3.3 价格响应函数
3.3.1 价格响应函数的分类
需求曲线，也称为价格响应函数，揭示了价格p与销量或数量q之间的函数关系
q=q（p） （3-1）
价格是自变量，销量是因变量。在经济学教科书中，大多数情况下，在其镜像函数p=p（q）中，销量是自变量，而价格是因变量。这种需求函数基于供应商提供一定数量的产品并由市场决定价格。在现代的异质市场中，式（3-1）更加具有现实意义。
价格响应函数是价格优化的前提。在实践中，企业对价格响应函数的认识往往是有限的，并且存在很大的误解。价格响应函数可以根据以下标准进行分类。
·聚合水平：个体与聚合价格响应函数。个体价格响应函数描述了单个客户的需求如何随价格变化。聚合形式将所有客户的需求整合为价格的函数，描述整体需求如何随价格变化。
·市场形态：在这里可以将市场分为垄断市场和竞争市场。在垄断市场中，需求水平仅取决于垄断企业的价格。在竞争市场中，竞争对手的价格会对企业的销量产生影响，因此，必须将其作为自变量纳入价格响应函数中。
·形式：价格响应函数可以用表格或图形表示，也可以用数学公式表示。
·数据来源：用于确定价格响应函数的数据可以来自专家判断、客户调查、实验或市场数据。
3.3.2 价格响应函数和价格弹性
3.3.2.1 个体和聚合价格响应函数
我们先考虑个体价格响应函数。然后，得出聚合价格响应函数。
对于个体需求，我们需要区分两种情况。
·耐用品：需求曲线反映了每个客户是否购买的决定。我们将此称为“是-否”（yes-no）情况。人们购买一台洗衣机、一部智能手机、一架相机或一台笔记本电脑，或者他们什么都不买。
·消耗品：在这种情况下，买方通常根据价格一次性购买多个单位产品。我们称之为“可变数量”（variable-quantity）情况。像酸奶和软饮料这样的食品就属于消耗品，像看电影这样的服务消费也是如此。如果价格较低，个体客户就会购买和消费更多的产品和服务。
图3-3的左侧说明了“是-否”的情况。如果价格低于产品的（感知）价值，客户就会购买。客户愿意为产品支付的最高价格与产品的感知价值对应，也就是最高价格（在经济学文献中也称为“保留价格”（reservation price）或“过高价格”（prohibitive price））。
图3-3 “是-否”情况和“可变数量”情况的个体价格响应函数
类似地，在“可变数量”的情况下，客户会比较产品每个单位的价格和价值。正如我们在图3-3的右侧所看到的那样，客户愿意为第一个单位的产品花费4美元，而只愿意为第二个单位的产品花费3美元。这种下降的支付意愿反映了戈森第二定律（Gossen's second law）[11]。该定律表明边际效用（marginal utility）（或“对客户的边际价值”）随着产品消费数量的增加而下降。产品的第二、第三和第四单位带来的额外效用比之前更少。“可变数量”情况得出的结论是：价格越高，个体客户购买的数量越少。考虑“可变数量”情况的最佳方式是将其视为一系列的“是-否”情况。对于每个连续单位，客户根据附加单位的感知价值做出“是-否”购买的决定。
当根据个体情况设定价格时，价格对两种情况的影响是不同的。在“是-否”的情况下，卖方应设法找到个体买方愿意支付的最高价格，将最高价格设置为产品价格。当与每个客户单独协商价格时，这是定价的主要问题。在“可变数量”情况下，有两种选择。无论购买量多少，都设定单位统一价格，或者按购买量区分价格。后一种选择称为非线性定价。在“可变数量”情况下，企业必须了解每一单位产品的边际效用以确定个体价格响应函数。
3.3.2.2 聚合价格响应函数
