2.2　参考坐标系

为了建立卫星导航问题的数学公式，必须选定一个参考坐标系，以便表示卫星和接收机的状态。建立公式时，通常用在笛卡儿坐标系中测量的位置与速度矢量来描述卫星和接收机的状态。笛卡儿坐标系分为惯性系和旋转系，以及地心系和当地系/地方系（站心系）。本节概述GNSS所用的一些坐标系。

2.2.1　地心惯性坐标系

测量和确定卫星轨道时，可以方便地使用地心惯性（ECI）坐标系，该坐标系的原点位于地球的质心，坐标轴指向相对于恒星而言是固定的。卫星位置和速度可在ECI坐标系中用牛顿运动定律和万有引力定律建模。在典型的ECI坐标系中，xy平面与地球的赤道面重合，x轴指向相对于天球的固定方向，z轴与xy平面垂直并指向北极，y轴的指向满足右手坐标系。卫星轨道的确定与后续的预测在ECI坐标系中进行。

按照地球的赤道面定义ECI坐标系存在一个问题。地球易受岁差、章动和极移的影响。地球的形状是扁圆的，主要原因是太阳和月球对地球赤道隆起的引力作用，且赤道面相对于天球来说是移动的。由于z轴是相对于赤道面定义的，地球的运动将导致上面定义的ECI坐标系的指向随时间变化。解决该问题的办法是在某个特定时刻或历元点定义各个轴的指向。

通常采用2000年1月1日1200小时地球时（TT）的赤道面取向来定义ECI坐标系，记为J2000系。x轴的方向从地球质心指向春分点，y和z轴的定义如前所述，但都在上述历元上。地球时（TT）是一个统一的时间系统，代表地球大地水准面上的理想时钟。TT取代了旧的星历时（ET），TT比国际原子时（TAI）早32.184s。

2.2.2　地心地固坐标系

要计算GNSS接收机的位置，使用随地球一起旋转的坐标系更为方便，我们称这种坐标系为地心地固（ECEF）坐标系。在该坐标系中，我们更易算出纬度、经度和高度。GNSS所用的ECEF坐标系的xy平面与地球赤道面重合。在ECEF坐标系中，x轴指向经度0°方向，y轴指向东经90°方向。x和y轴随地球一起旋转，不再描述惯性空间中的固定方向。z轴选为与瞬时赤道面垂直并指向地理北极（即经线在北半球的汇聚处），形成右手坐标系。由于地球的岁差、章动和极移，z轴在天球上留下一条路径。

执行精密GNSS轨道计算的机制包括ECI和ECEF坐标系的高精度变换。如下所述，这种变换是对最初在ECI坐标系中计算的卫星位置和速度矢量应用旋转矩阵实现的。相比之下，广播轨道计算（GPS示例见文献[3]）通常直接在ECEF坐标系中生成卫星位置和速度。来自许多计算中心的精密轨道也在ECEF坐标系中表示卫星位置和速度。在短时间间隔（如一条导航电文的间隔）内，地球的岁差、章动、UT1差和极移很小。因此，我们通常可以继续在ECEF坐标系中建立GNSS导航问题的公式，而不用讨论定轨的细节或到ECEF坐标系的变换。地球的平均自转是个例外；地球自转对从卫星到地面的信号传输时间是不可忽略的。在旋转的、非惯性的ECEF坐标系中建立信号传播公式时，需要进行校正。这称为萨格纳克效应，详见10.2.3节中的描述。否则，我们就要由卫星和接收机的ECI坐标计算几何距离。

作为导航计算处理的结果，用户接收机的笛卡儿坐标(xu, yu, zu)在ECEF坐标系中计算，详见2.5.2节。通常将这些笛卡儿坐标变换为接收机的纬度、经度和高度，详见2.2.5节。

2.2.2.1　旋转矩阵

在ECEF坐标系中考虑一个坐标集或矢量u=(xu, yu, zu)，并变换到任意一个坐标系（包括ECI坐标系）是有帮助的。这样的矢量变换可以通过与旋转矩阵相乘来计算[3-5]：

