2.3.1　解析近似

取式（2-3）的对数，我们有

当收益很小时，我们可以用r=0附近的泰勒（Taylor）展开式来近似代替上式右端的对数函数，即ln（1+r_i）≈。近似值的误差是单期收益率的三次方。由于我们的目标是将几何平均值g与算术平均值μ联系起来，一种更直接的方法是将对数函数在μ附近展开：

右端级数的收敛条件如下：

当单期收益率大小适度时，式（2-14）的条件应该被满足。然而，当某期收益是一个极端正向离群值，即远高于其他各期收益时，上述条件可能就不被满足了。

将式（2-13）代入式（2-12），得出

式中s_k这个项就是

例如，s₂是方差，s₃是波动率的立方乘以偏度，s₄是方差的平方乘以峰度，等等。取式（2-15）的指数函数，我们得到

如果我们只取级数的第一项，我们就有

通过用exp（x）≈1+x近似指数项，并在所得乘积中舍弃高阶项，可以进一步简化近似。我们得到

式（2-18）是算术平均数、几何平均数和收益方差之间的线性关系。这使得许多研究，包括投资组合再平衡研究，在分析上变得可行。对于许多类型的投资收益来说，这也是相当准确的。例如，明德林（Mindlin，2011）检验了四种复杂度不同的几何平均值近似公式的精度，发现尽管式（2-18）给出的结果通常不如更复杂的近似公式准确，但它对许多实用目的来说已经够用了。

·式（2-18）相对于式（2-17）的近似误差量级为O（μσ²）。当μ和σ都很小时，式（2-17）相对于式（2-16）的误差比O（μσ²）更小。在此条件下，用μ-σ²/2近似替代几何收益率的误差量级为O（μσ²）。

例2.3：延续例2.1和例2.2，我们有μ=25%和σ=75%。因此，

实际几何收益率为0%。近似值相对于真实值低估了3.13%。