周髀算经卷上（二）

乙〔1〕 　陈子篇：周髀数学天文

一、荣方问陈子

（一）通类思维

昔者荣方〔2〕 问于陈子〔3〕 ，荣方、陈子是周公之后人，非《周髀》之本文，然此二人共相解释，后之学者谓为章句 〔4〕 ，因从其类，列于事下。又欲尊而远之，故云“昔者”。时世、官号未之前闻。 曰：“今者窃闻夫子〔5〕 之道，荣方闻 〔6〕 陈子能述商高之旨，明周公之道。 知日之高大〔7〕 ，日去地与圆径之术。 光之所照〔8〕 ，日旁照之所及也。 一日所行〔9〕 ，日行天之度也。 远近之数〔10〕 ，冬至、夏至去人之远近也。 人所望见〔11〕 ，人目之所极也。 四极之穷〔12〕 ，日光之所远也。 列星之宿〔13〕 ，二十八宿之度 〔14〕 也。 天地之广袤〔15〕 。袤，长也。东西、南北谓之广、长。 夫子之道，皆能知之。其信〔16〕 有之乎？”而明察之，故不昧不疑。 陈子曰：“然。”言可知也。 荣方曰：“方虽不省〔17〕 ，愿夫子幸〔18〕 而说之。欲以不省之情，而观大雅之法。 今若方者，可教此道邪？”不能自料，访之贤者。 陈子曰：“然。言可教也。 此皆算术〔19〕 之所及，言《周髀》之法，出于算术之妙也。 子之于算，足以知此矣，若诚〔20〕 累〔21〕 思之。”累，重也。言若诚能重累思之，则达至微之理。

于是荣方归而思之，数日不能得。虽潜心驰思，而才单智竭 〔22〕 。复见陈子，曰：“方思之不能得，敢请问之？”陈子曰：“思之未熟〔23〕 。熟，犹善也。 此亦望远起高之术〔24〕 ，而子不能得，则子之于数〔25〕 ，未能通类〔26〕 ，定高远者立两表，望悬邈者施累矩 〔27〕 。言未能通类求勾股之意。 是智有所不及，而神有所穷。言不能通类，是情智有所不及，而神思有所穷滞。 夫道术，言约而用博者，智类〔28〕 之明。夫道术，圣人之所以极深而研几。唯深也，故能通天下之志。唯几也，故能成天下之务 〔29〕 。是以其言约，其旨远，故曰“智类之明”也。 问一类而以万事达者，谓之知道。引而伸之，触类而长之，天下之能事毕矣 〔30〕 ，故“谓之知道”也。 今子所学，欲知天地之数。 算数之术，是用智矣，而尚有所难，是子之智类单〔31〕 。算术所包，尚以为难，是子智类单尽。 夫道术所以难通者，既学矣，患其不博。不能广博。 既博矣，患其不习。不能究习。 既习矣，患其不能知。〔32〕 不能知类。 故同术相学，术教同者，则当学通类之意。 同事相观〔33〕 ，事类同者，观其旨趣之类。 此列〔34〕 士之遇〔35〕 智，列，犹别也。言视其术，鉴其学，则遇智者别矣。 贤不肖〔36〕 之所分。贤者达于事物之理，不肖者暗于照察之情 〔37〕 。至于役神驰思，聪明殊别矣。 是故，能类以合类〔38〕 ，此贤者业〔39〕 精习〔40〕 ，智之质也。学其伦类，观其指归，唯贤智精习者能之也。 夫学同业而不能入神〔41〕 者，此不肖无智而业不能精习。俱学道术，明智不察，不能以类合类而长之，此心游日荡，义不入神也。 是故，算不能精习。吾岂以道隐子哉？固复熟思之。”凡教之道，不愤不启，不悱不发 〔42〕 。愤之悱之，然后启发。既不精思，又不学习，故言吾无隐也。尔“固复熟思之”。举一隅使反之以三也。

荣方复归，思之数日不能得。复见陈子，曰：“方思之以精熟矣。智有所不及，而神有所穷。知不能得，愿终请说之。”自知不敏，避席 〔43〕 而请说之。 陈子曰：“复坐，吾语汝。”于是荣方复坐而请。

【注释】

〔1〕“陈子篇：周髀数学天文”和“一、荣方问陈子”及“（一）通类思维”、“（二）测影探日行”、“（三）天地模型数据分析”等标题为笔者所加。

〔2〕荣方：年代、生平不详。赵爽认为：“荣方、陈子是周公之后人，非《周髀》之本文。……时世、官号未之前闻。”西周成王时有个卿士受封于荣邑（今河南巩县一带），被称为“荣伯”，其子孙便以封国为姓。荣方是否可能是这一支荣姓之后人，待考。

〔3〕陈子：姓陈的天文数学家，年代、生平不详。可能活动在战国初期，被尊称为“子”。参见本书《后记》。唐《开元占经》卷五引《石氏星经》说：“石氏曰：日光旁照十六万七千里，径三十三万四千里，周一百万二千里。晖径千里，周三千里。”（原文有刊误，校正参见能田忠亮《周髀算经の研究》第35页及陈遵妫《中国天文学史》（上）第85页。）石申（活动于公元前四世纪）：战国时魏人，天文学家。作《天文》八卷，西汉后被称作《石氏星经》，现已失传。部分内容因唐《开元占经》多处引用而得以流传。石申引用了陈子宇宙模型中的一个特殊概念——光照半径，说明公元前四世纪的石申时代是《陈子篇》所载数学、天文学成就产生的下限。

〔4〕章句：汉代注家以分章析句来解说古书意义的一种著作体。

〔5〕夫子：古时对男子的敬称。有时称大夫为夫子，孔子曾为鲁国大夫，故孔门弟子亦称孔子为夫子。后用作学生对老师的尊称。

〔6〕闻：底本作“问”，据钱校本改。

〔7〕日之高大：太阳的高低大小。

〔8〕光之所照：日光所照的范围。

〔9〕一日所行：在天空中，太阳一天所［视］行的路程。

〔10〕远近之数：不同时节太阳离地的最大和最小距离。

〔11〕人所望见：人的眼睛所能望见的极限范围。

〔12〕四极之穷：四方极远处，宇宙极远处。

〔13〕列星之宿：星宿在天上的分布。

〔14〕二十八宿之度：二十八宿距星分布的度数。距星：古代天文家为了观测天象及天体在天空中的［视］运行，将赤道或黄道附近的天区划分成二十八个区域，称为二十八宿；并从每宿中选一比较近赤道和显著的恒星为距星作为观测的标志。参见《周髀天文篇·三》注释〔1〕。恒星：由炽热的气体组成，能自己发光的天体。

〔15〕广袤：广远。古时东西为广，南北为长。袤：长。

〔16〕信：确实。

〔17〕不省：不能敏悟，愚钝。省：知觉，醒悟。

〔18〕幸：希冀。

〔19〕算术：底本原作“筭术”。《说文解字·竹部》曰：“筭，长六寸，计历数者。从竹，从弄，言常弄乃不误也。”又曰：“算，数也。从竹，从具，读若筭。”筭、算两字，后世通用。称筭术为计历数者，即计历数之术，只是《说文解字》为筭术释义所举之一例。中国古代所有计算（包括历算）全用筭筹。因此计算中的数字全是用算筹位值数字表达，如宋代代数全用筭筹推算；字符组合数字仅仅用于书写和记录。直到算盘出现后，才筹算、珠算并用。故筭术与后世算术的含义并不完全相同。

〔20〕若诚：如果。

〔21〕累：反复。

〔22〕才单智竭：才智竭尽。单：通“殚”，尽。

〔23〕熟：深入思考。

〔24〕望远起高之术：用两表竿测望高、远的技术。

〔25〕则子之于数：“子之于数”前，底本有一空格，今据胡刻本补“则”字。

〔26〕通类：触类旁通。

〔27〕累矩：两矩。

〔28〕智类：从纷繁复杂的现象中提纲挈领的才智。

〔29〕圣人之所以极深而研几。唯深也，故能通天下之志。唯几也，故能成天下之务：（道术是）圣人赖以深入钻研而掌握关键的本领。唯因深入钻研，所以能通晓天下之志记。唯有掌握关键，所以能达成天下之要务。此数句引自《易·系辞上》。

〔30〕引而伸之，触类而长之，天下之能事毕矣：就事引申，触类旁通，那么天下所能做的事都包括了。此三句赵爽引自《易·系辞上》。

〔31〕单：通“殚”，尽，贫乏不够用。

〔32〕夫道术所以难通者，既学矣，患其不博。既博矣，患其不习。既习矣，患其不能知：《大戴礼记·曾子立事》曰：“君子既学之，患其不博也。既博之，患其不习也。既习之，患其无知也。既知之，患其不能行也。既能行之，贵其能让也。君子之学，致此五者而已矣。”陈子和曾子此言显然同源。曾子（前505—前436）：名参，鲁国人，孔子的弟子。

〔33〕同术相学，同事相观：有共性的学术问题，类似的事件，应放在一起观察研究，找出共同规律。陈子教导荣方的“同术相学，同事相观”的理论也是建立在通类思维的基础上。

〔34〕列：区别。赵爽注：“列，犹别也。”

〔35〕遇：通“愚”。胡刻本、戴校本作“愚”。

〔36〕贤：此指明辨事物深层之理的人；不肖：此指认识浅薄的人。

〔37〕暗于照察之情：对明显的事情仍不明白。暗于：昏昧，不明白。

〔38〕类以合类：把属性相类似的归为一类。

〔39〕业：术业。

〔40〕精习：研习精通。

〔41〕入神：进入专心致志、役神驰思、自由神游的精神境界而洞察其内在联系。

〔42〕不愤不启，不悱不发：《论语·述而》：“不愤不启，不悱不发。”朱熹注：“愤者，心求通而未得之意；悱者，口欲言而未能之貌。”愤悱：指心中蕴积的思虑。

〔43〕避席：离座起立，表示敬意。

【译文】

从前，荣方向陈子请教，荣方、陈子是周公以后的人，［此对话］非《周髀》的原文，然而此二人配合解释，后世的学者称为章句，分类缘起，随后一一解说。又想推尊为早期的文献，所以说“从前”。二人的时代、官号以前没听说过。 说：“我听说您的道，荣方听说陈子能讲述商高数学的要旨，明晓周公之道。 能知道太阳的高低和大小，太阳离地距离与太阳直径的算法。 日光所照的范围，日光旁照所到达之处。 太阳一天所［视］行之数，太阳一天所行的度数。 太阳离我们的最大和最小距离，冬至、夏至离人的远近距离。 人的眼睛所能望见的范围，人的眼睛所能望见的最大范围。 四方的极限，太阳的光照极限。 “星宿”在天上的分布，二十八宿的分布度数。 天地的长度和宽度。袤：就是长。东西叫做长，南北叫做广。 根据您的道术都能知晓。这是真的吗？”因为明察，所以不愚昧无知而怀疑。 陈子说：“对。”说是可知的。 荣方说：“我虽然不聪明，仍然多么希望听到您的解说。想用不聪明的情理为由，争取获得深奥学术的解说。 像我这样的资质可以受教而学得此道吗？”自己不能判断，向贤者请教。 陈子说：“可以的，说可以教。 这些［知识］都可应用数学推算求得。说《周髀》的方法，出于算术的妙用。 以你的算术能力，足以理解此道了。如果你能反复思考、分析推理的话。”累，是反复之意。说假如能反复思考、分析推理的话，就能明白深刻精妙的道理。

