第一章 森林里的几何学

用影子的长度来测量物体高度

到现在为止，有一件事我仍然记忆犹新。我在很小的时候，曾经看见一个秃顶的人，对着一棵高大的松树，手里拿着一个很小的仪器，想测量这棵松树有多高。他先拿起一块方形的木板，瞄了一眼松树。我以为他会拿着皮尺爬到树上去，但万万没想到，他做完了以上动作之后居然把那个小仪器塞进包里，然后拍拍手说：“好了，测量结束。”我简直不敢相信自己的眼睛，还以为测量压根儿没有真正开始呢。

那时的我年龄还很小，对此人的测量方法充满了疑惑，不知道究竟发生了什么，觉得那简直和变魔术没什么两样。等到上学后，对几何学有了一定的了解，我才知道，这哪是什么魔术啊，原理再简单不过了。测量树的高度根本不需要进行实际测量，只用几种简单的仪器就足够了，而且方法多种多样。

公元前6世纪，古希腊哲学家泰勒思发明了一个新方法，被公认为是最古老、最简单的方法，他用该方法完成了对埃及金字塔高度的测量。在测量金字塔的高度时，他借助了金字塔的影子。当时的场面壮观极了，人们聚集在一起，其中甚至还有法老和祭司，为的就是亲眼看看这位哲学家如何测量高大的金字塔的高度。

据说，当时泰勒思选择了一个特殊的时间，这时他自己的影子的长度正好等于自己的身高。很明显，只要测量出金字塔影子的长度就可以了，因为这个影子的长度就是金字塔的高度。唯一不同的是，金字塔影子的长度要从塔底的正中心算起，而不是从金字塔的边缘算起。泰勒思之所以能发明这种方法，就是从影子中得到的启发。

现在，我们会觉得古希腊哲学家的智慧不过如此，他解决问题的方法连小孩子都明白。但有一点不得不承认，这一切都是几何学的功劳。可对当时的人们来说，“几何学”三个字他们连听都没听过。大约在公元前300年，古希腊数学家欧几里得写过一本书，他在书中对几何学进行了系统的论述，书中的理论至今仍然广为学习和运用。对现在的中学生而言，书中的很多定理都是小儿科，但在泰勒思生活的年代，还没有这些定理。在测量金字塔的高度时，肯定会用到其中一些定理，比如下面的这些三角形特性：

·等腰三角形的两个底角相等。反之，如果三角形的两个角相等，那么它们的对边也相等。

·不管是什么三角形，它的内角总和都是180°。

泰勒思测量高度的方法，正是以三角形的这两个特性为基础的。当影子的长度与他的身高相等时，意味着太阳照向地面的角度正好是直角的一半，即45°。此时，金字塔的高度与影子的长度恰巧是一个等腰三角形的两条边，因此它们是相等的。

若天气良好，在太阳的照射下，大树会有影子，就可以利用该方法测量大树的高度。但要注意的是，最好选择独立的大树，这样它的影子不会与其他大树的影重合，避免测量出现错误。不过，这个方法在纬度比较高的地方并不好用。原因是，在这些地方，影子的长度和物体的高度相等的时间非常短，而且必须是夏天的中午。因此，该方法并不适用于任何地方。

不过，在这种地方，可以将此方法改进一下，只要有影子，事情就好办。此时，我们只需要分别测量出物体的影子与自己影子的长度，然后利用下面的比例关系计算出物体的高度就行了，如图1所示：

AB∶ab=BC∶bc

图1 用影子的长度来测量树高

这个关系也是几何学的知识，若两个三角形ABC和abc相似，则它们的对应边就成一定比例。所以说，物体的影子长度和身体的影子长度的比值，与物体的高度跟身高的比值相等。

你可能会感到难以理解，如此简单的道理，为什么还要用几何学来证明？若没有几何学，我们是不是就无法得到物体的高度呢？没错，事实如此。如图2所示，刚才的方法对路灯和它的影子就不适用。从图中可以看出，柱子AB的高度为矮木桩的3倍，它们的影子BC却不是bc的3倍，而大约为8倍。要是没有几何学，想把这个方法的原理解释清楚并说明它在此时行不通的原因绝非易事。

图2 这种方法在路灯下不适用

【问题】是什么原因令该方法对路灯的影子不适用了呢？这和前面测量大树的情况有什么不一样？众所周知，太阳发出来的光线被我们看作平行线，路灯却不一样，从路灯发出的光线并不平行，这一点在图2中可以看得清清楚楚。那么，太阳光为什么是平行的呢？它们不也是从同一个太阳发出来的吗？

【解答】我们之所以将太阳光看作平行线，是因为从太阳发出的光线间的角度非常小，完全可以忽略不计。这个问题，几何学的知识就可以充分证明。假设从太阳发出两条光线，照射到地球上的某两个点，这两个点的距离设定为1 000千米。如果我们有一个巨大的圆规，将其中的一只脚放在太阳的位置，另一只脚放在刚才的其中一个点上，画一个圆。很明显，该圆的半径正好和地球到太阳的距离相等，也就是150 000 000千米。换算一下可以得知，该圆的周长为：

2×π×150 000 000≈940 000 000（千米）

刚才选取的两点之间的距离为1 000千米，即圆上的一段弧长为1 000千米的弧。大家都知道，圆周上的每一度对应的弧长都等于圆的周长的。换算后可以得出：

每一分的弧长等于这个数值的，约为43 000千米，每一秒的弧长又为该数值的，也就是720千米。

我们刚才讲到的弧长只有1 000千米，即它对应的角度为秒，该角度几乎可以不予考虑，就算是最精密的仪器，恐怕也很难测量出这么小的角度。因此，从地球上看，太阳发出的光线就是平行线。

需要指出的是，太阳照射到地球直径两端的光线之间的夹角大约为17秒，用仪器可以将该角度测量出来，科学家之所以能计算出地球与太阳之间的距离，就是利用了这个角度。

由此得出，若没有几何学的知识，对于前面提到的测量高度的方法，我们根本无从解释。

但是，运用这个方法进行测量并没有想象的那么容易，原因是影子边缘的分界线并不是特别明显。因此，在测量影子的长度时往往会出现偏差。太阳光照射到物体上时，形成的影子边缘会出现一个轮廓，呈现的是半影，所以我们很难找到影子的边缘。之所以出现半影，是因为太阳这个发光体实在是太大了，光线是从无数个不同的点上发出来的。如图3所示，树的影子BC在边缘处出现了一段若隐若现的半影CD。事实上，半影CD的两端与树梢形成的夹角CAD等于我们看向太阳直径两端形成的夹角，大约为半度。即便太阳的位置比较高，同样会产生半影，测量误差就是这样产生的。该误差有可能高达5%，甚至更大。再算上其他因素，比如地面凹凸不平，误差就会更大。因此，这个方法在丘陵地带并不适用。

图3 半影是怎样形成的