二、勾股圆方图〔1〕

此方圆之法〔2〕 。此言求圆于方之法 〔3〕 。

万物周事而圆方用焉，大匠造制而规矩设焉。或毁方而为圆，或破圆而为方〔4〕 。圆中为方者谓之方圆，方中为圆者谓之圆方也〔5〕 。

【注释】

〔1〕勾股圆方图：这是勾股图和圆方图的题名（参看图七）。底本仅剩此题名而原图已佚，留下一个有标题而无图的空白页（图八，采自南宋本页三正面）。有些校勘者曾指出此处有脱误，但未深入研讨。今依照商高叙述积矩法推导勾股定理的原文复原（参见图二·商高勾股图右）。复原的商高勾股图与赵爽勾股图的外弦图相同（参见图十），因此补正的商高勾股图，可从赵爽勾股图中取出（见图九）。又，商高的圆方图在底本中误刊于《陈子篇》的“七衡图”之前（参见图九），此图的标题：“圆方图”和“方圆图”与商高原文“圆中为方者谓之方圆，方中为圆者谓之圆方也”的含义正相反，现依原文相应地校改为：“方圆图”和“圆方图”。

〔2〕此方圆之法：这是商高指方圆术的叙文和其图示而言。方圆术叙文是否衍文或错简，学术界颇有分歧。譬如，顾观光《校勘记》认为南宋本有误，方圆术叙文“必衍文也”。我们认为，方圆、圆方图和方圆术叙文都出于《商高篇》，是商高上文所说“数之法出于圆方，圆出于方”的续文，正如赵爽所注“此言求圆于方之法”。

〔3〕分析图九可见，方圆图和圆方图中的两个圆大小相等，都可视为是直径为一的单位圆。方圆图中圆内有一内接正方形，可称为小方。圆方图中圆外有一相切的正方形，其边长为1［单位］，周长为4［单位］，面积为1［单位］，可称为大方或单位方。小方的对角线正是圆直径，由勾股定理得小方边长 ［单位］，其周长为 ［单位］，面积为 ［单位］。单位圆的圆周率π在数值上与周长相同，所以

由此得知圆周率必在 和4之间，这正是方圆图和圆方图示意之一（参阅程贞一《黄钟大吕：中国古代和十六世纪声学成就》（王翼勋译），2007年，第118—119页）。《周髀算经》所用的圆周率是3，介于 和4之间。惜底本等传本中没有记录圆周率3的推算细节，但在方圆叙文中，商高提出了推导方法。

〔4〕或毁方而为圆，或破圆而为方：求圆于方，或需损方［为多边形］作为圆［的更好近似］，或需割圆［为多块弧形］作为多边形［的推算极限］。由此求圆于方的方法，商高归纳出“圆出于方”的概念。如把方圆图之单位圆中的内接正方变形为正六边形，得周边长3［单位］；如把单位圆中的内接正方变形为正八边形，得周边长3.06［单位］。《周髀算经》中所用的圆周率是3。

〔5〕圆中为方者谓之方圆，方中为圆者谓之圆方也：方圆图是由内接方向外推算圆的示意图；圆方图是由外切方向内推算圆的示意图。与赵爽同时代的刘徽在其著名的《九章算术注》中，继承了商高的破圆术，将其发展为割圆术。割圆术：用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积以此求取圆面积的方法。刘徽从圆内接等边三角形出发，一步步由内接正六边形一直扩展到内接正192边形，以趋近圆面积，得到近似圆周率3.14强。

【译文】

这是方圆之法。这说明求圆于方的方法。

周围的万事万物都要用到圆和方，大匠为制造而设规和矩。求圆于方或需变正方形为多边形作为圆的更好近似形，或需割圆形为多块弧形作为多边形面积的推算。由内接方向外推算圆谓之方圆，由外切方向内推算圆谓之圆方。

赵爽附录（一）：勾股论〔1〕

勾、股各自乘，并之为弦实。开方除之，即弦〔3〕 。案弦图：又可以勾、股相乘为朱实二，倍之，为朱实四。以勾、股之差自相乘，为中黄实。加差实，亦成弦实〔4〕 。

以差实减弦实，半其余，以差为从法，开方除之，复得勾矣〔5〕 。加差于勾，即股〔6〕 。凡并勾、股之实，即成弦实〔7〕 。或矩于内，或方于外〔8〕 。形诡而量均，体殊而数齐〔9〕 。

