1.2.3　不学除法／忘掉分数

前面我们看到，我们发明这一点数学已经足以重新发明许多所谓的“代数律”。下面我们继续从我们已经发明的东西得出另外两条定律。理解了这些“定律”的来源，我们就不用再记忆奇怪的名词“分数”以及与之相应的奇怪动词“除”。

以前老师可能告诉过你说我们能（警告：前方行话）“消去分数中分子和分母的公因数”。也就是说，。但是，在我们发明的世界中，到目前还没有出现“除”这种东西：符号只不过是（5）的缩写，也是两个数相乘。这感觉有点自欺欺人，因为符号好像还是与除有关。但除是从我们的世界之外引入的概念。我们只不过是用符号作为一个数的缩写，这个数如果与9相乘会得1。从另一个角度看，我们是用它们的性质来定义这样的符号，将它们可能具有的数值视为思维的副产品，不作为关注的重点。通过用性质来定义这些对象，也更容易看出像这样的语句是对的，原因如下。

我们已经知道，乘的顺序无关紧要，我们还知道，对任何数＃，（＃）。只需这两点就可以论证语句是对的。注意下面的等号都是用的≡，只有一个例外。这个例外的等号两边交换了乘的顺序。由于这可以认为是旋转了长方形（长和宽互换不会改变面积），我在这个等号上面标了个“转”字。推理如下：

因此这个看上去不错的“定律”——“消除”“分数”中“分子”和“分母”的“公因数”——其实根本不是一条定律。也许它是，也许“定律”这个词本身就没什么意义。无论怎样，它都只不过是以下事实的推论：（1）乘的顺序无关紧要；（2）我们用作为与某个东西相乘得1的那个数的缩写。

还有一个很简单的论证。老师可能教过我们可以“将分数分开”。也就是说，有人告诉我们说语句是对的，却没有说为什么。其实，这就是伪装了的撕东西显然律。我们来看看为什么。同样，下面的所有等号都是用的≡，只有一个例外。这个例外的地方用的是撕东西显然律，所以我在等号上面标了个“撕”字。推理如下：

因此分式分解不是什么特殊的分数“律”，与分数完全无关，其实就是撕东西显然律的另一种形式。

重点：遇到包含许多除式的可怕语句时，可以用乘的语言重写。这个简单的变换经常能让事情变得更简单，我们也不用去记忆分式的各种怪异属性。

好了！我们的发明技巧还不够熟练，因此我们再看一个发明数学概念的例子，然后在结束这一章之前总结一下这个从定性到定量的神秘过程的普遍原则。