式中，R1(θ), R2(θ)和R3(θ)分别表示绕x, y和z轴旋转的角度θ。正θ表示从这些轴的正向看原点时，相应轴的逆时针旋转。R1(θ)旋转的一个例子如图2.7所示。

连续应用基本的轴向旋转，可以构建任意旋转R；乘以旋转矩阵不会改变新坐标系的旋转方向；旋转矩阵及其乘积是正交的，即R-1(α)=Rt(α)。旋转矩阵满足R-1(α)=R(-α)；因此，若R=R1(α)R2(β)，则有

2.2.2.2　ECEF和ECI之间的变换

实际中很少用到基本的ECI坐标系或完整的ECEF-ECI变换，因此这里只简要介绍该变换。根据文献[5]，有

式中，复合旋转变换矩阵如下：

岁差参数(Z,θ,ζ)和章动参数(ε,∆ε,∆ψ)通过幂级数计算[5]。GAST代表格林尼治视恒星时，由包括UT1-UTC差差UT1在内的几个参数计算。x轴和y轴的极移分别是xp和yp。注意，岁差和章动参数记录为J2000的一部分，是时间的函数。然而，地球定向分量(∆UT1, xp, yp)随时间变化，而且不能准确预测。许多机构都在监测地球定向分量并向公众发布它们；有些GNSS导航电文也发送地球定向分量。

由于旋转矩阵是正交的，因此我们可以立即写出ECEF-ECI变换为

2.2.3　当地切平面（当地地平）坐标系

当地切平面坐标系是一类有用的坐标系。

图2.8中显示了ECEF坐标系和当地切平面坐标系。地切平面坐标系的原点P位于地面Q或其附近，并有一个与当地水平面大致重合的水平面（en面），因此很容易模拟观测者的体验。纵轴可与地心半径矢量一致，与椭球法线u一致（见图2.8），或与当地重力矢量一致。不失一般性，我们主要介绍椭球的切平面坐标系，如图2.8所示。

主要对齐方式是，垂向（上下）沿椭球法线，南北坐标轴与地固坐标系中表示的大地子午线相切，东西坐标轴垂直于其他两个坐标轴。实践中定义了多种当地椭球体切线坐标，它们在上下、南北和东西之间的选择有所不同，并且坐标轴的顺序不同。右手和左手切线坐标系都会使用。

例如，考虑ENU（东北天）椭球切平面坐标。这是一个右手坐标系。设ENU坐标系的原点是P(xO, yO, zO)，对应的大地纬度和经度为(ϕ, λ)。纬度北为正，经度东为正。我们用(e, n, u)表示当地水平坐标系分量，并通过平移和组合旋转将笛卡儿ECEF坐标系变换到切平面坐标系。平移通过减去当地地平原点(xO, yO, zO)实现；组合旋转首先绕z轴旋转π/2+λ，然后绕新x轴旋转π/2-ϕ。这可由旋转矩阵及它们的显式积正式表示：

注意，矩阵乘法不满足交换律，须按指定顺序自右至左计算。旋转矩阵及它们的积是正交的。因此逆变换是显式积的转置。

下面考虑左手坐标系NEU（北东天/东北天），其椭球切平面坐标为(u, v, w)。交换三维笛卡儿坐标系的任意两个轴，就可逆转坐标系的旋转方向。因此，交换东轴、北轴将把右手ENU坐标系转换为左手NEU坐标系。通过行交换可以立即得到显式转换：

最后给出应用NEU坐标系的示例。在ECEF坐标系中，到观测者uo和卫星us的地心矢量可能是不同的，因此可以得到一个观测者-卫星的相对矢量u=(x, y, z)。上述矩阵表达式立即将观测者-卫星矢量转换到当地椭球切平面NEU坐标系中。于是，可以写出方位角α和俯仰角σ的简单表达式：