于是荣方回家仔细思考，思考数日不得要领。虽然潜心思考、心神向往，然而才智竭尽。 他又见陈子说：“我仔细思考之后仍未能得到要领，我能斗胆请示进一步的指教吗？”陈子说：“这是因为你的思考尚未深入成熟。熟，够好。 这类问题需要测量高远的推算技能，而你不能领悟到这关系，这说明你［在数学方面］未能触类旁通。测定高远目标的问题要树立两表，测望远距离悬空目标的问题要应用两矩。意思是讲荣方未能触类旁通地应用勾股术求解。 其原因是你尚未掌握推理的智慧，你的理解尚初浅有限。说不能触类旁通，是尚未掌握根据情况推理的智慧，而理解尚初浅呆板。 道术用言简约，能广泛应用者，需要具有分析明辨其原理的才华。道术是圣人赖以深入钻研而掌握关键的本领。唯因深入钻研，所以能通晓天下之志记。唯有掌握关键，所以能达成天下之要务。因此其用言简约，旨趣高远，所以说“分析明辨其原理的才华”。 求得一原理而能分析出多方面的应用，才是所谓的知道。就事引申，触类旁通，那么天下所能做的事都包括了，所以说“谓之知道”。 如今你所要学习的，要知道天地间的数学关系。 是算数原理和方法，在应用上需要培养分析相联关系的才智。然而你仍有困难，显示你的分析思考的才智极为有限。算术所包含的，尚且感到为难，显示你的才智竭尽。 道术之所以难以精通，是因为开始学了恐怕知识面不广博，知识面不能广博。 知识面广博了恐怕不研习，不能深入研习。 深入研习了恐怕仍不能知。不能参悟。 所以有共性的学术问题，应放在一起研究，对有共性的学术问题，应当学会触类旁通。 类似的事件，应放在一起观察，找出共同规律。对类似的事件，应观察、找出共同规律。 这正是明智之士与愚昧者的区别，列，释为别。谓观察其学术，即可区分愚笨与智者。 贤者与不肖者的分别所在。贤者明辨事物深层之理，不肖者对明显的事情仍不明白。至于专心致志深入思考，聪明与否大可讲究。 智慧的实质在于能从纷繁复杂的不同事物中分析出使其共同和相关的原理，这是有才能的士子学习中行之有效的特质。学习类似之物，能看到它们的宗旨所在，只有贤智之士又善于学习者能做到。 凡是学习相同而不能专心入神到达这种境界，［归根结底］都是因为不能精通“同术相学，同事相观”的原理。一起学道术，有的明智，有的不察，不能从纷繁复杂的不同事物中分析出共性而发展，这是不能专心入神到达这种境界。 因此，也不能研习精通应用数学。难道是我把道术隐瞒了你不成！你还是回去再深思细考。”大凡教学的方法，不打开心中蕴积的思虑，就不能启发潜能。打开心中蕴积的思虑，然后启发潜能。你既不精于思考，又不精于学习，所以说我没有隐瞒什么。你“还是回去再深思细考”。这就是举一而反三。

荣方又回家思考了好几天仍不能得到应用数学的要领。他又去见陈子，说：“我思考很久可以说已尽我所能了，可是我推理不及，理解有限。明白靠我自己苦思是到达不了目的的，还是请你开导我吧。”自知不聪敏，离座起立，恳请开导。 陈子说：“回到你的坐位，我告诉你。”于是荣方回来坐下，等候陈子的解说。

（二）测影探日行

陈子说之曰：“夏至南万六千里，冬至南十三万五千里，日中立竿无〔1〕 影，此一者，天道之数〔2〕 。言天道数一，悉以如此。 周髀〔3〕 长八尺，夏至之日晷一尺六寸。晷，影也。此数望之从周城之南千里也，而《周官》测影，尺有五寸 〔4〕 ，盖出周城南千里也。《记》云：“神州之土方五千里。 ”〔5〕 虽差一寸，不出畿地 〔6〕 之分、失四和之实 〔7〕 ，故建王国。 髀者，股也〔8〕 。正晷〔9〕 者，勾也。以髀为股，以影为勾，勾股定 〔10〕 ，然后可以度日之高远。正晷者，日中之时节也。 正南千里勾一尺五寸，正北千里勾一尺七寸〔11〕 。候其影，使表相去二千里，影差二寸。将求日之高远，故先见其表影之率。 日益表南，晷日益长。候勾六尺〔12〕 ，候其影使长六尺者，欲令勾股相应，勾三、股四、弦五；勾六、股八、弦十。 即取竹空〔13〕 ，径一寸，长八尺，捕〔14〕 影而视之，空正掩〔15〕 日，以径寸之空视日之影，髀长则大，矩短则小，正满八尺也。捕，犹索也。掩，犹覆也。 而日应空之孔〔16〕 。掩若重规。更言八尺者，举其定也。又曰近则大，远则小，以影六尺为正。 由此观之，率八十寸而得径一寸〔17〕 。以此为日髀之率 〔18〕 。故以勾为首，以髀为股〔19〕 。首，犹始也。股，犹末也。勾能制物之率，股能制勾之正。欲以为总见之数，立精理之本。明可以周万事，智可以达无方。所谓“智出于勾，勾出于矩”也。 从髀至日下六万里，而髀无影〔20〕 。从此以上至日，则八万里〔21〕 。若求邪至日者，以日下为勾，日高为股。勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。从髀所旁至日所十万里〔22〕 。旁，此古邪字。求其数之术曰：以表南至日下六万里为勾，以日高八万里为股，为之求弦：勾、股各自乘，并而开方除之，即邪至日之所也。 以率率之，八十里得径一里，十万里得径千二百五十里。法当以空径为勾率，竹长为股率，日去人为大股，大股之勾即日径也。其术以勾率乘大股，股率而一。此以八十里为法，十万里为实。实如法而一，即得日径。 故曰：日径千二百五十里〔23〕 。法曰〔24〕 ：周髀长八尺，勾之损益寸千里〔25〕 。勾谓影也。言悬天之影，薄地之仪，皆千里而差一寸。 故曰：极者，天广袤也〔26〕 。言极之远近有定，则天广长可知。 今立表高八尺以望极〔27〕 ，其勾一丈三寸。由此观之，则从周〔28〕 北十万三千里而至极下〔29〕 。”谓冬至日加卯、酉之时，若春、秋分之夜半，极南两旁与天中齐，故以为周去天中之数。

荣方曰：“周髀者何？”

陈子曰：“古时天子治周，古时天子谓周成王 〔30〕 ，时以治周，居王城，故曰： ‘昔先王之经邑，奄观九隩，靡地不营。土圭测影，不缩不盈，当风雨之所交，然后可以建王城。 ’此之谓也。 此数望之从周，故曰周髀。言周都河南，为四方之中，故以为望主也。 髀者，表也。”因其行事，故曰髀。由此捕望，故曰表。影为勾，故曰勾股也。

【注释】

〔1〕无：底本、胡刻本、戴校本作“测”，据钱校本改。

〔2〕此一者，天道之数：这些数据的一个特质是可用来推导天体［视］运行的数理。

〔3〕周髀：周地之表，当时用来测日影的表竿，高8尺。日影亦称晷影。

〔4〕《周官》测影，尺有五寸：《周礼·考工记·玉人》曰：“土圭尺有五寸。”五：底本、胡刻本作“六”，据戴校本改。《周官》：即《周礼》，十三经之一。作于战国，佚名。

〔5〕《记》云：“神州之土方五千里。”：《记》载：“全国的土地东西、南北长宽各五千里。”《记》：待考。

〔6〕畿地：以古代王都所在处为中心的千里地面。

〔7〕失四和之实：底本作“先四和之实”，今从孙诒让说改。

〔8〕髀者，股也：人的股骨或胫骨叫做“髀”。用表测影是由最初的立人测影发展而来，人长8尺，表高也8尺。图二十四是1965年江苏仪征石碑村东汉墓出土的一个袖珍铜圭表。

〔9〕正晷：日中时的晷影。晷影测量是周髀家测量日（视）运行的主要方法，由晷影测量也可以算出当时的黄赤交角和观测地的纬度（陈遵妫《中国天文学史》有通俗的说明）。图二十五说明晷影测量的圆形坐标与天体的关系。（此图系据能田忠亮《周髀算经の研究》第27页插图改绘。）

图二十五中GO 为八尺之表，GA 为夏至日中的晷影，GB 为冬至日中的晷影，圆O 为天球上观测地点的子午圈，Z 为天顶，S 1 为夏至日中的太阳位置，S 2 为冬至日中的太阳位置，P 为天球北极，N 为地平面上的北点，EE′ 为天球赤道，φ 为地方纬度（φ =∠PON =∠EOZ ，北极出地），ε 为黄赤交角（ε =∠S 1 OE =∠S 2 OE ，黄赤大距），ζ 1 为夏至日中太阳天顶距（ζ 1 =∠S 1 OZ ），ζ 2 为冬至日中太阳天顶距（ζ 2 =∠S 2 OZ ）。

〔10〕勾股定：底本、胡刻本脱“勾”字，据孙诒让说补。

〔11〕正南千里勾一尺五寸，正北千里勾一尺七寸：离周观测地正南千里髀影长15寸，离周观测地正北千里髀影长17寸。东周都城是洛阳，但当年长时期内进行天文观测的周公测景台在阳城（今河南省登封县告成镇）。故周观测点（地中）可能是洛阳或阳城。图二十六展示陈子在此叙述的两个测量：（χ 1 ，λ 1 ）=（χ 0 -1 000里，15寸）和（χ 2 ，λ 2 ）=（χ 0 -1 000里，17寸）与在周观测地夏至的测量（χ 0 ，λ 0 ）=（χ 0 ，16寸）之间的关系。图中H 0 为太阳的垂直高度，h 为髀高，χ 1 ，χ 0 ，χ 2 为各表至日下无影处的距离；λ 1 ，λ 0 ，λ 2 为各测点夏至日中午时的日影长度。这三个测量的影长均来自同一位置的太阳。地中：古人所谓平面大地的中心。

〔12〕候勾六尺：等到一天在周测量处南北方向晷影长6尺之时。勾：直角三角形的勾边，即晷影。

〔13〕竹空：望筒的古称。

〔14〕捕：搜捕。

〔15〕掩：覆盖。

〔16〕日应空之孔：太阳的外缘恰好填满竹管的圆孔。这是陈子“竹空测日”的关键条件。如图二十七所示，在“空正掩日”和“日应空之孔”的条件下，△ABO 与△CDO 形成相似三角形。因此竹空内径d 与竹空长度t 和太阳直径d s 与观测者到太阳的距离R s 成正比：d s /R s =d/t 。陈子说：“径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩日，而日应空之孔。”意谓：“当望筒之径是一寸，长是八尺，从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的圆孔。”因此：

〔17〕率八十寸而得径一寸：竹空长与竹空径相比之率是每80寸长得径一寸。如注〔16〕和图二十七所述示，率的数据 显然是陈子从实验中得出的。这数据的正确度可用此数求得的太阳角直径θ估计。由图二十七得：

所以

θ =2γ =2（21′31″）=43′02″。（2-1-2）

这比太阳平均角直径的实际值θ =31′51″大34%，不过在当时已很精确。古希腊的阿里斯塔克研讨太阳距离与大小时，采用的太阳角直径是2°。到阿基米德才用类似的方法测得太阳角直径在0.45°（即27′）到0.55°（即33′）之间。（参阅程贞一、席泽宗《陈子模型和早期对于太阳的测量》，第367—383页。）陈子“竹空测日”旨在求太阳直径，而非太阳角直径。利用日直径d s =（d/t ）R s 的公式，得 。求日直径d s ，陈子还须求太阳斜高距R s 。图二十八中的H 0 是日高，h 是髀高，χ B 是由表至日下的水平距离，λB 是髀的影长，R s 是由观测者到太阳的距离。因“竹空测日”时髀影是6尺，故λ B =60寸。由此可见在求太阳斜高距离R s 之前，陈子还得先求得日高H 0 和水平距离χ B 。阿里斯塔克（Aristarchus，约公元前320—前250）：古希腊天文学家、数学家。他研究过太阳和月球的体积以及到地球的距离等问题，并首倡日心说。阿基米德（Archimedes，约公元前287—前212）：古希腊哲学家、数学家、物理学家。他研究曲面和曲线，发展了“逼近法”。著有《论球和圆柱》、《论螺线》、《沙的计算》、《论图形的平衡》、《论浮体》和《论杠杆》等。

〔18〕日髀之率：人至太阳距离与太阳直径的比率。

〔19〕以勾为首，以髀为股：由晷影λ B 为勾开始，以髀高h 为股（参见图二十八）。赵爽注：“首，犹始也。”根据商高“偃矩以望高”的方法由图二十八可得求高公式：

已知表高h =80寸，影长λ B =60寸，如果知道太阳水平距离χ B ，就可以由（2-1-3）式算得太阳垂高距离H 0 。但是太阳水平距离χ B 是个未知数，陈子必须用创新的方法来测算χ B 。根据陈子所提供日高图中的两个直角三角形（参见图四十）得知陈子测算日高的方法是二望测高法。利用二望测高的方法，陈子创建了后来所谓的重差术。依照日高图所示［参见《陈子篇》二“日高图”和赵爽附录（二）］，陈子推导得成陈子重差求高公式：