聚合价格响应函数是每个价格下所有客户购买数量相加的结果。客户可以是同质的，也可以是异质的。在现实中，他们几乎总是异质的，这意味着他们具有不同的最高价格。在图3-4中，我们假设的是异质情况，该图显示了“是-否”情况和“可变数量”情况下的三个客户的聚合情况。
在这两种情况下，聚合价格响应函数都具有负斜率，即价格越高，客户购买的产品数量越少。如果我们纳入更多的客户数据，函数形状将会接近于连续的曲线。
3.3.2.3 价格弹性的定义
价格对销量的影响是通过价格弹性来衡量的。弹性是一个因变量百分比变化与自变量百分比变化的比率。弹性是无因次的（dimensionless）。价格弹性定义为：
如果价格下降10%将导致销量增长20%，则价格弹性值为-2。负号表示销量和价格变动方向相反。-2的价格弹性表示销量的百分比变化是价格百分比变化的两倍。对于无穷小的变化，价格弹性在数学上的定义为：
在该等式中，
是价格响应函数q=q（p）的一阶导数，q代表销量，p代表价格。
图3-4 三个不同客户个体价格响应函数的聚合
3.3.2.4 垄断情况下的线性价格响应函数和价格弹性
最简单的假设是销量q与价格p之间存在线性关系：
q=a-bp （a>0, b>0） （3-4）
图3-5表示垄断情况下的线性价格响应函数。参数a是销量轴上的截距，表示最大销量（价格为零）。a/b的商确定了销量为零时的价格。这个价格对应价格轴的截距，是（聚合情况下的）最高价格。
图3-5 线性价格响应函数（垄断情况下）
参数b表示价格响应函数的斜率。换句话说，它表示一个单位的价格变化所引起的销量变化。b的数值越大，销量对价格变化的反应越灵敏。因为线性函数的斜率是常数，所以某一价格变化所导致的销量变化在任何位置都是相同的，不受之前的价格水平影响。线性函数的价格弹性表示为：ε=-bp/（a-bp）。这是一个负数，但当我们讨论价格弹性时，通常以其绝对值表示。对于线性价格响应函数，价格弹性遵循图3-5中所示的模式。当价格很高且接近最高价时，价格弹性的绝对值会非常高。
线性价格响应函数的最大优点是简单和容易解释。要确定该函数，只需要估算出a和b两个参数。在后面会看到，我们可从这一函数得出价格决策的一些简单规则。但线性函数缺乏理论基础。它是从理论空白出发的，正如下面的观点所陈述的那样：“绘制一条直线可能同使用其他方法一样都是正确的”[12, p. 49]。线性函数尽管简单，但它通常与实证数据有令人满意的拟合。根据我们的经验，我们建议仅在所考虑的价格区间与现有或以前的价格范围没有太大偏差的情况下使用线性价格响应函数。在价格范围变化较大的情况下，线性模型可能会导致错误的结论。然而，在合理的价格区间内，仍旧可以使用它，因为由此产生的结果并不会与通过更复杂模型运算得出的结果之间存在较大偏差。“存在疑问时，简单化处理”的格言，在这种情况下十分适用。
3.3.2.5 竞争情况下的线性价格响应函数和价格弹性
在竞争市场中，应将市场份额、相对价格或价格差异等变量纳入价格响应函数。
自变量
除了企业自身的价格pi，我们还需要把竞争对手的价格作为自变量来考虑。表3-1提供了一些关于如何做到这一点的方法。
表3-1 竞争情况下价格响应函数中的自变量
方法1需要非常深入的分析，并且通常不在企业的考虑范围内，因为存在多重共线性（multicollinearity）的问题，即每个单独价格的影响不是独立的。而方法2~4需要对平均价格
进行定义，可以通过不加权或使用市场份额作为加权因子来实现。Kucher[13]证明，按市场份额加权的平均价格可以达成更好的解释质量、统计意义和经济合理性。
竞争对手的价格对企业自身销量的影响是通过交叉价格弹性来衡量的。交叉价格弹性量化了竞争对手的价格对企业自身销量的影响：