勾实之矩以股弦差为广，股弦并为袤；而股实方其里。减矩勾之实于弦实，开其余，即股〔10〕 。倍股在两边为从法。开矩勾之角，即股弦差，加股为弦〔11〕 。以差除勾实，得股弦并。以并除勾实，亦得股弦差。令并自乘，与勾实为实，倍并为法，所得亦弦。勾实减并自乘，如法为股〔12〕 。

股实之矩以勾弦差为广，勾弦并为袤，而勾实方其里。减矩股之实于弦实，开其余，即勾〔13〕 。倍勾在两边为从法。开矩股之角，即勾弦差，加勾为弦〔14〕 。以差除股实，得勾弦并。以并除股实，亦得勾弦差。令并自乘，与股实为实，倍并为法，所得亦弦。股实减并自乘，如法为勾〔15〕 。

两差相乘倍而开之，所得以股弦差增之为勾。以勾弦差增之为股。两差增之为弦〔16〕 。倍弦实，列勾股差实，见弦实者，以图考之：倍弦实，满外大方，而多黄实。黄实之多，即勾股差实。以差实减之，开其余，得外大方。大方之面，即勾股并也。令并自乘，倍弦实乃减之，开其余，得中黄方。黄方之面即勾股差〔17〕 。以差减并而半之，为勾；加差于并而半之，为股；〔18〕 其倍弦为弦广袤差并合〔19〕 。令勾、股见者，互乘为其实〔20〕 ，四实以减之，开其余，所得为差。以差减合，半其余为广。减广于合为袤〔21〕 ，即所求也〔22〕 。观其迭相规矩〔23〕 ，共为返覆，互与通分，各有所得。然则统叙群伦，弘纪众理，贯幽入微，钩深致远。故曰“其裁制万物，唯所为之也”〔24〕 。

【注释】

〔1〕赵爽注《周髀·商高篇》，附撰了一篇数学论文，文中提到“观其迭相规矩，共为返覆，互与通分，各有所得。”可见此文包含勾股术和方圆术。惜现传赵爽附撰论文中仅存论勾股内容，有关论方圆的内容已佚。在此，把现传论文列为赵爽附录并拟“勾股论”为标题。赵爽的论文是一篇十分有价值的文献，也是现存最早的一篇中国古代论文式的数学文献。阮元《畴人传》称道：“五百余言耳，而后人数千言所不能详者，皆包蕴无遗，精深简括，诚算氏之最也。”此论文虽仅五百余字，却不仅概括总结了中国古代勾股术的辉煌成就，而且论述了他所开拓的方程研究。钱宝琮曾补绘“勾股圆方图”并予以解说。本书是根据程贞一“圣迭戈加州大学中国研究170课目自然科学史讲义（1986年）”注解。

〔2〕图十是底本《周髀算经》中的弦图、左图和右图，系赵爽所绘。

〔3〕勾、股各自乘，并之为弦实。开方除之，即弦：这是赵爽对勾股定理的明确表述。并：加在一起。实：面积。弦实：以弦为边的正方形的面积。

〔4〕案弦图：又可以勾、股相乘为朱实二，倍之，为朱实四。以勾、股之差自相乘，为中黄实。加差实，亦成弦实：按商高弦图（见图二·商高勾股图右）得：

朱实：弦方之内的每个勾股三角形的面积。黄实：中间的小正方形的面积。赵爽在此简捷地推导得成了勾股定理。值得注意的是赵爽的措辞“又可以”和“亦成弦实”，说明他充分地理解商高给勾股定理的推导，并将他自己的推导视为商高推导勾股定理的另一个选择（参阅程贞一《商高的解剖证明法》，1987，第40页）。这也说明在赵爽时代对商高推导勾股定理的得成已有正确的认识。赵爽和商高两推导之间的关系可由分析弦图分辨。如果把赵爽勾股图的左图、弦图、右图三个图中弦实之内的不同结构除掉（参见图十），所剩下来的是三个同样的图，而且这图与商高弦图一样（参见图二的右图）。这意味着赵爽勾股图可能是由商高弦图演变而得，因为图十中的弦图实际是一个重迭弦图，其外弦图是商高弦图，其内弦图是赵爽弦图（参见图十一）。