比较此重差求高公式和商高求高公式（2-1-3）得陈子重差公式：

公式（2-1-5）说明从一个测量获得距离和影长比值χ 0 /λ 0 与从两个测量获得距差和影差比值Δ χ /Δ λ［即（χ2 -χ1 ）/（λ2 -λ1 ）］的相等关系。此公式也是重差术的基础。重差术：刘徽《海岛算经》中继承和发展的二望测高法。

〔20〕从髀至日下六万里，而髀无影：从髀到日下髀无影之点的距离是60 000里。这就是图二十八中由髀到太阳下的水平距离χ B 。此距离是以重差公式求得。利用了夏至和冬至二组测量数据（χ S ，λ S ）=（16 000里，16寸）和（χ W ，λ W ）=（135 000里，135寸），陈子用重差公式（2-1-5）得：

〔21〕从此以上至日，则八万里：从日下髀无影之点直上到日是80 000里。这就是图二十八中的日高H 0 。将χ B 代入日高公式（2-1-4），即得

〔22〕若求邪至日者，以日下为勾，日高为股。勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日，从髀所旁至日所十万里：若求太阳斜高距离R s （见图二十八），以日下水平距离χ B 加髀影长λ B 为勾，以日高H 0 为股，然后勾股各自乘，并而开方除之，即得太阳斜高距离R s ：

将χ B +λ B ≅60 000里和H 0 ≅80 000里代入斜高公式（2-1-8）得：

值得注意的是，虽然测量两髀之距差（χ 2 -χ 1 ）在理论上要比测量由髀到太阳下的水平距离容易，但是在实行上有其困难。正如陈子日高图所示，这两个不同髀距离的测量需要同时进行，以保持太阳的位置不变。在古代的条件下，这是难以实施的。为了解决此难题，陈子采用“天地相应假设”——用同一测量位置、不同时间的测量来代替不同测量位置、同一时间的测量（参见图二十九）。譬如，在推算λ B =60寸时的太阳水平距离χ B 时，陈子同时采用了夏至（χ S ，λ S ）=（16 000里，16寸）和冬至（χ W ，λW ）=（135 000里，135寸）的两组测量数据［见公式（2-1-6）—（2-1-9）］。旁至日：即邪至日，测点至太阳的斜高距离。“旁”据赵爽注：“此古邪字。”天地相应假设：陈子假设太阳的运行限制于与地上测量处水平面平行的平面上，天地之间有一一相对的“天地相应关系”，即太阳在天空南北的［视］平移相应周髀在地上的南北的迁移设置。在其模型框架内，这一关系确实存在。图二十九上半部是三地的同时测量，与图二十六相同，下半部是同一地点的不同时间的三次测量，两种不同的测量方法都可以推出同样的陈子重差公式（2-1-5）［参阅程贞一《中华早期自然科学之再研讨》（英文），第113—187页，图35］。在陈子时代，要在相距甚远的地方作同时测量甚难实施。由此平行面假设，陈子避免了同时测量的难题，简化了分析太阳视运行的测算，并且能有系统的把有关太阳视运行的一些现象作出解释。可是受到平行面假设的局限，陈子数学模型的数据存在较大误差，尤其是以现代的数据和理论来考量。然而，陈子创造性地模式探索分析，在那时却是一个超时代的成就。

〔23〕日径千二百五十里：底本、胡刻本、戴校本作“日晷径千二百五十里”，“晷”是衍文，据钱校本删。

由注〔16〕的公式（2-1-1）， ，“以率（比率）率（计算）之”，可推得太阳直径：

陈子所得的太阳线直径失之太小，其误差主要来自推算的太阳水平距离χ B ，而非来自测量数据1/80比率。陈子的竹空测日和晷影测量，以及数学分析方法，在他生活的时代是超前的。尤其是重差求高公式的推导，在当时首屈一指。问题出在天地相应（即平行面）的假设上。又，李淳风在此作一长篇注解，提出地斜面的观点来进行重差法太阳的测算。现将李淳风的注解以“李淳风附注（一）”为标题附于“荣方问陈子”（三）之后。

〔24〕法曰：叙述测算研究方法的导引之语。陈子用此导引叙述测算太阳运行的仪器和测算所得出的太阳运行的推算公式。

〔25〕勾之损益寸千里：这是一个以文字表达的代数公式，指南北方向距离每改变一千里表影增减一寸。勾：周髀之影（即表影），或观察视线之底。如用符号Δχ代表南北距离的改变，Δλ 代表表影的增减，这句话正是下列公式［见重差公式（2-1-5）］：

这就是前文陈子为测算日高所推导出来的陈子影差公式：

如下所示：

此公式是用夏至测量数据（χ s ，λ s ）=（16 000里，16寸）定重差公式中的重差比率而得。在此，陈子把这推导出来的公式正式列于“法曰”下。由这公式，陈子建立了日影的测量与太阳视运行之间的解析性的关系。值得一提的是，为推导这公式陈子采用了现今所谓的“平行面”天地模型（见图二十九），并用同一测量位置、不同时间的测量代替不同测量位置、同一时间的测量，从而系统地分析太阳视运行。这是一个非常有科学性的探讨，一个超时代的发展。但是因为平行面的假设与实际太阳运行误差太大，因此这公式与测量结果不符合。历代学者对陈子影差公式作过多种评论和猜测，但是极少是由陈子数学模型与实际太阳［视］运行之间关系的局限性来分析和评论这公式，多半是用测量数据来分析这公式的正确性，失之未抓住要点。李淳风在为《周髀算经》作注时列举各地影差不同，以为不宜“一等永定”。唐僧一行（683—727）、南宫说的天文大地测量，在当时黄河南岸平原区选择了滑州白马、汴州浚仪岳台、许州扶沟和豫州上蔡武津四个测量点，除日影长和北极高外，还测量了相邻两地间的距离。一行用实测数据推翻了“寸差千里”这一错误的说法，建立了北极高差与南北地面距离之间的比值：“三百五十一（唐小）里八十步而极差一度”，即北极高差1°地面相距157.8公里。（参阅闻人军、李磊《一行、南宫说天文大地测量新考》，1989。）

〔26〕极者，天广袤也：北极天中在北方遥远广阔的天空。在周髀宇宙模型中，假设太阳在一平面内环绕，环绕的中心是北极的天中。

〔27〕极：北极星。

〔28〕从周：指西周的王城（今河南洛阳）。

〔29〕北十万三千里而至极下：向北103 000里到北极星垂直下地。在“法曰”中陈子已叙述测算距离的方法，在此他举出测算从周地到北极星之下的距离为一特例。由望极测量（详见卷下《周髀天文篇·二》）陈子得勾103寸，根据陈子公式得：

故“北十万三千里而至极下”。

〔30〕周成王（前1055—前1021）：姬姓，名诵。西周第二任国王。其父武王死时，他尚年幼，由叔父周公旦摄政。周成王成人后，周公归政于他，而为了巩固统治，建了东都洛阳。

【译文】

陈子说：“夏至，太阳在离测量点南边一万六千里的天空上；冬至，太阳在离测量点南边十三万五千里的天空上；在正当中午时，竖立的表竿没有日影。这些数据的一个特质是可用来推导天体运行的数理。讲天体运行数据的一例，别的都是如此。 周髀高八尺，夏至日的晷影长一尺六寸。晷，表影。此数是从周城之南千里之处测望而得，而《周官》所载测影，影长一尺五寸，这是因为测点在周城之南一千里的缘故。《记》说：“神州的国土五千里见方。 ”虽影长差一寸，仍不出王都所在处的千里地面，实际上未失四方平衡，所以在此建立国都。 周髀，相当于直角三角形中的股边。日中时的晷影，相当于直角三角形中的勾边。以髀表为股，以表影为勾，勾股已定，然后可以测度太阳的高度和距离。正晷，日中时的晷影。 〔在同一时间，〕由观测点往正南一千里立表，勾（晷影）长一尺五寸；往正北一千里立表，勾（晷影）长一尺七寸。等候时机测影，使两表相离二千里，日影差二寸。将要求太阳的高度和距离，所以先表明表影与表距的比率。 太阳离表竿越往南，晷影就越长。等到晷影长六尺，等到晷影长六尺的目的，是要使勾、股比例相应于勾三、股四、弦五之值；即勾六、股八、弦十。 即取一支内径一寸、长八尺的空心竹筒，从筒中搜捕太阳的边缘观察。筒的内孔正好覆盖太阳，以内径一寸的空心竹筒观测太阳之影象，竹筒太长则太阳过大，竹筒太短则太阳过小，太阳充满竹筒内孔，筒长正好八尺。捕：搜索。掩：覆盖。 而太阳的外缘恰好填满竹管的圆孔。掩，好比两圆相迭。特别强调八尺，指明它是规定的。又说近则大，远则小，是以影长六尺为正勾。 由此可见，观测者至太阳的距离与太阳直径的比率等于筒长八十寸与内径一寸的比率。以此为人至太阳距离与太阳直径的比率。 所以从晷影为勾着手，以周髀为股。首：释为始。股：释为末。勾能确定计算的比率，股能以比率和正勾作计算。想要以通用的公式，建立精妙物理的根本。明智可以通晓万事万物，通达任何方面。这就是所谓“智出于勾，勾出于矩”。 可求得从周髀至日下髀无影处的距离是六万里，以及从日下髀无影处往上到太阳的距离为八万里。如求观测者至太阳的斜线距离，以观测者至日下髀无影处的距离为勾，太阳高度为股。勾、股分别自乘，其积相加后，再开方，就得到观测者至太阳的斜线距离。由此得知观测者至太阳的斜线距离是十万里。旁，这是邪的古字。求此数的方法说：从表向南至日下髀无影处的距离 ——六万里为勾，以髀无影处距日八万里的高度为股，从而求弦：勾、股各自平方，相加再开方，即观测者至太阳的斜线距离。 以前述比率推算，每八十里相对于直径一里，十万里相对于直径一千二百五十里。推算法应当以空径为勾率，竹长为股率，太阳离人距离为大股，大股的勾即太阳的直径。其算法以勾率乘以大股为被除数，除以股率。这是以八十为除数，十万里为被除数。相除，即得太阳的直径。 所以说：太阳直径是一千二百五十里。测算法：用八尺高周髀测量表影长度，则南北方向距离每改变一千里表影增减一寸。勾，指晷影。讲测天之晷，量地之仪，都是千里而影差一寸。 所以虽说北极天际遥远广阔，谓北极星到地面的距离确定，那么天的长宽也可知道了。 如立八尺高的表观测北极星，由观察视线之底测得103寸的勾，即可求得从周地到北极星垂直下的距离是103 000里。”说冬至日卯时和酉时，春、秋分的夜半也一样，北极星东西游，周地到北极星与到天中的距离相等，因此以它为周地距离天中之数。

荣方问：“周髀是什么？”

陈子答：“从前周天子治理天下，从前天子指周成王，当时为治理周，建王城而居，所以说： ‘从前先王建设城邑，遍观九州，无地不经营。土圭测影，不缩短不盈余，挡风雨交加，然后可以建王城。 ’指的就是这个。 此数学、天文学的原理，是以周代王城（今河南洛阳）为测望的基地，故称为周髀。说周建都河南，为四方之中央，因此以它为测望的基地。 髀，就是表竿的意思。”因其表现，所以叫髀。由此观望，所以称表。影为勾，所以称作勾股。