或在无穷小的情况下为：
交叉价格弹性表示当产品B的价格pB变化1%时，产品A的销量qA的变化百分比。如果产品A与产品B互为替代品，即彼此是直接竞争对手的产品（如福特的福克斯车型与本田的思域车型），则交叉价格弹性为正。如果竞争对手降价10%，而企业自身的销量下降5%，则交叉价格弹性为+0.5。交叉价格弹性为正数是因为这两种变化（竞争对手的降价和企业自身的销量下滑）的方向是一致的。如果两种产品互为互补产品（例如，复印机和墨盒），则交叉价格弹性如式（3-2）中显示的那样，是负数。
在竞争情况下有几种方法定义因变量。因变量可以是产品i的销量qi或市场份额mi。如果我们令Q代表所选市场的总销量，则这两个变量具有以下关系：
关于销量qi和市场份额mi的价格弹性，我们得到以下等式：
只有当总需求的价格弹性Q等于零时，我们才可以互换使用（interchangeably）销量qi或市场份额mi作为因变量。如果Q实际上取决于价格，我们需要研究两个价格响应函数（一个关于总需求Q，一个关于市场份额mi）。这两个子模型可以单独处理，也可以集合到一个模型中以确定价格对销量qi的影响。在确定因变量时，应仔细查看哪些变量受到了价格的影响。确定自变量的一般性建议是没有意义的。在每一情况中，企业都应分析各种方案，这才是建立有效的价格响应函数的最佳方式。
3.3.3 价格响应函数的其他形式
除线性模型外，还有3种其他形式的价格响应函数也适用于竞争市场的情况，如表3-2所示：乘法模型（multiplicative）、吸引力模型（attraction）和古腾堡模型（Gutenberg model）。
表3-2 价格响应函数公式（竞争情况下）
1.乘法模型
采用乘法模型的基本理由是其简单性以及这样一个事实：其系数b可以理解为恒定价格或交叉价格弹性。在图3-6所示的乘法价格响应函数中，以相对价格（企业自身价格/竞争价格）作为自变量，指数b表示与价格水平无关的价格弹性。该模型具有恒定的价格弹性，该价格弹性等于交叉价格弹性。乘法模型的主要优势是简单。在实践中恒定的价格弹性使讨论更容易。但就像线性价格响应函数一样，该模型没有理论基础作为支撑。
图3-6 竞争市场中的价格响应函数
然而，乘法模型中恒定的价格弹性并不能很完美地反映实际情况。即使价格非常高，销量也不会降至零，这一情况似乎是不符合实际的。与线性模型不同，该模型中不存在最高价格。因此，当乘法模型表示有相当大的涨价余地时，我们应该对此持怀疑态度。人们强烈怀疑该模型普遍低估了价格弹性，至少在较高的价格范围内如此。事实上，在乘法模型的经验估算中，经常存在绝对值小于1的（恒定）价格弹性。从价格优化的角度来看，这是没有意义的。这种情况意味着每次提价都会带来更高的利润。基于经验，我们认为乘法模型不如线性模型有效。该模型只适用于现有价格周边狭窄的价格区间。
2.吸引力模型
与前两个模型不同，吸引力模型具有明确的行为理论基础。该模型假设产品i的市场份额mi是由产品的相对吸引力决定的。人们用产品i的吸引力与所有竞争产品吸引力之和的比率来解释市场份额mi：
“吸引力”模型最初的构想是为了描述质量属性、广告等的吸引效果。我们可以将吸引力解释为效用或偏好。价格显然是一个对吸引力有负面影响的属性。吸引力模型的优点之一是其逻辑一致性：所有的市场份额mi都位于0~100%之间，相加等于100%。
吸引力模型没有具体应用规范，当纳入除价格之外的其他产品属性时，我们推荐使用这类模型。我们可以在效用或偏好水平上测量这些产品属性。例如，这适用于联合测量。吸引力模型允许使用效用作为计算不同价格时的销量、收入和利润的基础。