式中，方位角以北向顺时针方向为正，俯仰角以向上为正。它们是从观测者到卫星的视角。

2.2.4　本体框架坐标系

许多应用需要固定在运载体或物体上的坐标系。它们可以用来建立物体姿态、定向传感器组、建模大气阻力等效应，或者融合车载/船载/机载系统（如惯性系统和GNSS）。

就像当地切平面坐标系那样，人们定义了各种本体框架坐标系。原点可以是运载体的质心，但这不是一个严格要求。本体框架坐标系的坐标轴可以对应运载体的主轴。注意，本体框架坐标轴与运载体对称轴的关联关系再次发生了变化。

按照文献[6]中的例子，构建一个右手坐标系。正y'轴指向运载体正前方（鼻子），正z'轴指向运载体顶部，x'轴伸向运载体右侧。这种安排如图2.9所示。

由ENU到所需本体框架的3个基本轴向旋转形成的组合旋转，可以得到从以运载体为中心的ENU切平面坐标系到本体框架坐标系的坐标变换。

直观化该变换的方法是，将启动运载体想象为水平的，并且对齐ENU坐标系的北向。第一次旋转围绕z'轴，称为偏航y。在这一初始条件下，z'轴等于e轴。第二次旋转围绕新的x'轴，称为俯仰p。最后一次旋转围绕更新的y'轴，称为横滚r（符号y是用于偏航的助记符，不要与ECF或ECEF坐标系中的y轴混淆）。

乘以基本旋转矩阵后，可以得到从ENU椭球切平面坐标系到本体框架坐标系的组合旋转：

坐标变换可显式地写为

如前所述，旋转矩阵及它们的积是正交的。逆变换是显式积的转置。

2.2.5　大地（椭球）坐标

我们关心的是估算GNSS接收机的纬度、经度和高度。这是通过地球形状的椭球模型来实现的，如图2.10所示。在该模型中，平行于赤道面的地球横截面为圆形，垂直于赤道面的地球横截面为椭圆形。椭圆形横截面的半长轴长度为a、半短轴长度为b。地球椭球的偏心率e为

有时用来表征参考椭球的另一个参数是第二偏心率e'，它定义为

2.2.5.1　确定用户大地坐标：纬度、经度和高度

ECEF坐标系固定在参考椭球上，如图2.10所示，点O对应于地心。接下来定义相对于参考椭球的纬度、经度和高度参数。以这种方式定义的参数称为大地测量参数。给出ECEF坐标系中用户接收机的位置矢量u=(xu, yu, zu)后，就可计算xy平面内用户与x轴的夹角，即大地经度λ，

在式(2.1)中，西经为负。纬度φ和高度h根据用户接收机的椭球法线定义。椭球法线由图2.10中的单位矢量n表征。注意，除非用户位于两极或赤道上，否则椭球法线并不正好指向地心。GNSS接收机计算相对于参考椭球的高度。然而，由于参考椭球面和大地水准面（当地平均海平面）不同，地图上给出的海拔高度可能与GNSS得出的高度相去甚远。在水平面上，当地基准之间的差异[如1983年北美基准（NAD 83）和1950年欧洲基准（ED 50）之间的差异]和基于GNSS的水平位置也很重要。

大地高度h是用户S（位于矢量u的端点）和参考椭球之间的最小距离。注意，从用户到参考椭球表面最小距离的方向是矢量n的方向。还要注意，S可能在椭球表面的下方，此时椭球高度h为负。

大地纬度φ是椭球法线矢量n与n在赤道xy平面上的投影之间的夹角。依照惯例，zu<0（即用户在北半球）时φ为正，zu<0时φ为负。图2.10中的大地纬度是角度NPA。N是参考椭球上离用户最近的点，P是n方向上的直线与赤道面的交点。为了根据笛卡儿坐标(x, y, z)计算大地测量曲线坐标(φ, λ, h)，人们设计了多种形式的闭式解和迭代解。表2.1中描述了Bowring提出的一种常用且快速收敛的迭代方法[7]。对于表2.1中所示的计算，a, b, e2和是前面描述的大地测量参数。注意，表2.1中所用的N遵循Bowring[7]的定义，它不是2.2.6节中的大地水准面高度。