（三）天地模型数据分析

“日夏至南万六千里，日冬至南十三万五千里，日中无影〔1〕 。以此观之，从极〔2〕 南至夏至之日中〔3〕 十一万九千里，诸言极者，斥天之中。极去周十万三千里，亦谓极与天中齐时，更加南万六千里是也。 北至其夜半亦然。日极在极北正等也。 凡径二十三万八千里，并南北之数也。 此夏至日道〔4〕 之径也。其径者，圆中之直者也。 其周七十一万四千里〔5〕 。周，匝也。谓天戴日行 〔6〕 ，其数以三乘径。 从夏至之日中至冬至之日中〔7〕 十一万九千里，冬至日中去周十三万五千里，除夏至日中去周一万六千里是也。 北至极下亦然。则从极南至冬至之日中，二十三万八千里，从极北至其夜半亦然。凡径四十七万六千里，此冬至日道〔8〕 径也。其周百四十二万八千里。从春、秋分之日中〔9〕 ，北至极下十七万八千五百里。春秋之日影七尺五寸五分，加望极之勾一丈三寸。 从极下北至其夜半亦然。凡径三十五万七千里，周一百七万一千里。故曰：月之道常缘宿，日道亦与宿正〔10〕 。内衡之南，外衡之北，圆而成规，以为黄道 〔11〕 ，二十八宿列焉。月 〔12〕 之行也，一出一入，或表或里，五月二十三分月之二十一道一交 〔13〕 ，谓之合朔交会及月蚀相去之数，故曰“缘宿”也。日行黄道以宿为正，故曰“宿正”。于中衡 〔14〕 之数与黄道等。 南至夏至之日中，北至冬至之夜半；南至冬至之日中，北至夏至之夜半，亦径〔15〕 三十五万七千里，周一百七万一千里。”此皆黄道之数与中衡等。

“春分之日夜分〔16〕 以至秋分之日夜分，极下常有日光〔17〕 。春、秋分者昼夜等。春分至秋分日内近极，故日光照及也。 秋分之日夜分以至春分之日夜分，极下常无日光〔18〕 。秋分至春分日外远极，故日光照不及也。 故春、秋分之日夜分之时，日光所照适至极〔19〕 ，阴阳之分等也。冬至、夏至者，日道发敛〔20〕 之所生也，至昼夜长短之所极。发犹往也。 犹还也。极，终也。 春、秋分者，阴阳之修，昼夜之象〔21〕 。修，长也。言阴阳长短之等。 昼者阳，夜者阴，以明暗之差为阴阳之象。 春分以至秋分，昼之象。北极下见日光也。日永主物生，故象昼也。 秋分以至春分，夜之象。北极下不见日光也，日短主物死，故象夜也。 故春、秋分之日中，光之所照北极下，夜半日光之所照亦南至极。此日夜分之时也。故曰：日照四旁各十六万七千里〔22〕 。至极者，谓璇玑 〔23〕 之际为阳绝阴彰。以日夜分 〔24〕 之时而日光有所不逮，故知日旁照十六万七千里，不及天中一万一千五百里也。 人所望见，远近宜如日光所照〔25〕 。日近我一十六万七千里之内及我。我目见日，故为日出。日远我十六万七千里之外，日则不见我，我亦不见日，故为日入。是为日与目见于十六万七千里之中，故曰“远近宜如日光之所照”也。 从周所望见，北过极六万四千里，自此以 〔26〕 下，诸言减者，皆置日光之所照，若人目之所见十六万七千里以除之，此除极至周十万三千里。 南过冬至之日中〔27〕 三万二千里。除冬至日中去周十三万五千里。 夏至之日中光，南过冬至之日中光四万八千里，除冬至之日中相去十一万九千里。 南过人所望见万六千里，夏至日中去周万六千里。 北过周十五万一千里，除周夏至之日中一万六千里。 北过极四万八千里。除极去夏至之日十一万九千里。 冬至之夜半，日光南不至人所见七千里，倍日光所照里数，以减冬至日道径四十七万六千里，又除冬至日中去周十三万五千里。 不至极下七万一千里。从极至夜半除所照十六万七千里。 夏至之日中与夜半，日光九万六千里，过极相接〔28〕 。倍日光所照，以夏至日道径减之，余即相接之数。 冬至之日中与夜半，日光不相及〔29〕 十四万二千里，不至极下七万一千里。”倍日光所照，以减冬至日道径，余即不相及之数。半之，即各不至极下。

“夏至之日正东西望〔30〕 ，直周东西〔31〕 日下〔32〕 至周五万九千五百九十八里半。求之术，以夏至日道径二十三万八千里为弦，倍极去周十万三千里，得二十万六千里为股，为之求勾。以股自乘减弦自乘，其余开方除之，得勾一十一万九千一百九十七里有奇，半之各得东西 〔33〕 数。 冬至之日，正东西方不见日。正东西方者，周之卯酉。日在十六万七千里之外，故不见日。 以算求之〔34〕 ，日下至周二十一万四千五百五十七里半。求之术，以冬至日道径四十七万六千里为弦，倍极去周十万三千里，得二十万六千里为勾，为之求股。勾自乘，减弦之自乘，其余开方除之，得四十二万九千一百一十五里有奇，半之各得东西数。 凡此数者，日道之发敛〔35〕 ，凡此上周径之数者，日道往还之所至，昼夜长短之所极。 冬至、夏至，观律之数，听钟之音〔36〕 。观律数之生，听钟音之变，知寒暑之极，明代序之化也。 冬至昼，夏至夜，冬至昼夜日道径半之，得夏至昼夜日道径。法置冬至日道径四十七万六千里，半之得夏至日中去夏至夜半二十三万八千里，以四极之里也。 差数所及，日光所遝〔37〕 观之，以差数之所及，日光所遝 〔38〕 ，以此观之，则四极之穷也。 四极径八十一万里〔39〕 。从极南至冬至日中二十三万八千里，又日光所照十六万七千里，凡径四十万五千里，北至其夜半亦然。故曰“径八十一万里”。八十一者，阳数之终，日之所极。 周二百四十三万里。”三乘径即周。

“从周南至日照处三十万二千里，半径除周去极十万三千里。 周北至日照处五十万八千里，半径加周去极十万三千里。 东西各三十九万一千六百八十三里半〔40〕 。求之术，以径八十一万里为弦，倍去周十万三千里，得二十万六千里为勾，为之求股，得七十八万三千三百六十七里有奇，半之各得东西之数。 周在天中南十万三千里，故东西短中径二万六千六百三十二里有奇〔41〕 ，求短 〔42〕 中径二万六千六百三十二里有奇法：列八十一万里，以周东西七十八万三千三百六十七里有奇减之，余即短 〔43〕 中径之数。 周北五十万八千里。冬至日十三万五千里，冬至日道径四十七万六千里，周百四十二万八千里〔44〕 。日光四极，当周东西各三十九万一千六百八十三里有奇。”

【注释】

〔1〕日中无影：正午立表无晷影。

〔2〕极：指极下之地。底本等原脱此“极”字，钱校本依顾观光说补。图三十示意极下与观测点之间的距离关系。为行文简洁计，本译注的图例均以洛阳作为周地（观测点）。

〔3〕夏至之日中：夏至正午无晷影处。

〔4〕夏至日道：即内衡。详见《陈子篇》三“七衡图”。

〔5〕其周七十一万四千里：周长等于直径乘以圆周率3，所以得714 000里。

〔6〕天戴日行：天载日运行一周。底本作“夫戴日行”，据胡刻本、戴校本改。

〔7〕冬至之日中：冬至正午无晷影处。

〔8〕冬至日道：即外衡。详见《陈子篇》三“七衡图”。

〔9〕春、秋分之日中：春、秋分正午无晷影处。

〔10〕月之道常缘宿，日道亦与宿正：月球［视］运行的轨道沿着二十八宿穿行，太阳［视］运行的轨道也以二十八宿来标示。关于二十八宿的介绍，参见《周髀天文篇》三“二十八宿”。

〔11〕黄道：地球上的人看太阳于一年内在恒星间所运行的视路径，即地球的公转轨道平面与天球相交的大圆。月球绕地球运行的轨道平面与天球相交的大圆称为白道。

〔12〕月：底本、胡刻本作“日”，据戴校本、钱校本改。

〔13〕五月二十三分月之二十一道一交：每隔五又二十三分之二十个月白道与黄道交会一次。

〔14〕中衡：七衡图的中衡，春、秋分日道，详见《陈子篇》三“七衡图”。

〔15〕径：指七衡图中黄道的直径。详见《陈子篇》三“七衡图”。

〔16〕日夜分：昼夜之交。春、秋分时，昼夜应等长。但按陈子的七衡图和光照半径理论，春、秋分时白天长度只有黑夜的一半，无法解释昼夜等长的现象。

〔17〕极下常有日光：极下整天在光照半径内，一直有日光。

〔18〕极下常无日光：极下整天在光照半径外，一直无日光。

〔19〕极：在《周髀算经》盖天宇宙模型中，此“极”应指“极区”。

〔20〕发敛：往还。

〔21〕阴阳之修，昼夜之象：指春、秋分时，阴阳相平衡，昼夜长短相等。

〔22〕日照四旁各十六万七千里：日光照耀每个方向的最大距离都是167 000里。此一概念相当于光照半径是167 000里，在陈子模型中，这是一个特质性的概念。由于光照半径的引入，陈子模型大致上可解释昼夜现象及昼夜长短随着太阳轨道迁移的变化，同时也可以解释北极之下一年四季所见日光现象（详见程贞一、席泽宗《陈子模型和早期对于太阳的测量》）。对于光照半径数值（167 000里）的来源，学术界颇有分歧。有些主张光照半径从设定的宇宙直径810 000里推导而来（参阅钱宝琮《盖天说源流考》；程贞一、席泽宗《陈子模型和早期对于太阳的测量》；曲安京《〈周髀算经〉的盖天说：别无选择的宇宙结构》）。有些认为这是《周髀算经》宇宙模型中引入的一个公理（参阅江晓原《周髀算经——中国古代唯一的公理化尝试》）。有些以二至日出、春分落日或春分日出时太阳离周城的直线距离推算光照半径（参阅唐如川《对陈遵妫先生〈中国古代天文学简史〉中关于盖天说的几个问题的商榷》；陈文熙《平天说》；陈斌惠《〈周髀算经〉光程极限数值来由新探》）。陈子模型的光照半径只考虑到二维平面的情形，唐如川等按立体几何用三维推算太阳离周城的直线距离，与陈子模型不合。有学者指出“光照四旁167 000里，就是中衡半径减去旋机半径之数。光照到旋机（原文如此——笔者注）就算到了北极”（参阅李志超《戴震与周髀研究》）。光照半径的确定，一要能解释陈子模型的理论。陈子说：“故春、秋分之日夜分之时，日光所照适至极。”二要能印证“观律之数，听钟之音”。按“日光所照适至极”计算，在陈子宇宙模型中，如果“极”指“天心”，光照半径应取

如果“极”指“北极星”，光照半径应从178 500里减去北极星和天心的距离（即《周髀天文篇》二所称“璇玑”的半径）。璇玑的半径等于11 500里（参见《周髀天文篇》二），所以光照半径等于178 500里-11 500里=167 000里。如取光照半径=167 000里，在陈子模型中可推得“四极”直径等于81万里，与生律之数81正好相协。实际上陈子是倒过来推算，先取81万里为四极直径，再推得光照半径为167 000里。为了满足“日光所照适至极”，陈子将春秋分日道（中衡）半径（178 500里）减去光照半径（167 000里）得到“极区”（卷下《周髀天文篇》二中明确定义为“璇玑”）的半径（11 500里）以作修正。赵爽注：“至极者，谓璇玑之际为阳绝阴彰。以日夜分之时而日光有所不逮，故知日旁照十六万七千里，不及天中一万一千五百里也。”因为“极”既可看作一个点，又可看作一个圆，陈子这一修正可自圆其说。进一步的分析还表明，只要设定81万里这一宇宙直径，利用“寸差千里”这一公式，陈子模型中其他数据均可在其框架中合理推算出来。尽管囿于历史认识水平和模型的局限性，陈子模型的天地数据与我们现在了解的相去甚远，但是陈子模型给昼夜现象和季节变化与日月（视）运行的理论关系提供了一种解释。