关于价格效应，我们对吸引力模型的极端情况持怀疑态度。如图3-6所示，接近竞争对手价格时，其价格变化或价格差异的价格效应相对较强，并且随着与竞争对手价格差距的增加而减小。这一假设与古腾堡模型截然相反，正如我们在下一节将看到的那样，古腾堡模型具有一致的实证效度（empirical validity）。将这一发现与我们自身的经验相结合，我们建议企业在考虑制定与现有价格水平大幅偏离的价格时，要非常谨慎地使用吸引力模型。因为在函数的极端情况下存在误差的风险。但如果只在一个狭窄的价格范围内进行研究，吸引力模型是适用的。
通过吸引力模型，我们还得出另一个实证观测结果，尽管该结果并不具备充分的理论基础进行泛化。在我们的经验中，市场领导者通常会获得高于吸引力模型预测的市场份额。这显然是一个“市场领导者奖励”。为了补偿这一情况，规模非常小的竞争对手的市场份额往往低于模型预测值。
3.古腾堡模型
古腾堡模型最著名的形式是双折价格响应函数。古腾堡（Gutenberg）[10][14]认为更平滑的线条等同于双折曲线。图3-7中显示了两种线条，其中表示与产品i竞争的全部产品的平均价格。
图3-7 双折和连续形式的古腾堡模型
微小的价格变化或价格差异只会促使少部分客户从一种产品转移到另一种产品。图3-7中显示的价格响应函数中，中间扁平的部分称为“垄断区间”，因为这部分类似于垄断者的价格响应函数。然而，该模型假设，在降价的情况下，“随着企业自身的销售价格与平均竞争价格之间的距离越来越大，将吸引越来越多以前从竞争对手那里购买产品的消费者”。而在价格向上变化的情况下，“价格增长越偏离初始价格，波动程度就越大”[10, p. 221]。
当我们要求专家在足够大的价格范围内估计销量时，得到的结果通常类似于古腾堡曲线。管理人员或专家通常都会关注价格阈值，超过该价格阈值，销量变化就会更加明显。这一经验证实了从业者根据古腾堡模型的结构进行思考。当从业者使用市场数据进行计量经济学分析时，很少使用古腾堡模型。这可能是由于实践中观察到的价格波动范围太小。不处于“垄断区间”的价格在市场中通常不会持续很久。
3.3.4 价格弹性的实证研究成果
由于价格弹性在价格管理中处于至关重要的核心地位，人们对这一概念已经进行了大量的科学研究。尽管由于各种各样的原因，很难对价格弹性进行比较，但Bi jmolt、van Heerde和Pieters[15]三人进行的整合分析（meta-analysis）针对这一点为我们提供了有趣的观点。他们的研究涵盖了基于实际B2C模式下的购买数据计算的1851个价格弹性估算值。Hanssens[16]在其著作《营销影响的实证泛化》（Empirical Generalizations about Marketing Impact）一书中认为，这些估算值是包装消费品的代表值。1851个价格弹性估算值的分布如图3-8所示。
图3-8 使用计量经济学估算的价格弹性分布图[16]
估算值的绝对值的平均值是2.62，中位数是2.22。在这种情况下，因为不受异常值的影响，中位数更有意义。图3-8说明价格弹性之间存在相当大的差异。虽然Bijmolt、van Heerde和Pieters[15]收集的价格弹性数据来源于1961~2005年，但图3-9中显示的价格弹性基于Friedel最新的一项整合分析[17]。这一研究成果代表了迄今为止对实证价格弹性最全面的评估。在第一项研究中，Friedel分析了1981~2006年发表的学术期刊中提及的863个实证价格弹性。Friedel在整合分析中得出的这部分价格弹性的平均值为2.51，中位数为2.21。Friedel的分析结果与Bijmolt、van Heerde和Pieters[15]三人的研究发现具有极高的一致性。