2.2.5.2　ECEF坐标系中从大地坐标到笛卡儿坐标的变换

为完整起见，下面给出ECEF坐标系中从大地坐标变换为笛卡儿坐标的公式。已知大地测量参数λ, φ和h时，u=(xu, yu, zu)的闭式解为

2.2.6　高度坐标与大地水准面

2.2.5.1节说过，椭球高度h是椭球面E上方的点P的高度。它对应于图2.11中的有向线段EP，其中正值表示点P与点E相比更加远离地心。注意，点P不一定在地表上，也可在地表的上方或下方。如前所述，椭球高度h很容易由笛卡儿ECEF坐标算得。

高度历来不相对于椭球面进行测量，而相对于大地水准面进行测量。大地水准面是恒重力势面（W=W0），它对应于最小二乘意义下的全球平均海平面。相对于大地水准面测量的高度称为正高，或者不正式地称为高于平均海平面的高度。正高很重要，因为它是出现在无数地形图、论文及数字数据集中的高度类型。

大地水准面高度N是椭球面E上方的点G的高度，它对应于图2.11中的直线段EG，其中正值表示点G与点E相比更加远离地心。正高H是大地水准面G上方的点P的高度。因此，我们可以立即写出方程

注意，图2.11只是示意性的，G和/或P可以低于点E；类似地，式(2.2)中的任何项或所有项都可正可负。例如，在美国大陆，大地水准面高度N是负的。

大地水准面是一个复杂的表面，它的起伏反映了地形、深水测量值（即源自水体的测量值）和地球地质密度的变化。大地水准面的高度可以相差几十米，变化范围从印度南端的-105m到新几内亚的+85m。因此，对于许多应用而言，大地水准面是一个不可忽略的量，要避免将正高误认为是椭球高度。

与椭球相比，大地水准面是地球的自然特征。类似于地形，没有简单的公式来描述大地水准面高度的空间变化。大地水准面高度由几家大地测量机构建模并制成表格。全球大地水准面高度模型由一系列球谐波系数及大地水准面高度值的规则格网表示。区域大地水准面高度模型跨越广大地区，如整个美国本土，它总是表示为规则格网。最新的典型全球模型包含高达2190阶次的谐波系数。因此，其分辨率为5弧分，且精度受限于截断误差。相比之下，区域模型的计算分辨率要高得多。1弧分的分辨率很常见，也很少遇到截断误差问题。

著名的全球大地水准面高度模型是美国国家地理空间情报局（NGA）的EGM2008-WGS 84版重力势模型，以下将其简称为EGM2008[8]。该模型包括一组高达2090阶次的系数，并且包括计算陆地上的大地水准面高度所需的一组校正系数。EGM2008取代了高达360阶次的EGM96和高达180阶次的WGS 84(180, 180)。后一种WGS 84系数集的大部分最初分类于1985年，但只发布到18阶次。首次公开发布的WGS 84大地水准面高度的分辨率仅为10弧度，截断误差高达数米。因此，必须小心引用WGS 84大地水准面的值。

在美国内陆，当前的高分辨率大地水准面高度格网是GEOID12B，它由美国国家大地测量局（NGS）及美国国家海洋和大气管理局（NOAA）开发。该产品是一个大地水准面高度的格网，其分辨率为1弧分，精度为2～4cm（1σ）。一系列跨越80°纬度、80°经度区域的测试模型（即xGEOID14B）正在开发之中。预计这个新大地水准面模型将于2022年投入使用。

