解，其适用于处理LFM信号^[29，36]。

（3）通过Wigner分布可以发现，FRFT是对时频平面的旋转，利用这一点可以建立 FRFT 与时频分析工具的关系，可以估计 LFM 信号的瞬时频率、恢复相位等信息^[46，47]。

（4）FRFT是线性变换，没有交叉项干扰，噪声不会积累，可以提高信噪比。

（5）FRFT具有较成熟的快速离散算法，如分数阶卷积等。