〔23〕璇玑：在盖天模型中北极星围绕天北极（视）运行，作拱极运动所划出的柱形空间。

〔24〕日夜分：底本脱“分”字，胡刻本脱“夜分”二字，据钱校本补。

〔25〕人所望见，远近宜如日光所照：人目所能望见的距离等于日光所照的范围。

〔26〕以：底本作“巳”，据明刻本、戴校本改。

〔27〕中：底本脱“中”，据钱校本补。

〔28〕过极相接：日光越过极下，相互重合。（参见图三十一）

〔29〕日光不相及：日光不交接。参见图三十一。

〔30〕夏至之日正东西望：夏至之日从周地向正东西方向望去。

〔31〕直周东西：通过周地的东西方向线。

〔32〕日下：日落处。

〔33〕东西：底本作“周半”，钱校本据下文赵爽对冬至算法之注改，今从。

〔34〕以算求之：以算法求解。如图三十二所示：

夏至日日落处到周地的距离 里。

冬至日日落处到周地的距离 里。

因为W″Y 大于光照半径，所以“冬至之日，正东西方不见日”。上述两值的推算都用了普遍的勾股定理。类似的例子还有一例，参见注〔40〕。

〔35〕发敛：往返。

〔36〕冬至、夏至，观律之数，听钟之音：冬至、夏至的日光晷影之变化，可通过律数的观察和钟音的辨听来作印证分析，陈子主张“同术相学，同事相观”，由此他认为日光晷影在冬至、夏至的变化可试用钟声音律的变化来分析。

〔37〕遝（dà）：底本等作“还”，据孙诒让说改。遝，义与“逮”通。

〔38〕遝：底本等作“还”，据孙诒让说改。

〔39〕四极径八十一万里：根据陈子的推算法，四极指阳光所能覆盖的四面八方的范围，即“日光四极”。由冬至日道半径238 000里和太阳的光照半径167 000里，陈子求得日光四极的直径等于

2×（238 000里+167 000里）=810 000里。

因为“四极径八十一万里”中的数字“81”正巧是《管子》所载五声音阶“宫音”的“生成数”：“凡将起五音，凡首，先主一而三之，四开以合九九。以是生黄钟小素之首，以成宫。”（《管子·地员篇》）值得注意的是，这里所述的五声生成法就是“三分损益法”。在此五声生成步骤中，其生律之数需要被3除四次，数81正是能被3整除四次的最小整数。由此可见，选数“81”为生律之起算数很可能在于避免非整数。

〔40〕东西各三十九万一千六百八十三里半：向东或向西到日照极限处各三十九万一千六百八十三里半。此值的求取，应用了普遍的勾股定理。以日光四极的半径 为弦，周地到北极的距离（103 000里）为勾，以向东（或向西）到日照极限处的距离为股，即可算得股为391 683.5里。

〔41〕东西短中径二万六千六百三十二里有奇：此句意思是东西方向两个日照极限处的距离比天中的日光四极直径短少26 632里多一点，用日光四极的直径（810 000里）减去上文的391 683.5里的两倍，即得此数。短：底本、胡刻本作“矩”，依戴校本改。

〔42〕短：底本作“矩”，依胡刻本、戴校本改。

〔43〕短：底本、胡刻本作“矩”，依戴校本改。

〔44〕周北五十万八千里。冬至日十三万五千里，冬至日道径四十七万六千里，周百四十二万八千里：这几句与上下文不连贯，疑为衍文。

【译文】

“夏至，太阳在离测量点南边16 000里处的天空上；冬至，太阳在离测量点南边135 000里处的天空上；在正当中午时，竖立的表竿没有日影。由此看来，从极下向南到夏至正午的无日影之地119 000里，几处提到的极，指天之中央。极离周地十万三千里，也指极与天中一致时，再加夏至日离周地正南方正午无日影之地的一万六千里就是了。 从极下向北到夏至夜半之地也是一样距离，日在极北正好对称。 直径共238 000里，合并南北之数。 这是夏至日道的直径。径，指圆的直径。 其周长714 000里。周，周长。说天载日运行一周，周长等于三乘以直径。 从夏至正午的无日影之地到冬至正午的无日影之地119 000里，冬至正午的无日影之地离周地十三万五千里，减去夏至正午的无日影之地离周地一万六千里。 向北到极下也是同样距离。那么从极下向南到冬至正午的无日影之地238 000里，从极下向北到冬至夜半之地也是一样距离。直径476 000里，这是冬至日道的直径。其周长1 428 000里。从正值春、秋分正午的无日影之地，向北到极下178 500里。春、秋分的晷影长七尺五寸五分，加上测望北极之勾（晷影）长一丈三寸。 从极下向北到正值春、秋分夜半之地，距离也是一样。直径357 000里，周长1 071 000里。所以说，月亮［视］运行的轨道沿着二十八宿穿行，太阳［视］运行的轨道也以二十八宿来标示。内衡之南，外衡之北，像圆规一样圆的是黄道，上面布列二十八宿。月亮（在白道上）运行，在黄道附近一出一入，或表或里；白道与黄道每隔五又二十三分之二十个月交会一次，叫做合朔交会及月蚀相隔之数，所以叫“缘宿”。太阳行黄道以宿为标示，所以叫“宿正”。 （在七衡图里，）中衡的数据与黄道相等。 向南到夏至正午的无日影之地，向北到冬至的夜半之地；向南到冬至正午的无日影之地，向北到夏至的夜半之地，是黄道的直径，也是357 000里，周长是1 071 000里。这些都是黄道的数据，与中衡相等。

“春分日的昼夜之交到秋分日的昼夜之交，极下经常有日光。春、秋分时昼夜相等。春分到秋分，太阳运行的轨道离内衡近，靠近极，所以日光能照到。 秋分日的昼夜之交到春分的昼夜之交，极下经常无日光。秋分到春分，太阳运行的轨道离外衡近，远离极，所以日光不能照到。 所以春、秋分的昼夜相交之时，日光所照恰好到极区，白天、黑夜的长度相等。冬至、夏至，是日道往返到终点所形成的，分别达到昼夜长短的极值。发，往。 ，返。极，终极。 春分、秋分时，阴阳相平衡，昼夜长短相等。修，就是长。谓阴阳平衡、昼夜长短相等。 昼属阳，夜属阴，以明暗来区分阴阳之象。 春分到秋分，呈阳昼的现象。北极下能见到日光。光照时间长，有利万物生长，所以呈昼的现象。 秋分到春分，呈阴夜的现象。北极下不能见到日光，光照时间短，会导致生物死亡，所以呈夜的现象。 所以春、秋分的正午，日光照到北极下；春、秋分的夜半，日光之所照亦向南到北极下。这是日夜长度相等的时刻。所以说：日光照射的半径为167 000里。到极下，是以璇玑的边际作为阳气消绝、阴气旺盛的分界。根据日夜交替之时而日光正好照不到，所以知日光照射的半径为十六万七千里，离天中尚有一万一千五百里。 人目所能望见的距离，应当如同太阳光照四旁的半径。太阳距离我一十六万七千里以内能照到我。我的眼睛也能见到它，所以称为日出。太阳距离我十六万七千里之外，已不能照到我，我也看不见它，所以称为日入。这是说日与目能相见的距离是在十六万七千里之中，所以说“远近宜如日光之所照”。 从周地所能望见的距离，向北超过北极64 000里，从此以下，各处讲到减的场合，都取日光之所照，如人目之所见十六万七千里需要减去，这里减去北极至周地的十万三千里。 向南超过冬至正午无影之地32 000里。减去冬至正午无影之地距离周地的十三万五千里。 由夏至正午无影之地算起，阳光向南超过冬至正午无影之地48 000里，减去与冬至正午无影之地相距的十一万九千里。 向南超过人目所能望见的16 000里，夏至正午的无影之地距离周地一万六千里。 向北超过周地151 000里，减去周地与夏至正午无影之地相距的一万六千里。 向北超过北极48 000里。减去北极离夏至正午无影之地的十一万九千里。 冬至日之夜半，日光向南不及人目所见极限7 000里，冬至日道径四十七万六千里，减去两倍的日光所照里数，又减去冬至正午无影之地距离周地的十三万五千里。 尚离极下71 000里。从北极向北至夜半的二十三万八千里减去日光所照半径十六万七千里。 夏至的正午与夜半，日光越过极下，相互重合达96 000里。以夏至日道直径，减去两倍的日光所照半径，余数就是相互重合之数。 冬至的正午与夜半，日光不相交接，中间相距142 000里，离极下各71 000里。以冬至日道直径，减去两倍的日光所照半径，余数就是相离之数。除以二，就是各自离极下之数。

“夏至之日从周地向正东西方向望去，通过周地的东西方向线，日落处距离周地59 598.5里。求此数的方法：以夏至日道径二十三万八千里为弦，将北极离周地的十万三千里加倍，得到二十万六千里为股，用它们求勾；以弦平方减去股平方，将余数开方，得到勾等于一十一万九千一百九十七里有余，除以二，就是向东或向西的距离。 冬至日时，在周地的正东西方向望不见太阳。周地的正东西方向在卯酉。日在十六万七千里之外，所以不见日。 以算法求解，可得日落处离周地214 557.5里。求此数的方法：以冬至日道径四十七万六千里为弦，将北极离周地的十万三千里加倍，得到二十万六千里为勾，用它们求股；以弦平方减去勾平方，将余数开方，得到四十二万九千一百一十五里有余，除以二，就是向东或向西的距离。 这类周径数值，关系日道的往返，凡是这类周长、直径的数值，是日道往返所到之处，昼夜长短的终始。 冬至、夏至的变化，可从研究律数，分析音律得到印证。观察律数的生成，听钟音的变化，可知寒暑的终始，明白时序更替的变化。 根据冬至白天、夏至夜晚，冬至昼夜日道直径除以二，得夏至昼夜日道直径。方法是：取冬至日道直径四十七万六千里，除以二得夏至正午到夏至夜半二十三万八千里，以此作为二至昼夜太阳轨道的里数。 太阳轨道变化的极限，加上日光所能照到的极限分析，以太阳运行轨道的最大变化范围，加上太阳光线所能照到的范围，由此定义四极的边界。 可知日光四极的直径为810 000里。从北极向南至冬至正午的无影之地二十三万八千里，加上日光所照十六万七千里，共长四十万五千里，向北至其夜半亦一样距离。所以说日光四极直径八十一万里。八十一是阳数终了之数，也是日光四极之数。 周长为2 430 000里。直径乘 以三就是周长。

“从周地向南到日照极限处302 000里。四极半径减去周地离北极的十万三千里。 从周地向北到日照极限处508 000里。四极半径加上周地离北极的十万三千里。 向东或向西到日照极限处各391 683.5里。计算的方法：以四极直径八十一万里为弦，以北极离周地的十万三千里乘以二，得二十万六千里为勾 ；用它们求股，得七十八万三千三百六十七里有余，除以二，得到向东或向西到日照极限处的距离。 周地在天中的南面103 000里，所以东西方向日照极限处的跨距比天中的日光四极直径短少26 632里多。求日照极限处的跨距比四极直径少二万六千六百三十二里有余之法：取八十一万里，减去周地东西跨距七十八万三千三百六十七里有余，余数就是跨距比四极直径短少之数。 （周北五十万八千里。冬至日十三万五千里，冬至日道径四十七万六千里，周百四十二万八千里。）日光能照到的四极，在周地东西方向各391 683里多一点。”

李淳风附注（一）：斜面重差和晷影差变〔1〕

臣淳风等谨按：夏至王城〔2〕 望日，立两表相去二千里，表高八尺。影去前表一尺五寸，去后表一尺七寸。旧术以前后影差二寸为法，以前影寸数乘表间为实，实如法得万五千里，为日下去南表里。又以表高八十寸乘表间为实，实如法得八万里，为表上去日里。仍以表寸为日高，影寸为日下。待日渐高〔3〕 ，候日影六尺，用之为勾，以表为股，为之求弦，得十万里为邪表〔4〕 数目。取管圆孔径一寸，长八尺，望日满筒以为率。长八十寸为一〔5〕 ，邪去日十万里，日径即千二百五十里。

以理推之，法云：“天之处心高于外衡六万里者〔6〕 ”，此乃语与术违。勾六尺，股八尺，弦十尺，角隅正方自然之数。盖依绳水〔7〕 之定，施之于表矩。然则天无别体，用日以为高下，术既平而迁〔8〕 ，高下从何而出？语术相违，是为大失。

又按二表下地〔9〕 ，依水平法定其高下。若此表〔10〕 地高则以为勾，以间为弦〔11〕 。置其高数，其影乘之，其表除之。所得益股为定间〔12〕 。若此表下者，亦置所下，以法乘、除。所得以减股为定间〔13〕 。又以高、下之数与间相约，为地高、远之率。求远者，影乘定间，差法而一。［所得加影，日之远也。求高者，表乘定间，差法而一］〔14〕 。所得加表，日之高也。求邪去地者，弦乘定间，差法而一。所得加弦，日邪去地〔15〕 。此三等至皆以日为正〔16〕 。求日下地高下者，置戴日之远近，地高下率乘之，如间率而一〔17〕 。所得为日下地高下。形势隆杀〔18〕 与表间同，可依此率。若形势不等，非世所知〔19〕 。