由图十一可见，赵爽勾股图的弦图是把自己所作的弦图填入商高弦图中的空白弦方上而构成的。两弦图所提供勾股定理的推导主要区别在于应用不同代数展式。商高弦图应用展式：

（b +a ）2 =a 2 +2（ab ）+b 2 （参见图十二左）（1-2-3）

而赵爽弦图应用展式：

（b -a ）2 =a 2 -2（ab ）+b 2 （参见图十二右）（1-2-4）

〔5〕以差实减弦实，半其余，以差为从法，开方除之，复得勾矣：以差实（b -a ）2 减弦实c 2 ，半其余 [c 2 -（b -a ）2 ]得

如图十三所示，此为弦图中之一矩，其宽是勾a ，其长是股b ，长宽差是（b -a ）。

赵爽在此指出，如把图十三右图的勾股差（b -a ）视为二次开方式中之从法，那么勾a 可由开二次开方式求得。“从法”是中国古代数学术语，即方程的一次项系数。因此，若设勾a 为x ，那么带从平方式可用现代数学式书写如下（参见图十三右图）：

x 2 +（b -a ）x =ab （1-2-6）

把此方程开方除之，由一次项系数b -a 和常数ab 可解得勾a 。那就是说，勾a 是方程式（1-2-6）的一个通解根。在赵爽时代，带从法已是数学界数值解方程的普通知识。在此，赵爽的兴趣不在数值解方程而在利用从法设二次方程，从而得出分析解二次方程。这是一个几何代数化的步骤。由此步骤，赵爽开拓了分析解方程的代数学研究。值得注意的是，赵爽的整篇数学论文，不论是分析叙述或演绎推导，全是以数学技术名词表达他的数学思路。因此，他的分析和推导的成果都是一般性的数理关系。

〔6〕加差于勾，即股：a +（b -a ）=b 。那就是说，已解得勾a ，另一未知数股b 可由所给差（b -a ）［或实ab ］求得。

〔7〕凡并勾、股之实，即成弦实：那就是说，勾股定理a 2 +b 2 =c 2 是一个普遍性的数学原理。不需特定数值，其勾实、股实之和必等于其弦实。

〔8〕或矩于内，或方于外：有的矩方在内部，如内弦图；有的矩方在外部，如外弦图。在此所指的是如图十四所示的各种弦图的结构。图十四之a图是赵爽勾股图的左图（见图十左）示意由外弦图所演变出来含有几何系列数学内容的旋方图（见图十五）。图十四之b图示意内、外弦图相迭的几何结构。

〔9〕形诡而量均，体殊而数齐：虽然各形象变化可有多种多样，但是其合并形象的量度始终均等；虽然各面积尺寸可有大小不同，但是其合并面积的总和始终齐一。这是赵爽陈述积矩法在推导演变中的面积组合转变原理。此陈述说明在积矩推导中，当由一面积组合转变到另一面积组合，其内部不同形状面积的合并必须形成同一组合量度，其内部不同尺寸面积的总和必须等于同一组合总数。赵爽的“组合转变原理”是推导演变的一个基本理论。不仅出现于上述勾股定理两个不同的推导，同时也应用于赵爽上述以从法设二次方程的推导（参见图十三）。赵爽的“组合转变原理”和刘徽的“出入相补原理”不约而同地奠定了商高积矩推导法的理论和应用。在公元十七世纪，当商高积矩推导法出现于欧洲时，被欧洲数学界称为“解剖证明法（Dissection Proof）”。

〔10〕勾实之矩以股弦差为广，股弦并为袤；而股实方其里。减矩勾之实于弦实，开其余，即股：“勾实之矩”可将赵爽左图中央的股实b 2 移至一角而得到，如图十六（b）所示弦实分为一个以股为边长的正方形和一个“勾实之矩”。因此“勾实之矩”的面积a 2 即c 2 -b 2 ，等于以股弦差c -b 为宽、股弦和c +b 为长的矩形面积，即a 2 =（c +b ）（c -b ）。若减矩勾之实于弦实c 2 -（c +b ）（c -b ），然后开其余，即得股 。广：宽；袤（mào）：长。

〔11〕倍股在两边为从法。开矩勾之角，即股弦差，加股为弦：若是拿两边股之和2b 为二次开方式的一次项系数（参见图十七），解“矩勾之角”二次开方式得股弦差为根，加股于根得弦，如图十七所示。若设未知数股弦差c -b 为x， “矩勾之角”的开方式如下：

x 2 +2bx =a 2 。（1-2-7）

由此可见，已知“矩勾之角”的股和勾实a 2 ，从分析解方程（1-2-7）可间接求得弦c 。

〔12〕以差除勾实，得股弦并。以并除勾实，亦得股弦差。令并自乘，与勾实为实，倍并为法，所得亦弦。勾实减并自乘，如法为股：由勾实之矩（见图十七和注〔10〕）得a 2 =2b （c -b ）+（c -b ）2 =（c +b ）（c -b ）。因此，以差除勾实，得股弦并：

