第一张对数表是怎样制作出来的？

在400多年前，人类还没有发明计算机，还只能做加、减、乘、除等简单运算。但是随着科学技术的发展，特别是随着天文学和力学的迅速发展，科学家要面对许多复杂的计算，这就促使他们去寻找简化复杂计算的方法。对数运算与对数表就是在这样的背景下产生的。

人们应该把造出第一张对数表归功于乔伯斯特·别尔基（Jobst Burgi,1552—1632）和约翰·纳皮尔（John Napier,1550—1617）。他们在制作对数表的过程中所花费的巨大劳动使人惊讶。法国数学家和天文学家拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace,1749—1827）曾说过：一个人的寿命如果不拿他在世上的时间长短来计算，而是拿他一生中的工作多少来衡量，那么可以说，对数的发明等于延长了人类的寿命。

恩格斯曾经将解析几何、对数及微积分并列为17世纪3个“最重要的数学方法”，而对数的计算又离不开对数表，由此可知对数表的制作成功对科学发展的重要意义。

乔伯斯特·别尔基出生于瑞士，是一个能干的钟表匠和天文仪器技师，他没有受过高等教育，他取得的成就完全是靠他突出的才能与勤奋的工作。他和发现行星运行三大定律的德国著名科学家开普勒（Johanns Kepler,1571—1630）一起工作，因为需要进行大量的计算，这就促使他去寻找快速计算的方法。

约翰·纳皮尔是苏格兰人，他也不是职业数学家，但他受过良好的教育，是一个天文学和数学的爱好者。他完全独立地和别尔基同时开展着类似的研究。他用了20年的时间来制作第一张对数表，在这一过程中，他始终怀着一个崇高的目标：减轻未来计算人员的劳动。

下面我们来看看他们是怎样制作对数表的。

由于对数运算有换底公式，因此只要选择一个适当的底，关于这个底制作出对数表，则关于其他底的对数表就很容易制作出来了。那么以什么数作为底最合适呢？

首先，对数表需要满足一个基本条件：表中对数的间隔要充分小，而真数的间隔也要充分小（如为0.000 1）。这样，当我们从真数求对数时，很容易在表中找到这个真数的精确值或近似值，从而很快在同一行读出它的对数值；而当我们从对数求真数时，也很容易在表中找到这个对数的精确值或近似值，从而很快在同一行读出它的真数值。

因为我们使用的是10进制，所以先试一下以10作为底是否合适（见表1）。

表1

（续表）

表1左边对数部分的间隔很小，是0.000 1，但右边真数部分的计算非常困难，需要对10,100,1 000,10 000等数求10 000次根，这简直是无法计算的。

为了避免求上述的开10 000次根的运算，我们应该取某个数的10 000次幂为底，那么先取1010 000作为底来试一下（见表2）。

表2

现在表2右边真数部分的计算并不困难，但这张表不符合我们的要求：虽然对数的间隔比较小（0.000 1），但是真数的间隔太大，而且增加太快。

我们把底缩小一点再试一下，取210 000作为底（见表3）。

表3

底缩小后，真数这一列间隔也缩小了，但是仍然太大，而且增加也很快。我们把底再缩小一点试一下，取作为底（见表4）。

表4

从以上几张表我们可以发现，我们取的底应该是一个指数形式，指数是一个比较大的数，如10 000，而底越接近1，真数这一列的间隔就越小。于是可以自然地想到以（1.000 1）10000作为底试一下（见表5）。

表5

我们发现表5已经满足前面提出的要求：真数和对数都按照单调增加的序列排列，而且间隔都非常小。

表5的对数是按等差数列排列，公差为d＝0.000 1，真数是按等比数列排列，公比为d＝1.000 1，这样造表就比较容易了。

从以上讨论可以得出这样的结论：为了造第一张便于计算的对数表，必须取形如的数为底，其中n为一个较大的整数，如n＝1 000,10 000等，n越大，所造的表越精确。

别尔基造的对数表就是用数（1.000 1）10 000做底的，这张表在1620年出版，称为“算术级数和几何级数表”。别尔基从1603年到1611年共用了8年的时间来造表。为什么要用这么多时间呢？你们可以想一下，表中对数的间隔是0.000 1，从0到1就要计算10 000个真数的值。制作整个对数表，别尔基总共做了230 000 000个以上的数依次乘以1.000 1的乘法计算！

别尔基造的对数表没有得到广泛的推广，因为在1620年纳皮尔出版了比别尔基造的表完善得多的对数表，称为“珍奇对数表”。纳皮尔的对数表是以（1.000 000 1）10 000 000做底，因此更加精确。为了制作这张表，纳皮尔用了20年的时间。

随着牛顿（Isaac Newton,1643—1727）和莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646—1716）创立了微积分，柯西（Cauchy， 1789—1857）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass,1815—1897）等人奠定了微积分的基础，建立了严格的极限理论。人们发现当n无限增加时，数列的极限存在，这个极限是一个无理数，等于2.718 281 828 45…，数学家把这个数用字母e来表示，是为了纪念伟大的瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler,1707—1783）。为了纪念纳皮尔，这个数也叫做“纳皮尔数”。

因此，现在用的对数有两种：一种叫自然对数，它以数e为底；另一种叫常用对数，它以10为底。

复旦大学数学科学学院 陈纪修