第二节　进制转换

基础知识

十进制整数转二进制数

除二取余法：用2连续除十进制整数，直到商为0，逆序排列余数即可得到该十进制整数的二进制表示。

例如十进制数57转为二进制数：

·57除以2得28余1

·28除以2得14余0

·14除以2得7余0

·7除以2得3余1

·3除以2得1余1

·1除以2得0余1（商为0，结束）

逆序排列余数（从下往上）得到二进制数：111001B。

十进制整数转n进制同理，即除n取余法。

二进制数转十进制数

按位权展开：在数制中，各位数字所表示值的大小不仅与该数字本身的大小有关，还与该数字所在的位置有关，我们称其为数的位权，简称权。

对于形式化的进制表示，我们可以从0开始，对数字的各个数位进行编号，即从个位起向左依次为编号0、1、2、……；对称地，小数点后的数位则是-1、-2、……。如下表为二进制数111001.000B的位权表示：

任意R进制数按权展开，相加即可得到十进制数，如二进制数111001B转为十进制数：

1×2⁵+1×2⁴+1×2³+0×2²+0×2¹+1×2⁰=57

其他进制数转十进制数同理，十进制数的位权是以10为底的幂，二进制数的位权是以2为底的幂，十六进制数的位权是以16为底的幂。数位由高向低，以降幂的方式排列。

进制快捷转换

由于2的3次方是8，所以二进制数转为八进制数时，可三个数为一组进行转换，每组内位权编号重新从零开始计算。例如，二进制数111001B转为八进制数：

(111)(001)B=(1×2²+1×2¹+1×2⁰)(0×2²+0×2¹+1×2⁰)O=71O

同理，由于2的4次方是16，二进制数转为十六进制数时，可四个数为一组进行转换（优先满足右侧分组，因为最高位可以补零），如二进制数111001B转为十六进制数：

(11)(1001)B=(1×2¹+1×2⁰)(1×2³+0×2²+0×2¹+1×2⁰)H=39H

其他进制间转换时，若进制存在幂运算关系，则可依此方法进行快捷转换。

十进制小数转二进制数

乘二取整法：用2乘十进制小数，可以得到积，将积的整数部分取出，再用2乘余下的小数部分，如此循环，将每步取出的整数部分顺序排列，得到小数的二进制表示。

整数部分用除二取余法得到二进制数，小数部分用乘二取整法得到二进制数。例如，十进制数32.12转为二进制数的步骤如下。

1）整数部分为32，小数部分为0.12。

2）整数部分32除二取余得到二进制数100000。

3）小数部分：

0.12×2=0.24取整数0

0.24×2=0.48取整数0

0.48×2=0.96取整数0

0.96×2=1.92取整数1（取出后，后续运算因数变为1.92-1=0.92）

0.92×2=1.84取整数1

0.84×2=1.68取整数1

（有的小数部分乘二取整可无限运算下去，须按题目精度要求截取足够位数。）

顺序排列取出整数，得到小数部分的二进制数为.000111。

4）结合得到最终二进制小数：100000.000111。

总结：整数部分，除二取余、逆序排列；小数部分，乘二取整、顺序排列。

范例精讲

例1　如果256种颜色用二进制编码来表示，至少需要（　）位。

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

【正确答案】　C

|解析|

n位无符号二进制数能够表示的最大正数为全一（n个1），转为十进制数为2⁰+2¹+…+2^n-1。

设x=2⁰+2¹+…+2^n-1

等式两边+1得到：x+1=1+2⁰+2¹+…+2^n-1

1可以看作2⁰：x+1=2⁰+2⁰+2¹+…+2^n-1

相同数的加法变为乘法：x+1=2×2⁰+2¹+…+2^n-1

数学幂运算，底数不变指数相加：x+1=2¹+2¹+…+2^n-1

表现为两个2⁰合在一起变成了2¹，接下来等号右边可以继续这样合在一起。

最后x+1=2^n-1+2^n-1=2ⁿ，x=2ⁿ-1。

回到问题中，要存储256种颜色，数值对应0～255，2ⁿ-1≥255，n至少为8。

赛题训练

1.二进制数1011转换成十进制数是（　）。

A. 11

B. 10

C. 13

D. 12

2.下列四个不同进制的数中，与其他三项数值上不相等的是（　）。

A. (269)₁₆

B. (617)₁₀

C. (1151)₈

D. (1001101011)₂

3.请选出以下最大的数（　）。

A. (550)₁₀

B. (777)₈

C. 210

D. (22F)₁₆

4.十进制小数13.375对应的二进制数是（　）。

A. 1101.011

B. 1011.011

C. 1101.101

D. 1010.01

5.与二进制小数0.1相等的八进制数是（　）。

A. 0.8

B. 0.4

C. 0.2

D. 0.1

6.与二进制小数0.1相等的十六进制数是（　）。

A. 0.8

B. 0.4

C. 0.2

D. 0.1

7.下面有四个数据组，每个组各有三个数据，其中第一个数据为八进制数，第二个数据为十进制数，第三个数据为十六进制数。这四个数据组中三个数据相同的是（　）。

A. 120　82　50

B. 144　100　68

C. 300　200　C8

D. 1762　1010　3F2