以并除勾实，亦得勾弦差：

由勾股定律和展式（c +b ）2 =c 2 +2bc +b 2 得恒等式（c +b ）2 +a 2 =2c 2 +2bc =2c （c +b ）。因此，令并自乘与勾实为实，倍并为法，所得亦弦：

同时，由勾股定律和展式（c +b ）2 =c 2 +2bc +b 2 ，也可得恒等式（c +b ）2 -a 2 =2b 2 +2bc =2b （c +b ）。故勾实减并自乘，如法为股：

〔13〕股实之矩以勾弦差为广，勾弦并为袤，而勾实方其里。减矩股之实于弦实，开其余，即勾：“股实之矩”可将赵爽右图中央的勾实a 2 移至一角而得到，如图十八（b）所示弦实分为一个以勾为边长的正方形和一个“股实之矩”。因此，“股实之矩”的面积b 2 即c 2 -a 2 ，等于以勾弦差c -a 为宽、勾弦和c +a 为长的矩形面积。以代数式表示，即b 2 =（c +a ）（c -a ）。若减矩股之实于弦实c 2 -（c +a ）（c -a ），然后将余数开方，即得勾 。

〔14〕倍勾在两边为从法。开矩股之角，即勾弦差，加勾为弦：若是拿两边勾之和2a 为二次开方式的一次项系数（参见图十九），解“矩股之角”二次开方式得勾弦差为根，加勾于根得弦，如图十九所示。若设未知数勾弦差c -a 为x， “矩股之角”的开方式如下：

x 2 +2ax =b 2 。（1-2-12）

由此可见，已知“矩股之角”的勾和股实b 2 ，从分析解方程（1-2-12）可间接求得弦c 。

〔15〕以差除股实，得勾弦并。以并除股实，亦得勾弦差。令并自乘，与股实为实，倍并为法，所得亦弦。股实减并自乘，如法为勾：由勾实之矩（见图十九和注〔13〕）得b 2 =2a （c -a ）+（c -a ）2 =（c +a ）（c -a ）。因此，以差除股实，得股弦并：

以并除股实，亦得勾弦差：

由勾股定律和展式（c +a ）2 =c 2 +2ac +a 2 得恒等式（c +a ）2 +b 2 =2c 2 +2ac =2c （c +a ）。因此，令并自乘与勾实为实，倍并为法，所得亦弦：

同时，由勾股定律和展式（c +a ）2 =c 2 +2ac +a 2 ，也可得恒等式（c +a ）2 -b 2 =2a 2 +2ac =2a （c +a ）。故股实减并自乘，如法为股：

〔16〕两差相乘倍而开之，所得以股弦差增之为勾。以勾弦差增之为股。两差增之为弦：两差之乘者，即（c -a ）（c -b ），倍而开之得 ，加上股弦差（c -b ）得勾：

以勾弦差（c -a ）增之为股：

以两差（c -a ）和（c -b ）增之为弦：

显然，此勾、股、弦三公式有相联关系，求一而得三。在此，赵爽没有说明勾的公式（1-2-17）是如何推导而来。如将图十八（b）中的股实之矩图旋转180度，合在图十六（b）勾实之矩的图上，即得图二十勾实之矩和股实之矩两者的重迭图。图中阴影部分为股实b 2 和勾实a 2 相重迭形成的小正方形，其面积为（a +b -c ）2 。相对的两个小矩形的面积都是（c -a ）（c -b ）。由图二十可见

c 2 -2（c -a ）（c -b ）=a 2 +b 2 -（a +b -c ）2

根据勾股定理，推得

2（c -a ）（c -b ）=（a +b -c ）2 ，

开方即得

这就是勾的公式（1-2-17），因而可得上述求勾、股和弦的一组公式。

〔17〕倍弦实，列勾股差实；见弦实者，以图考之：倍弦实，满外大方，而多黄实。黄实之多，即勾股差实。以差实减之，开其余，得外大方。大方之面，即勾股并也。令并自乘，倍弦实乃减之，开其余，得中黄方。黄方之面即勾股差：赵爽在这段推演中提到“以图考之”。图二十一提供两个外大方图以供分析这段推演。（a）的弦图式外大方图是由赵爽弦图（参见图十中）演变而得。（b）的旋方式外大方图是由赵爽旋方图（参见图十左）演变而得。根据弦图式外大方图（a），倍弦实2c 2 ，出入相补地填满外大方（b +a ）2 ，但是多出一个黄实（b -a ）2 ，故