图3-9 使用计量经济学估算的价格弹性分布（数据来自学术出版物）[18, p. 49]
在第二个数据样本中，Friedel使用了咨询数据。图3-10所示的价格弹性数据分布来自西蒙顾和管理咨询公司的咨询项目[17]。咨询项目数据提供了2003~2007年得到的386个价格弹性。价格弹性绝对值的平均值为1.73，中位数为1.29[17, p. 68]。咨询数据中的弹性值与文献报告中的数值大相径庭。
西蒙顾和管理咨询公司的数据涵盖非常广泛的产品和服务，如汽车、药品、电子产品、工业工具、保险、化妆品与厨房用具等。而Bijmolt、van Heerde和Pieters[15]的整合分析基本只局限于快速消费品（FMCG），并通过观察价格上涨和价格下降10%所引起的产品销量的变化来计算价格弹性，得出各自弹性的平均值。可以猜测折扣和促销的弹性构成了Bijmolt、van Heerde和Pieters数据集的大部分[15]。这些结果往往高于咨询项目中估算的长期价格弹性，Hanssens也证实了这一发现[16]。
图3-10 价格弹性分布（基于咨询项目）[17]
总体来说，我们可以发现，西蒙顾和管理咨询公司咨询项目中考虑的多样化商品的平均价格弹性低于快速消费品。这可以通过该公司在其他产品和服务上的数据集进行解释，数据集中包含的专业工业商品、职业健康和安全产品、创新药物和奢侈品，都具有相对较低的价格弹性。
最后，Friedel[17, p. 83]使用西蒙顾和管理咨询公司的数据集，提供了价格上涨和价格下降对价格弹性影响的进一步见解。在表3-3中，我们可以看到价格下降和上涨的情况下，386个价格弹性的平均值和中位数。价格下降时平均价格弹性为-1.62，价格上涨时为-1.84。价格下降时价格弹性的中位数为-1.07，而价格上涨时为-1.50。这些调查结果表明，销量对价格上涨做出的反应比价格下降更为强烈。竞争反应行为的差异也许可以解释这种不同。
表3-3 价格上涨和价格下降的价格弹性比较
表3-4总结了几种产品类别的实证价格弹性。该表中选择的类别虽不具备代表性，也不完整，但为我们提供了价格弹性的大范围实证值的整体印象。在某些情况下，我们看到价格弹性值非常高。例如，某香烟品牌降价13.2%，导致其市场份额增长1300%。相应的价格弹性绝对值几乎达到了100。工业产品的价格弹性绝对值变动范围也很大。在一项对机械制造商的调查中，受访者估算它们的价格弹性远低于1。在一项针对商品供应商的专家调查中，受访者预计价格上涨2%会导致销量下降50%，这意味着价格弹性的绝对值达到了25。
表3-4 几种产品类别的实证价格弹性
资料来源：西蒙顾和管理咨询公司。
在下面的例子中，我们发现了极低的价格弹性。这与全德汽车俱乐部（ADAC）的会员费相关。全德汽车俱乐部是美国汽车协会（AAA）的德国同行。ADAC有1900万名会员，是欧洲规模最大的汽车俱乐部。在会员费保持10年不变后，ADAC开始考虑提高会员费[18]。典型会员的会员费价格由44.50欧元上涨10.1%，至49欧元。“升级版”会员的会费由79.50欧元上涨13%，至89.50欧元。所有会员类别的平均价格涨幅为12%。但是只有0.1%的会员，或者说1892万会员中的18 956人，在随后的一年中放弃了他们的会员资格[19]。基于这些数据，我们计算出该会员费的价格弹性为-0.01（=-0.1%/12%），实际上为零。一项研究使用了一家大型出租车公司的数据来估算价格弹性。该数据集包括近5000万个独立观察数据。价格弹性变化范围为-1.5~（-2）[20]。这一例子显示了如何使用大数据（来自交易和网络的数据）来估算价格弹性。
