2.2　数列

数列是按照某种顺序排列的一组数，其在计算机科学中的应用非常广泛，如在程序设计[4]、数据结构[5]的学习、使用过程中，经常遇到线性结构中的数组、列表、字符串等结构，它们都可以理解成数列。

2.2.1　数列的概念

1.数列

定义2-17　按照一定顺序排列的一组数称为数列。

按照函数定义的方式，数列也可以理解成以正整数集合（或它的有限子集）为定义域的函数。

数列一般表示为，记作。如{1,2,3,4,…,n,…}{2,4,6,8,…,2n}{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}都是数列。

可以利用Python中的列表表示数列，假设需要表示由不超过自然数20的偶数构成的数列，可以通过如下定义完成：

或者

2.数列的相关概念

定义2-18　数列中的每个元素称为该数列的项。数列的第一个项称为首项。对于数列，为首项，为第项。

数列的通项公式：如果数列的第项与正整数的关系能用一个公式来表示，那么将这个公式称为数列的通项公式。

例2-5　数列{2,4,6,8,…,2n}的通项公式为，利用Python实现该数列的表示方法，假设n=10，则程序如下：

输出结果如下：

2.2.2　数列的分类

数列可以按照不同的方式进行划分。

1.按照数列的项数划分

（1）有穷数列：数列中的项是有限的，如{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}{2,4,6,8,…,2n}都是有穷数列。

（2）无穷数列：数列中的项是无限的，如{1,2,3,4,…,n,…}是无穷数列。

2.按照数列项之间的大小关系划分

（1）递增数列：从数列的第二项起，每项都大于其相邻的前一项，这样的数列称为递增数列，如{1,5,10,11,15,26,37,48,59,100}{2,4,6,8,…,2n}(n为正整数，n≥5)都是递增数列。

（2）递减数列：从数列的第二项起，每项都小于其相邻的前一项，这样的数列称为递减数列，如{100,59,48,37,26,15,11,10,5,1}{2n,2n-2,2n-4,…,8,6,4,2}(n为正整数，n≥5)都是递减数列。

（3）常数数列：数列的每项都是一个相同的数值，这样的数列称为常数数列，简称常数列。

3.按照数列项之间的变化规律划分

（1）等差数列：从数列的第二项起，每项与其相邻的前一项的差等于同一个常数，这样的数列称为等差数列。其中，后一项与前一项的差称为公差（用来表示），如{1,4,7,10,13,…,3n+1,…}(n=0,1,2,3,…)，{2,4,6,8,…,2n}(n为正整数，n≥5)都是等差数列。

等差数列的通项公式：，其中，n为项数，为公差。

等差数列的前n项和公式：，其中，n为项数。

（2）等比数列：从数列的第二项起，每项与其相邻的前一项的比等于同一个常数，这样的数列称为等比数列。其中，后一项与前一项的比值称为公比（用来表示）。如{1,3,9,27,…3n,…}(n=0,1,2,3,…)是等比数列。

等比数列的通项公式：，其中，，为公比。

等比数列的前n项和公式：，其中，。

2.2.3　综合案例及应用

例2-6　利用Python程序实现对一个数列中的元素进行升序排序。

利用冒泡排序法对数列中的元素进行升序排序，对该算法的分析如下。

（1）通过Python创建一个列表，用来表示数列。

（2）利用循环嵌套进行升序排序，此过程主要是比较相邻元素，若前者比后者大，则两者调换位置。

（3）持续这个过程，直到最后一个元素为止。

（4）输出结果。

对上述算法步骤的程序实现如下：

输出结果如下：