2c 2 -（b -a ）2 =（b +a ）2 （1-2-20）

根据旋方式外大方图（b），公式（1-2-20）成为

显然，公式（1-2-20）和公式（1-2-21）表达同一数理关系。此二式可简化为一公式：

a o 、b o 和c o 即a 、b 和c 。这正是赵爽所谓的“形诡而量均，体殊而数齐”。换句话说，以勾股差之实减倍弦平方，然后开其余，得外大方和其面，其面即是勾股并。面：中国古代数学术语，指边长。弦图式外大方的面为勾股和（b +a ），黄方的面为勾股差（b -a ）：

〔18〕以差减并而半之，为勾；加差于并而半之，为股：差指勾股差（b -a ），并指勾股和（b +a ）。现以算式表示如下：

这是两个恒等式。赵爽用此恒等式分析解得一般性一元二次方程的两个通解根（参见注〔20〕—〔22〕）。

〔19〕其倍弦为弦广袤差并合：即其倍弦等于弦广差加弦广并或弦袤差加弦袤并。此句原为“其倍弦为广袤合”，按倍弦应等于弦广差加弦广并或弦袤差加弦袤并：

2c =（c -a ）+（c +a ）=（c -b ）+（c +b ）（1-2-27）

故据文义增补三字为“其倍弦为弦广袤差并合”。

〔20〕令勾、股见者，互乘为其实：这段文字简洁，且底本等误“互”为“自”，使学术界颇有歧见。甄鸾、李淳风、李俨、钱宝琮以及近代译著者各有看法。我们认为赵爽在此所说的“令勾股见者”是指上文“以差减并而半之为勾，加差于并而半之为股”两个恒等式中所见的勾和股［见公式（1-2-25）和（1-2-26）］。因此，“互乘为其实”所叙述的正是下列勾和股互乘的运算：

在此的实，即矩ab 的面积，如图二十二所示为弦图和左图中的直角三角形两两合并成矩形的实。底本误“互”为“自”可能出现于甄鸾注《周髀算经》之后、李淳风等作注之前。分析甄鸾注释中3、4、5特例数字的核对，发现甄鸾核对的数学关系 来自公式（1-2-28）。核对此数学关系之后，甄鸾接着用公式（1-2-25）和（1-2-26）核对赵爽求两个通解根的推导［参见注〔22〕中公式（1-2-30）和（1-2-31）］。虽然特例核对所得数字的符合并不证实其核对数理关系的正确性，但是这段核对至少证实甄鸾当时所见的是勾股“互乘为其实”即公式（1-2-28）而不是勾股“自乘为其实”。李淳风等对甄鸾这段核对作出批评，认为甄鸾用的数学关系［即公式（1-2-28）］是错误的，然而李淳风等所提供的数学关系与赵爽的叙述有多处不相符合。由此可见，在李淳风时代，误“互”为“自”的错误可能已出现。虽然李俨等接收了李淳风等对赵爽勾股论的注解，但是钱宝琮提出不同的看法。他认为：“依文义，‘四实以减之’之前应有‘令合自乘’四字。但甄鸾注未引，疑非原本所有，故不校补。”

〔21〕减广于合为袤：赵爽采用“广”和“袤”表达所求长方形的“宽”和“长”两边。在此“广”和“袤”相应的为所知实ab 的勾a 和股b 。减广于合为袤：底本等误作“减广于弦”，今据文意改。

〔22〕四实以减之，开其余，所得为差。以差减合，半其余为广。减广于合为袤，即所求也：以四倍ab 为减数，重新整理实ab 公式（1-2-28）得：

（b -a ）2 =（b +a ）2 -4ab

开其余，所得为差：

以差（b -a ）减合（b +a ）半其余为广：

减广a 于合（b +a ）为袤：

即是所求。公式（1-2-30）和公式（1-2-31）是通解二次开方式的两个根。现依照以上赵爽设从法推导方程的方法，作图二十三。此图是由图二十二设b +a 为从法，ab 为实而得。如图二十三所示，若设勾a 为x ，二次开方式可用现代数学式书写为一元二次方程如下：

此公式的两个根，一为公式（1-2-30）的a i 根，另一为公式（1-2-31）的b i 根。带从法（带从平方式）的推导即现代所谓的一元二次方程的推导。值得注意的是，赵爽在公元三世纪利用几何面积关系建立了一般性一元二次方程。为保持推导步骤的普遍性，赵爽的整个推导是以数学名词叙述，故他的一元二次方程和通解此方程的两个根，也可表述如下：