学术文献经常试图确定价格弹性高或低时的条件。大多数实证都没能得出任何明确的结论。对价格弹性进行泛化需要谨慎，因为它们在很大程度上取决于产品属性和特定的竞争环境。例如，人们假设高质量的产品具有相对较低的价格弹性。这种假设似乎直观可信。但Friedel的实证分析结果[17]并不支持这一假设。事实上，分析结果表明，高质量的产品具有很高的价格弹性。在Friedel的研究中，这种效应在价格上涨和价格下降的情况中皆可观察到，当价格下降时价格弹性更大[17, p. 121]。
产品的品牌是价格弹性的另一个驱动因素。消费者对领军品牌打折时的反应远远强于对其他一般品牌促销时的反应。Fong、Simester和Anderson[21]推断，商店品牌的价格弹性低于制造商的全国性品牌。然而，Bijmolt、van Heerde和Pieters[15]的研究中未发现品牌（制造商与商店品牌）对价格弹性的任何重大影响。Krishnamurthi和Raj[22]认为，在选择产品时，忠诚于某个品牌的客户的价格弹性低于非忠诚客户。但是，在决定购买多少单位产品时，品牌忠诚的消费者会表现出更高的价格弹性。除了产品的质量和数量，价格行为的持续时间也会对价格弹性产生影响。Olbrich、Battenfeld和Grünblatt[23, p. 282]对食品和杂货产品价格行为的时间有效性进行了实证分析。他们的分析结果表明，价格行为的影响往往会随着时间的推移而减少。
Friedel的研究报告[17]补充了这些结论，产品的差异化程度对其价格弹性有显著影响。产品的关键属性与竞争对手之间的差异越大，产品的可替代性越低，价格弹性越低[17, p. 110]。Friedel的研究表明，这个结论对于价格下降和价格上涨的情况都适用[17, p. 129]。
产品的感知复杂性（perceived complexity）是价格弹性的决定因素，Friedel[17]针对价格上涨和下降两种不同的情况提出了相似的结论。在这两种情况下，该研究都支持这样一种假设，即更高程度的复杂性会降低价格弹性[17, p. 129]。对此，可以这样解释：价格在复杂产品的购买决策中扮演次要角色，比起其他产品属性，客户对价格的关注相对较少[17, p. 114]。
价格变化的方向会影响客户满意度对价格弹性的影响。Koschate[24, p. 165]发现，与对产品满意度较低的客户相比，满意度更高的客户对价格上涨的敏感度更低。但是，目前还不清楚客户满意度是否对降价有调节作用。
小结
基于西蒙顾和管理咨询公司的资料和大型项目数据库，我们得出结论，以下属性有利于提高价格弹性。
产品特征：
·竞争产品之间的相似性和替代性很高，差别很小
·购买频率高
·大众市场产品质量、定位和分销
·产品价格占总成本的比例很高
·经常打折，广告费用高
·产品复杂程度低
·单独销售（相对于产品捆绑或解决方案）
·产品是零售商的客流量驱动因素
·促销产品份额占比高
市场特征：
·销售侧的高竞争压力
·高价格透明度
·低行业/部门销售回报率
·客户的高价格压力（采购/购买）
·客户的高集中度
·电子商务份额高
客户特征：
·价格意识高
·接受风险意愿高
·良好的产品知识：客观评估产品的能力
·品牌意识低下/不成熟
·不重视形象和声誉
·品牌忠诚度低
·质量意识低
·不重视便利性和一站式购物
最后，价格弹性必须根据具体情况确定。学术界对价格弹性有一些研究结果，但这些研究结果往往是不确定的，甚至是矛盾的。虽然Friedel [17]的研究结果支持我们关于实证估算的价格弹性及其影响因素的相关陈述，但还是建议读者将这些陈述视为起点或指导，而不是作为一般性或普遍适用的规则。