率日径求日大小者，径率乘间〔20〕 ，如法而一，得日径。此径当即得，不待影长六尺〔21〕 。凡度日〔22〕 者，先须定二矩〔23〕 水平者，影南北〔24〕 ，立勾齐高四尺，相去二丈。以二弦候牵于勾上。并率二则〔25〕 拟为候影。勾上立表，弦下望日。前一则上畔〔26〕 ，后一则下畔〔27〕 ，引则就影，令与表日参直。二至前后三四日间，影不移处即是当以候表。并望人取一影亦可，日径、影端、表头为则〔28〕 。

然地有高下，表望不同，后六术乃穷其实：

第一，后高前下〔29〕 术。高为勾〔30〕 ，表间为弦〔31〕 ，后复影为所求率，表为所有率，以勾为所有数〔32〕 ，所得益股为定间〔33〕 。

第二，后下术〔34〕 。以其所下为勾〔35〕 ，表间为弦〔36〕 。置其所下，以影乘，表除，所得减股，余为定间〔37〕 。

第三，邪下术〔38〕 。依其高率〔39〕 ，高其勾影〔40〕 ，合与地势隆杀相似〔41〕 ，余同平法〔42〕 。假令髀邪下而南，其邪亦同，不须别望。但弦短〔43〕 ，与勾股不得相应。其南里数〔44〕 ，亦随地势，不得校平，平则促〔45〕 。若用此术，但得南望。若北望〔46〕 者，即用勾影南下之术〔47〕 ，当北高之地。

第四，邪上术。依其后下之率〔48〕 ，下其勾影〔49〕 ，此谓回望北极以为高远者。望去取差，亦同南望。此术弦长，亦与勾股不得相应〔50〕 。唯得北望，不得南望。若南望者，即用勾影北高之术。

第五，平术。不论高下，《周髀》度日用此平术。故东、西、南、北四望皆通，近远一差，不须别术。

第六术者，是外衡。其经云：四十七万六千里。半之得二十三万八千里者，是外衡去天心之处。心高于外衡六万里为率，南行二十三万八千里，下校六万里约之，得南行一百一十九里，下较三十里；一百一十九步，差下三十步；则三十九步太强〔51〕 ，差下十步。以此为准，则不合有平地。地既平而用术，尤乖理验。

且自古论晷影差变，每有不同，今略其梗概，取其推步〔52〕 之要。

《尚书考灵曜》〔53〕 云：“日永影尺五寸，日短一十三尺〔54〕 ，日正南千里而减一寸。”张衡《灵宪》云：“悬天之晷，薄地之仪，皆移千里而差一寸。”郑玄注《周礼》云：“凡日影于地，千里而差一寸。”王蕃〔55〕 、姜岌〔56〕 因为此说。按前诸说，差数并同，其言更出书，非直有此。以事考量，恐非实矣。

谨案：宋元嘉十九年岁在壬午〔57〕 ，遣使往交州〔58〕 度日影，夏至之日影在表南三寸二分。《太康地志》〔59〕 ：交趾〔60〕 去洛阳一万一千里，阳城〔61〕 去洛阳一百八十里。交趾西南，望阳城、洛阳，在其东北〔62〕 。较而言之，今阳城去交趾近于洛阳去交趾一百八十里，则交趾去阳城一万八百二十里，而影差尺有八寸二分〔63〕 ，是六百里而影差一寸也。况复人路迂回，羊肠曲折，方于鸟道，所较弥多。以事验之，又未盈五百里而差一寸，明矣。千里之言，固非实也。何承天〔64〕 又云：“诏以土圭测影，考较二至，差三日有余。从来积岁及交州所上，检〔65〕 其增减，亦相符合。”此则影差之验也。

《周礼·大司徒》职曰：“夏至之影尺有五寸，”马融以为洛阳，郑玄以为阳城。《尚书考灵曜》：“日永影一尺五寸，日短十三尺〔66〕 。”《易纬通卦验》〔67〕 ：“夏至影尺有四寸八分，冬至一丈三尺。”刘向《洪范传》〔68〕 ：“夏至影一尺五寸八分。”是时汉都长安〔69〕 ，而向不言测影处所。若在长安，则非晷影之正也。夏至影长一尺五寸八分，冬至一丈三尺一寸四分。向又云：“春秋分长七尺三寸六分。”此即总是虚妄。

《后汉·历志》〔70〕 ：“夏至影一尺五寸。”后汉洛阳冬至一丈三尺。自梁天监〔71〕 已前并同此数。魏景初〔72〕 ，夏至影一尺五寸。魏初都许昌，与颍川相近〔73〕 ；后都洛阳，又在地中之数。但《易纬》因汉历旧影，似不别影之，冬至一丈三尺。晋姜岌影一尺五寸。晋都建康在江表〔74〕 ，验影之数遥取阳城，冬至一丈三尺。宋大明祖冲之历〔75〕 ，夏至影一尺五寸。宋都秣陵〔76〕 遥取影同前，冬至一丈三尺。后魏信都芳注《周髀四术》〔77〕 云：“按永平元年〔78〕 戊子是梁天监之七年也，见洛阳测影，又见公孙崇集诸朝士共观秘书影，同是夏至之日，以八尺之表测日中影，皆长一尺五寸八分。”虽无六寸，近六寸。梁武帝大同十年〔79〕 ，太史令虞 〔80〕 以九尺表于江左建康〔81〕 测，夏至日中影，长一尺三寸二分；以八尺表测之，影长一尺一寸七分强。冬至一丈三尺七分；八尺表影长一丈一尺六寸二分弱。隋开皇元年〔82〕 ，冬至影长一丈二尺七寸二分。开皇二年，夏至影一尺四寸八分。冬至长安测，夏至洛阳测。及王邵《隋灵感志》〔83〕 ，冬至一丈二尺七寸二分，长安测也。开皇四年，夏至一尺四寸八分，洛阳测也。冬至一丈二尺八寸八分，洛阳测也。大唐贞观三年己丑五月二十三日癸亥〔84〕 夏至，中影一尺四寸六分，长安测也。十一月二十九日丙寅冬至，中影一丈二尺六寸三分，长安测也。按汉、魏及隋所记夏至中影或长短，齐其盈缩之中，则夏至之影尺有五寸，为近定实矣。以《周官》推之，洛阳为所交会，则冬至一丈二尺五寸，亦为近矣。按梁武帝都金陵〔85〕 ，去〔86〕 洛阳南北大较千里，以尺表，令〔87〕 其有九尺影，则大同十年江左八尺表夏至中影长一尺一寸七分。若是为夏至八尺表千里而差四寸弱〔88〕 矣。

此推验即是夏至影差升降不同，南北远近数亦有异。若以一等永定，恐皆乖理之实。

【注释】

〔1〕这附注是李淳风在陈子求得太阳水平距离χ B ，太阳斜高距离R s 和太阳线直径d s 之后，所写约两千字的注。标题为笔者所加。在这长注中，李淳风先是大略复述了陈子在平面大地上求各种天地之数的方法，他认为《周髀》本文的描述与术法有矛盾。然后李淳风将重差术在平面上的应用推广到斜面上的应用，并在注释中给出了一系列的公式，用以解决多种情况下的斜面重差问题。其中包括后表地高或后表地低时求日远、日高、日距之法，讨论了斜面上测量的问题，归纳出邪下术、邪上术等“六术”。陈子推算太阳距离和线直径所采取的方法的确牵涉到重差公式，见“荣方问陈子（二）”之注〔16〕到注〔23〕。值得注意的是，重差公式的应用须满足二望双测法的必要条件，那就是被测之物在两地测量时必须在同一位置。对太阳来说，只有把两地的测量时间设在同一时候才能满足这条件。正如陈子日高图所示，在两地测量太阳时，太阳在同一位置。但是，在实际推算太阳水平距离χ B 时，陈子采取了夏至和冬至二组不同时间同一地的测量数据，（χ S ，λ S ）=（16 000里，16寸）和（χ W ，λ W ）=（135 000里，135寸）进行推算。利用了重差公式（2-1-5），陈子得出太阳水平距离χ B 为60 000里［见公式（2-1-6）］，然后得出斜高距离R s 和线直径d s 。这说明陈子认为太阳在天空南北的平移可用设在地上的周髀的南北迁移来模拟。在“荣方问陈子（二）”之注〔22〕中已解说，陈子天地相应假设相当于现代所谓的“平行面”天地模型。这模型假设太阳运行于一个与测量地水平面平行的平行面内。这就是说，陈子的“勾之损益寸千里”公式是在“平行面”天地模型下推导出来的。李淳风提出把重差法推广到斜面上的目的是为了改进太阳运行测算公式“勾之损益寸千里”。从天文学角度来看，改进太阳运行测算，首先得放弃采用不同时间、同一地点的测量数据作为不同地点、同一时间的数据的实施。那就是说，仅仅对“平行面”天地模型和由此模型所推导出来的“勾之损益寸千里”公式，作一些地斜面测算来修改是不够的。李淳风时代相隔陈子时代已超过千年以上，多种太阳运行测算方法已创造得成，譬如刘焯（544—610）在皇极历中应用的等距二次内差法。其实，李淳风本人在麟德历中也采用了等距二次内差法。李淳风在此的附注得从数学和数学史角度来分析。傅大为、刘钝和曲安京等先后对李淳风的斜面重差术作了比较有系统的研究。（参阅傅大为《论〈周髀〉研究传统的历史发展与转折》，刘钝《关于李淳风斜面重差术的几个问题》，曲安京《〈周髀算经〉新议》第79—87页。）根据他们研究，李淳风的“邪下术”和“邪上术”可能已把重差法由勾股三角形推广到一般相似三角形。

〔2〕王城：西周王城（今河南洛阳），但当年长时期内进行天文观测的周公测景台在阳城（今河南省登封县告成镇）。故陈子测日所在地可能是洛阳或阳城。

〔3〕待日渐高：此段李淳风复述陈子测日高法的大意。按陈子模型，天地间距离一定，日无高低之分。按李淳风斜面天地模型（参见图三十三），日有高下之分。

〔4〕邪表：相似的大直角三角形的斜边，即太阳离测表的距离。

〔5〕长八十寸为一：管长八十寸相当于日径一寸。

〔6〕天之处心高于外衡六万里者：指《周髀算经》卷下说：“天之中央亦高四旁六万里。”外衡：冬至太阳轨道，详见《陈子篇·七衡图》。

〔7〕绳水：准绳和定水平器。

〔8〕术既平而迁：既然算法基于太阳平移。迁：移动。

〔9〕二表下地：南北二表立于斜坡上（参见注〔11〕图三十四）。上文李淳风基本上复述了陈子在平面大地上求各种天地之数的方法，在此李淳风开始将平面重差术推广到斜面大地的情形。他在注释中给出了大量的公式，用以解决多种情况下的重差问题。

〔10〕此表：指北表。

〔11〕地高则以为勾，以间为弦：以图三十四中两表所在地的地高度差BK 为勾，两表的斜线距离BD 为弦，用勾股定理求股DK 。图三十四示意后表AB 设于高处，前表CD 设于低处。傅大为指出如把后表AB 表移至CD 表的水平面HD 得虚拟后表A′B′ ，由此虚拟表地得定间DB′ 。（参阅傅大为，第28页图3）

〔12〕置其高数，其影乘之，其表除之。所得益股为定间：取图三十四中两表的地高度差值BK ，乘以北表影长BF ，除以表长AB ，得到KB′ 。所得KB′ 加股DK 等于定间DB ′。此求法可以利用两相似直角三角形ABF 和AKF 对应边成比例来验证：

化简后即得

定间

DB′ =KB′ +DK 。

定间：虚拟表间，系李淳风引入的术语，作斜面和平面重差变换的过渡之用。（参阅傅大为，第27页）通过“定间”，把斜面上的“表间”和两表高差变换成平面上的虚拟表间，从而可以套用现成的重差公式，算得日高、日斜去地、日下去表距离等数值。（参见下文注〔14〕、〔15〕）