设b i +a i =-β/α和a i b i =γ/α，由赵爽一元二次方程［见公式（1-2-32）］可得

α x 2 +β x +γ=0，（1-2-33）

同时由赵爽两个根［见公式（1-2-30）和公式（1-2-31）］可得

这正是一元二次方程的通解，即通常称为韦达（Vieta）公式的两个根。故赵爽在公元三世纪所作的分解方程求通解根的推导，是一个开拓性的发展和超时代的成就。韦达（Franciscus Vieta，1540—1603）：法国数学家。引进系统的代数符号，并对方程论作了改进。

〔23〕规矩：作圆的规和作方的工具矩，在此指互相转换的圆和方。

〔24〕其裁制万物，唯所为之也：此系赵爽引商高语，参见上文（二）用矩之道。

【译文】

勾、股分别自乘，加在一起，等于弦方的面积；将其开方，即得弦长。按照弦图，又可以勾和股相乘为二个朱色三角形面积，加倍得弦方四角的四个朱色三角形面积。同时勾股差的平方，等于弦方中间黄色方块的面积。所以四个朱色三角形面积加上勾股差平方的面积，也得成弦方的面积。

以弦的平方减去勾股差的平方，再以二除之，得常数项；以勾股差为开平方式所带的从法（即一元二次方程的一次项系数），解此开平方式，又得勾。加勾股差于勾，即得股。每当勾的平方加股的平方都等于弦的平方，这是一般性的数理关系，不论其图的结构是矩于内或方于外。这是因为在推导中，当由一面积组合转变到另一面积组合，虽然各形象变化可有多种多样，但是其合并形象的量度始终均等；虽然各面积尺寸可有大小不同，但是其合并面积的总和始终一样。

“勾实之矩”是以股弦差为宽，股弦并为长，勾平方为面积的一个直角矩，而在直角矩之内是一个股方。因此，以弦方的面积中减去矩形勾的面积，开方即得股。如果以股的两倍为二次开方式所带的从法（即一元二次方程的一次项系数），以勾的平方为常数，那么解此方程，即得股弦差，加上股得弦。以勾的平方除以股弦差得股弦和。以勾的平方除以股弦和，亦得股弦差。令股弦和自乘，加勾的平方为被除数，以二倍的股弦和为除数，相除亦得弦。令股弦和自乘，减去勾的平方为被除数，以二倍的股弦和为除数，相除得股。

“股实之矩”是以勾弦差为宽，勾弦并为长，股平方为面积的一个直角矩，而在直角矩之内是一个勾方。因此，以弦方的面积中减去矩形股的面积，开方即得勾。如果以勾的两倍为二次开方式所带的从法（即一元二次方程的一次项系数），以股的平方为常数，那么解此方程，即得勾弦差，加上勾得弦。以股的平方除以勾弦差，得勾弦和。以股的平方除以勾弦和，亦得勾弦差。令勾弦和自乘，加股的平方为被除数，以二倍的勾弦和为除数，相除亦得弦。令勾弦和自乘，减去股的平方为被除数，以二倍的勾弦和为除数，相除得勾。

勾弦差和股弦差相乘，加倍，开方，所得加上股弦差，等于勾；所得加上勾弦差，等于股；所得加上勾弦差和股弦差，等于弦。加倍弦平方，辨析其中勾股差的平方，可考察其面积关系，以图分析：以倍弦平方填满外大方，多出一个黄色方块的面积。此黄色方块的面积，即勾股差的平方。以二倍的弦平方减去勾股差的平方，然后开方，得外大方和其边，其边即勾股之和。以二倍的弦平方减去勾股和的平方，开方，得中间黄色方块的边长。黄色方块的边长即勾股差。以勾股和减去勾股差，除以二得勾，以勾股和加上勾股差，除以二得股。其倍弦等于弦宽差加弦宽和或弦长差加弦长和。互乘以上所见的勾和股得勾股矩之面积，减四倍勾股矩之面积于外大方之面积，开方，得勾股差。以勾股和减去勾股差，其余数除以二，所得为宽。减宽于长宽之和得长。这就是解二次开方式所求得的两个通解根。观察规和矩两者功能交连的关系，同时反复分析其圆和方的数理相通的关系，都有所得。既然［规和矩的功能，圆和方的数理］，能统领群伦，统率众理，探幽入微，深入广远，所以可说：“其裁制万物，唯所为之也”。