当高度精度要求逼近米级时，还需要知道高度坐标之间的基准差。例如，NAD 83参考框架的原点偏离地心约2.2m，导致椭球高度存在0.5～1.5m的差。当前的估计将美国正高高度基准NAVD 88的原点放在EGM 96参考重力势面下方的30～50cm处。由于这两个基准偏移，人们构建了GEOID12B来容纳这些原点差，并且可以直接在NAD 83与NAVD 88之间转换，而不表示理想全球大地水准面的一个区域。此外，在国家高程数据中半米或更大的偏移很常见，如文献[9]中所列。出于这些原因，式(2.2)作为概念性模型是有效的，但在实际的精密应用中可能有问题。关于高度系统的详细介绍超出了本书的范围，详细信息请参阅文献[10, 11]。

2.2.7　国际地球参考框架

前面介绍了适用于GNSS的参考坐标系理论。根据国际地球自转和参考系服务（IERS）组织的命名[12]，今天的参考坐标系和参考框架有着明显的区别。简而言之，参考坐标系提供获得坐标的理论，参考框架则是坐标的实际实现。我们需要一个参考框架来实施实际的GNSS应用。

基本的ECEF参考框架是国际地球参考框架（ITRF），ITRF通过IERS由科学家的国际合作维护。IERS由国际天文学联合会（IAU）和国际大地测量与地球物理联合会（IUGG）建立，是国际大地测量协会（IAG）提供的一项服务。IERS提供ECI和ECEF形式的参考坐标系和参考框架、ECI和ECEF之间的地球定向参数转换，以及为建立参考坐标系和参考框架推荐的理论和实践[12-14]。

IERS的工作并不限于GNSS；相反，IERS在建立ITRF的过程中融合了所有的合适技术。IERS技术中心包括国际GNSS服务（IGS）、国际激光测距服务、国际甚长基线干涉测量（VLBI）服务和国际DORIS服务。不同的测量技术相辅相成，用于检查ITRF组合解中的系统误差。

ITRF实现定期发布，包括永久地面站的坐标和速度。每个组合都使用最新的理论和方法，并且包括传统和现代化系统的最新测量值。更长、更完善的数据集和理论的进步确保了ITRF的持续改进。过去的实现包括ITRF94、ITRF96、ITRF97、ITRF2000、ITRF2005和ITRF2008。自2016年1月21日起，最新的ITRF框架为ITRF2014[15]。

ITRF实现位于ECEF笛卡儿坐标系下。IERS未建立地球的椭球面，但国际大地测量协会（IAG）采用了一个称为大地测量参考系1980（GRS 80）椭球面，目前已得到广泛使用。表2.2中提供了适合于坐标转换的参量。

对于GNSS应用，对ITRF的访问可通过IGS的产品获得。IGS是全球200多个组织的自发联盟，IGS的目标是提供最高精度的GNSS卫星轨道和时钟模型，它由超过400个参考站的全球网络实现[16]。

IGS的主要产品是ECEF框架下的卫星轨道和时钟误差值，记为IGS14。该框架与ITRF2014一致，但因计算方法而有不同的名称。从这一版开始，IGS定期发布GPS的超快、快速、最终轨道和时钟，以及GLONASS的最终轨道。此外，IGS还提供测站坐标和速度、GNSS接收机和卫星天线模型，以及对流层、电离层和地球定向参数。有了这些产品和合适的GNSS接收机数据，就可能得到最高精度的ITRF2014坐标。

IGS产品最初是为支持后处理应用开发的。随着时间的推移，这些产品逐渐发展到包含近实时和实时的需求。然而，卫星导航系统最初就被设计成以独立模式运行，并不支持因特网数据流。独立模式需要在导航电文中传输卫星轨道和时钟数据作为GNSS信号的一部分。此外，各种卫星导航系统可以维护自己的跟踪网络，建立自己的ECEF参考框架。这样的卫星导航系统参考框架可能与ITRF2014严格重合，也可能与ITRF2014不严格重合。后续章节中将详细介绍具体卫星导航系统的参考框架及其与ITRF的关系，并且介绍不同的GNSS组件。