〔13〕若此表下者，亦置所下，以法乘、除。所得以减股为定间：如图三十五所示，北表地势较低，也可取图中两表的高度差DK ，依前法乘、除（乘以北表影长BF ，除以表长AB ），所得为BK′ 。根据傅大为，股BK 减去所得BK′ 等于定间DB′ （参阅傅大为，第29页图4）。此求法可利用两相似直角三角形ABF 和A′K′F 对应边成比例来验证：

化简后即得

定间

DB′ =KK′ =BK -BK′ 。

图三十五示意后表AB 设于低处，前表CD 设于高处。如把后表AB 移至CD 的水平面DH′ 得虚拟后表A′B′ ，由此虚拟表地得定间DB′ 。

〔14〕所得加影，日之远也。求高者，表乘定间，差法而一：底本脱此十九字，依钱校本补。在此，李淳风给出了一组倾斜大地上的重差公式（参阅刘钝，第104页；曲安京，第82页图28）。前一句为“求远者，影乘定间，差法而一。所得加影，日之远也”：即把图三十四中前表影长DE 乘以定间DB ′，除以影差|DE -BF |，所得之商加上前表影长DE ，等于测点至日下的距离HE 。

后一句为“求高者：表乘定间，差法而一。所得加表，日之高也”：即把图三十四中表长AB 乘以定间DB′ ，除以影差|DE -BF |，所得之商加上表长AB ，等于日高OH 。

〔15〕求邪去地者，弦乘定间，差法而一。所得加弦，日邪去地：日邪去地，即测量地斜至日的距离OE （参见图三十四）。其求法是：前表弦长CE 乘以定间DB ′，除以影差|DE -BF |，所得之商加上前表弦长CE ，等于测量地斜至日的距离OE 。

〔16〕此三等至皆以日为正：这三个公式都是假定观测点与日下在同一水平面上的高远之数。为了求得太阳实际高度与观测点距离太阳下地面的实际距离，李淳风在下文中提出了一组补充方案。正：法则。

〔17〕置戴日之远近，地高下率乘之，如间率而一：戴日：日的正下方。地高下率：两表地高差BG （参见图三十六）。间率：两表水平距离差DG 。求倾斜大地的日高OP 之法：取图三十六中观测点到日下的水平距离DH ，乘以两表地高差BG ，除以两表水平距离DG ，所得为日下地高低的校正数HP 。加上据式2-1-13求得的日高OH ，就是太阳的真正高度OP 。

〔18〕隆杀：地势高低。

〔19〕非世所知：不是当代的水平所能推求的。底本、胡刻本作“非代所知”，钱校本怀疑因避唐太宗李世民讳而改“世”为“代”，郭刘本依钱意改为“非世所知”，今从。

〔20〕间：太阳与观测点的距离（参阅刘钝，第107页）。

〔21〕率日径求日大小者，径率乘间，如法而一，得日径。此径当即得，不待影长六尺：李淳风指出陈子模型中通过相似三角形由管长和管径的比率求日径，只需将日与观测点的距离（100 000里）乘以比率（1/80），即乘以1，除以80，就得日径1 250里，影长六尺不是必要条件。

〔22〕度日：用平术测日径。此节李淳风描述了一种测量日径方案：用日高重差术的原理，分别求得太阳上顶和下端的高度，两者相减即得太阳直径。参见图三十七李淳风测日径法（参阅曲安京，第67—68页）。由表AB 与CD ，分别采集到推算太阳上顶高度及太阳下端高度的两组表影数据：AE 、CF 及AG 、CH ；利用日高公式分别求得太阳上顶高度PN 和下端高度PM ，则太阳直径MN =PN -PM 。将圭从地面升高四尺，是为了便于操作。平术：水平面上的重差求高术。

〔23〕二矩：此测量方案用到二表二勾，都用矩、绳定水平，所以说“二矩”。

〔24〕影南北：使二表之影在同一南北经线上。

〔25〕则：条，指瞄准线。

〔26〕上畔：太阳上顶。

〔27〕下畔：太阳下端。

〔28〕日径、影端、表头为则：太阳上顶、影端、表巅三点成一线。太阳下端、影端、表巅三点成一线。

〔29〕后高前下：二表的前后是相对于太阳所在的位置而言。参见图三十四后高前下术。

〔30〕高为勾：以两表的高度差BK 为勾。

〔31〕表间为弦：以两表间斜线距离BD 为弦。此处省略了由勾、弦根据勾股定理求股DK 的说明。底本作“一表为弦”，据胡刻本、钱校本改。

〔32〕后复影为所求率，表为所有率，以勾为所有数：以已知的所求率（后表影长BF ）乘所有数（勾，即两表高度差BK ），除以所有率（表长AB ），所得为所求数KB ′。参见注〔12〕。

〔33〕所得益股为定间：所得加上股等于定间。定间DB′ =KB′ +DK 。有了定间就把斜面问题转化为平面问题了。

〔34〕后下术：前高后下术，二表的前后是相对于太阳所在的位置而言。参见图三十五前高后下术。

〔35〕所下为勾：两表的高度差DK 为勾。

〔36〕表间为弦：以两表间斜线距离BD 为弦。用勾股定理可以求得股BK 。

〔37〕置其所下，以影乘，表除，所得减股，余为定间：取两表的高度差DK ，乘以后表影长BF ，除以表长AB ；所得为BK ′。以股BK 减去所得BK ′，余数等于定间DB′ =BK-BK′ 。有了定间就把斜面问题转化为平面问题了。

〔38〕邪下术：前二术（后高前下术，前高后下术）的晷影都是在各自的水平面上取值，根据傅大为、刘钝和曲安京，邪下术（邪下重差术）和邪上术（邪上重差术）的晷影则是直接取自倾斜的地面。（参阅傅大为，第53页附图1，2；刘钝，第105页图4，图5；及曲安京，图29，30）

〔39〕高率：前后两表的水平高度差DG 。参见图三十八邪下术。

〔40〕勾影：两表在倾斜的地面上的影长。

〔41〕合与地势隆杀相似：两表间地面斜率与测点至日下大地斜率相同。

〔42〕余同平法：剩余的部分就与使用水平面上晷影的求法一样，可以直接套用平面大地上的日高、日远、斜至日公式，由此应有下列三式：（参阅曲安京，第84页）

套用平法的公式（余同平法）符合仿射变换的理论，是可行的。至于李淳风如何根据当时的数学水平，由特殊情形推导到一般，得出上述结论，学术界作过一些推测，未有定论。（参见傅大为，第54—60页；刘钝，第108—109页；曲安京，第86—87页。）我们认为李淳风借用“勾”、“股”、“弦”之名描述一般锐角三角形和钝角三角形的三条边，强调“弦短，与勾股不得相应”和“此术弦长，亦与勾股不得相应”，除了众所周知的长短外，很可能意有所指，其证法仍与勾股形有关。李淳风可能是将锐角三角形分割为直角三角形，从而既可以运用现成的日高术，又可以利用相似勾股形对应边成比例的性质，经过简单运算，验证上述三式，也即“余同平法”的正确性。

〔43〕弦短：指此弦短于用同样的勾、股构成的直角三角形的斜边。李淳风借用“勾”、“股”、“弦”之名描述锐角三角形的三条边。底本“短”作“矩”，依胡刻本、钱校本改。

〔44〕南里数：后表至日下的斜面距离。

〔45〕平则促：促：迫近，距离短。底本作“平则从”，依胡刻本、钱校本改。

〔46〕若北望：底本脱此三字，依胡刻本、钱校本补。

〔47〕勾影南下之术：即下文的邪上术。底本“影”作“股”，胡刻本“影”作“照”，戴校本等改为“影”，今从。

〔48〕后下之率：两表的水平高度差DG 。参见图三十九邪上术。

〔49〕勾影：两表在倾斜的地面上的影长BF 、DE 。

〔50〕此术弦长，亦与勾股不得相应：李淳风借用“勾”、“股”、“弦”之名描述钝角三角形的三条边。“弦”是指钝角三角形的大边AF 、CE ，此弦长于用同样的勾、股构成的直角三角形的斜边。从邪下术变化为邪上术，是从锐角三角形推广到钝角三角形，但算法相似，所以李淳风说“望去取差，亦同南望”，可直接套用邪下术的三个公式（2-1-16，2-1-17，2-1-18）。

〔51〕三十九步太强：底本、胡刻本作“三十步大强”，戴校本改作“三十步太强”，钱校本依算法改为“三十九步太半步”。今据文意补改。

〔52〕推步：推算历法。

〔53〕《尚书考灵曜》：即《尚书纬·考灵曜》，汉代纬书。汉代依托儒家经义宣扬符箓瑞应占验之书，相对于经书，故称为纬书。《易》、《书》、《诗》、《礼》、《乐》、《春秋》及《孝经》均有纬书，称“七纬”。《考灵曜》是《尚书纬》之一种。已佚，有辑本。

〔54〕日短一十三尺：据《隋书·天文志》的《尚书考灵曜》引文，“日短”后当有“影”字。

〔55〕王蕃：三国时期庐江（今安徽庐江西南）人，天文数学家。研究和改制浑天仪，著有《浑天象注》等。仕吴，曾任散骑常侍等职。甘露二年（266）被孙皓杀害。

〔56〕姜岌：甘肃天水人，东晋时期天文学家。仕于后秦，所造《三纪甲子元历》，于公元384年起在后秦颁行。其中首创以月食冲法测日所在，提高了测量精度。

〔57〕宋元嘉十九年岁在壬午：宋文帝元嘉十九年，农历壬午年，公元442年。

〔58〕交州：古州名，东汉建安八年（203）改交趾刺史部为交州。三国吴分交州为交、广二州，交州治龙编（今越南河内东，天德江北岸），辖境包括今天越南北、中部和中国二广的部分地区。

〔59〕《太康地志》：《宋书》称《晋太康地志》或《太康地志》，不著撰人。《旧唐书·经籍志》作《地记》五卷，太康三年撰。《新唐书·艺文志》作《晋太康土地记》十卷。已散佚。（清）毕沅辑有《晋太康三年地志》。晋武帝司马炎太康三年是公元282年。“地志”：底本作“地里志”，胡刻本、戴校本作“地理志”，今据《宋书》及毕沅说改。

〔60〕交趾：古郡名，公元前二世纪初，南越赵陀置。公元前111年归汉，辖境相当今越南北部。东汉治龙编（今越南河内东，天德江北岸）。

〔61〕阳城：古县名，治所在今河南登封东南告成镇。

〔62〕东北：底本、胡刻本作“东南”，据钱校本改。

〔63〕尺有八寸二分：阳城日影在表北一尺五寸，交趾日影在表南三寸二分，影差为两者相加，得尺有八寸二分。郭刘本误将两数相减得“尺有一寸八分”作为影差，以为李淳风计算有误。实际上李淳风计算不误。

〔64〕何承天（370—447）：东海郯（今山东郯城西南）人，南朝宋天文学家。博通经史，精历算，通音律，所撰“元嘉历”，订正旧历所定的冬至时刻和冬至时日所在位置，于刘宋元嘉二十二年（445）颁行。为了求得更精确的朔望月数值，何承天创造了所谓调日法的数学方法，为后世历法家所广泛采用。

〔65〕检：底本等作“验”，钱校本据《宋书·历志》改，今从。

〔66〕日永影一尺五寸，日短十三尺：日永：夏至。日短：冬至。“日永影一尺五寸”之后，底本、胡刻本衍“郑玄以为阳城”六字，郭刘本校删，今从。据《隋书·天文志》的《尚书考灵曜》引文，“日短”后当有“影”字。

〔67〕《易纬通卦验》：纬书，旧分二卷，内容是阐释稽应之理，言卦气之征验。久佚，有辑本，但讹脱甚多。

〔68〕刘向《洪范传》：刘向（约公元前77—前6）：沛（今江苏沛县）人，西汉经学家、目录学家、文学家。曾校阅群书，撰成《别录》，开我国目录学之先河。《洪范传》：即《洪范五行传》，是以阴阳五行说讲灾异和占验的著作。

〔69〕长安：中国古都之一，西汉建都长安（今陕西西安市西北）。

〔70〕《后汉·历志》：即《后汉书·历志》，为《续汉书》志三十卷的作者晋朝司马彪所作。《后汉书》纪十卷和列传八十卷的作者是南朝宋范晔。北宋时，有人把两者合刊成一书，称为《后汉书》。

〔71〕梁天监：梁天监年间（502—519）。

〔72〕魏景初：魏景初年间（237—239）。

〔73〕都许昌，与颍川相近：魏初建都许昌（今河南许昌市东），近夏都颍川（今河南禹州市）。

〔74〕晋都建康在江表：东晋建都于江东建康（今江苏南京市）。晋：底本、胡刻本作“宋”，据戴校本、郭刘本改。

〔75〕宋大明祖冲之历：祖冲之（429—500），范阳遒（今河北涞水县北）人，南朝著名天文学家、数学家。以精确推算圆周率名世，还精于机械。祖冲之历：即“大明历”，祖冲之在刘宋大明六年（462）编成“大明历”，天监九年（510）正式颁布施行，是南北朝时最优秀的历法。

〔76〕秣陵：刘宋建都于秣陵（今江苏南京市）。

〔77〕后魏信都芳注《周髀四术》：信都芳，河间人，北魏天文数学家。曾将浑天、地动、漏刻等仪器绘成图册，编为《器准图》3卷。其注《周髀四术》疑即《北史》所载信著《四术周髀宗》。引文中提到的公孙崇是北魏太乐令。

〔78〕永平元年：北魏永平元年，即梁天监七年，公元508年。

〔79〕梁武帝大同十年：公元544年。

〔80〕太史令虞 ：南朝天文学家，梁武帝时任太史令，梁“大同历”的主要作者，撰有梁《大同历》一卷。

〔81〕江左建康：江东建康（今江苏南京市）。

〔82〕开皇元年：公元581年。

〔83〕王邵《隋灵感志》：王邵：生卒年不详，隋代并州晋阳（今山西太原南郊）人。王劭博闻强记，任隋著作郎近二十年，著有《隋书》、《齐志》、《齐书》、《读书记》、《隋灵感志》等。《隋灵感志》：即《旧唐书·艺文志》所载“《皇隋灵感志》十卷”，内容待考。

〔84〕大唐贞观三年己丑五月二十三日癸亥：农历己丑年（629）五月二十三日（癸亥日）。贞观：底本、胡刻本作“正观”，据戴校本、钱校本改。郭刘本疑系避宋仁宗赵祯讳而改，近是。底本、胡刻本“三年”作“二年”，依“己丑”意改。

〔85〕梁武帝都金陵：梁武帝萧衍建都于金陵（今江苏南京市）。

〔86〕去：底本、胡刻本作“云”，据戴校本、钱校本改。

〔87〕令：底本作“今”，依胡刻本、戴校本、钱校本改。本句“令其有九尺影”后，疑有脱误。

〔88〕四寸弱：底本、胡刻本作“一寸弱”，据《隋书·天文志》：“梁大同中，二至所测，以八尺表率取之，夏至当一尺一寸七分强。后魏信都芳注《周髀四术》……见洛阳测影……同是夏至日，其中影皆长一尺五寸八分。以此推之，金陵去洛，南北略当千里，而影差四寸。”钱校本据算法改为“三寸强”，欠妥。今将“一寸弱”改为“四寸弱”。

【译文】

臣李淳风等谨按：夏至日以王城［为基地］观测太阳，树立两表，［南北］相距二千里，表高八尺。前表的晷影是一尺五寸，后表的晷影是一尺七寸。旧术以前后表的影差二寸为除数，以前表晷影的寸数乘两表间距为被除数，两数相除的商是15 000里，这是太阳与南表的水平距离。又以表高八十寸乘两表间距为被除数，除以影差二寸得八万里，这是表与太阳的垂直距离。仍以表高八十寸求太阳高度，晷影寸数求离太阳的水平距离。待太阳渐渐升高，等候日影长六尺，用它为勾，以表高为股，则可求弦，得到与太阳的斜线距离是十万里。取孔径一寸、长八尺的圆竹管，观测太阳。当太阳恰好填满竹筒孔时，得到筒长八十寸相当于日径一寸的比率。因测点离太阳十万里，所以日径是1 250里。

以常理推导，算法说“天的中心高出外衡六万里”，这种描述与计算方法相矛盾。勾边长六尺，股边长八尺，弦边长十尺，这数是由直角三角形的自身规律形成的。地面必须水平，表竿必须垂直，然后用勾股定理计算。然而天体模型是一定不变的，太阳运行有高下之别，既然算法基于太阳平移，哪里来的高下之别？描述与计算方法相矛盾，这是大失误。

又按［南北］二表立于地上，依水平法定其高低。如北表地势较高，则以两表的高度差为勾，以两表间斜线距离为弦，［求股］。取两表的高度差值，乘以北表影长，除以表长。所得之值加上股为定间。如北表地势较低，亦取两表的高度差，依前法乘、除（乘以北表影长，除以表长）。以股减去所得等于定间。又以两表的高度差与两表间斜线距离相除，得两地高差与斜距的比率。求远之法：前表影长乘以定间，除以影差，所得之商加上前表影长，等于测点至日下的距离。求高之法：表长乘以定间，除以影差，所得之商加上表长，等于日高。求测量地斜至日的距离之法：前表弦长乘以定间，除以影差，所得之商加上前表弦长，等于测量地斜至日的距离。这三个公式都是假定观测点与日下在同一水平面上的高远之数。求倾斜大地的日高之法：取观测点到日下的水平距离，乘以两表高差，除以两表水平距离，所得为日下地高低的校正数。日下地势斜率与表间相同，可依此率相求。如日下与测地点形势斜率不等，不是当代的水平所能推求的。

用日径的比率求日径大小，只需将太阳与观测点的距离乘以比率（1/80），即乘以1，除以80，即得太阳直径。此太阳直径立即可得，不需等待影长六尺之时。测日径的时候，必须先确定二表二勾所在地面水平，使二表之影在同一南北经线上，立等高四尺的二勾，两勾的立表处相距二丈。以二弦线牵动于勾上。每表二段瞄准线用来观测日影。表在勾的上方，用弦线在勾下向上望日。前一段线瞄准太阳上顶，后一段线瞄准太阳下端，根据表影的位置移动瞄准线，使影端、表头、太阳三点成一线。冬至、夏至前后三四日内，表影伸缩较小即是最佳时机，应当在这时测定表影。两人一起测望，每人测取一影也可以，太阳上顶、下端与影端、表巅分别成三点一线。

然而地有高低，立表测望结果不同，下文六术才能包括各种实际情形：

第一，后高前下术。以两表的高度差为勾，以两表间的斜线距离为弦。以后表影长乘以两表高度差，除以表长，所得加上股等于定间。

第二，前高后下术。以两表的高度差为勾，以两表间的斜线距离为弦。取两表的高度差，乘以后表影长，除以表长；以股减去所得，余数等于定间。

第三，邪下术。依两表的水平高度差，向上作两表在倾斜的地面上的影长，两表间地面的斜率与测点至日下大地的斜率相同，其余就与使用水平面上晷影的求法一样。假如二表之足向南斜下，与大地的倾斜一致，就不必另行测望。但弦边较短，与用直角三角形求得之值不同。后表至日下的斜面距离，亦随地势而定，不能用水平面之数，如用水平面之数就太短了。若用此术，只能应用于向南测望。如果向北测望，针对北方高地，就用勾影南下之术（邪上术）。

第四，邪上术。依两表的水平高度差，向下作两表在倾斜的地面上的影长，这叫做回望高远的北极。测望和取高度差，也同向南测望一样。此术的弦边较长，也与用直角三角形求得之值不同。只能用于向北测望，不能用于向南测望。假若向南测望，就用勾影北高之术（邪下术）。

第五，平术。不论地势高低，《周髀》测日用此平术。所以向东、向西、向南、向北四个方向测望都可以，无论远近都用一种差术，不必用别的方法。

第六术，是考虑到外衡的算法。《周髀算经》说：直径四十七万六千里。它的一半，是二十三万八千里，这是外衡离天心的距离。以天心高于外衡六万里来推算，向南行二十三万八千里，下降六万里。按比例得到，向南行一百一十九里，下降三十里；向南行一百一十九步，下降三十步；向南行三十九又2/3步，下降十步。以此为准，就不应当有平面的大地。将地看作平面而来计算，尤其不合理，不符实际。

而且自古以来论晷影差的变化，常有不同，如今取其推算的要点，大略说个梗概。

《尚书考灵曜》说：“夏至日长，影长一尺五寸；冬至日短，影长一丈三尺；每相距正南千里，日影减一寸。”张衡《灵宪》说：“测天之晷，量地之仪，都是移动千里而影差一寸。”郑玄注《周礼》说：“凡是地上的晷影，相隔千里就要差一寸。”王蕃、姜岌也这样说。按前文诸说，影差数都一样，这种言论频频出现，好像非这个数值不可。以事实考量，恐怕不对吧。

谨案：宋元嘉十九年（442）农历壬午年，遣使往交州测量日影，夏至的日影在表南三寸二分。《太康地志》：交趾离洛阳一万一千里，阳城离洛阳一百八十里。交趾在西南，望阳城、洛阳，在其东北。比较而言，今阳城离交趾近于洛阳离交趾一百八十里，则交趾离阳城一万八百二十里，而影差一尺八寸二分，折合每六百里而影差就是一寸。况且人行道路迂回曲折，与直飞的鸟道相比，误差甚多。以事实验之，又是不到五百里而影差一寸，这是明显的。千里差一寸的说话，显然不符合实际。何承天又说：“诏令用土圭测影，检验夏至、冬至的时间，结果差了三天多。从历年经交州所呈上的数据，检验其增减，也是相符的。”这就是影差的验证。

《周礼·大司徒之职》说：“夏至之影，一尺五寸。”马融认为是在洛阳测的，郑玄认为是在阳城测的。《尚书考灵曜》说：“夏至日长，影长一尺五寸；冬至日短，影长一丈三尺。”《易纬通卦验》：“夏至，影长一尺四寸八分；冬至，影长一丈三尺。”刘向《洪范传》：“夏至，影长一尺五寸八分。”当时汉的都城在长安，而刘向不提测影地点。如在长安，那就不是晷影的常规数值。夏至，影长一尺五寸八分；冬至，影长一丈三尺一寸四分。刘向又说：“春、秋分，影长七尺三寸六分。”这些都是虚妄之言。

《后汉·历志》说：“夏至影长一尺五寸。”后汉，洛阳冬至的影长一丈三尺。自梁天监以前都是这个数据。魏景初年间，夏至影长一尺五寸。最初魏建都许昌，与颍川相近；后建都洛阳，又在地中之数。但《易纬》因循汉历旧影，似乎不另外测影：冬至，影长一丈三尺。晋姜岌说影长一尺五寸。晋建都于江东建康，验影远取阳城之数：冬至，影长一丈三尺。宋大明的“祖冲之历”：夏至，影长一尺五寸。刘宋建都秣陵，像前朝一样远取影长：冬至一丈三尺。后魏信都芳注《周髀四术》说：“按永平元年戊子是梁天监七年（508），见洛阳测影，又见公孙崇召集诸朝士在秘书省一起观测日影，同是夏至之日，以八尺之表测日中影，皆长一尺五寸八分。”虽然不到六寸，但是接近六寸。梁武帝大同十年（544），太史令虞 在江东建康用九尺表测夏至日中影，影长一尺三寸二分；用八尺表测，影长一尺一寸七分有余。在冬至用九尺表测，影长一丈三尺七分；用八尺表测，影长不到一丈一尺六寸二分。隋开皇元年（581），冬至的影长一丈二尺七寸二分。开皇二年，夏至的影长一尺四寸八分。冬至在长安测，夏至在洛阳测。以及王邵《隋灵感志》，冬至的影长一丈二尺七寸二分，是长安测的。开皇四年，夏至的影长一尺四寸八分，是洛阳测的。冬至的影长一丈二尺八寸八分，是洛阳测的。大唐贞观三年（629）五月二十三日癸亥夏至，日中影长一尺四寸六分，是长安测的。十一月二十九日丙寅冬至，日中影长一丈二尺六寸三分，是长安测的。按汉、魏及隋所记夏至日中影或长或短，平均误差，那么夏至的影长一尺五寸比较符合实际。以《周官》推理，洛阳为测影点，那么冬至的影长一丈二尺五寸也接近事实。按梁武帝建都金陵，离洛阳南北大约千里，以不同尺表，使有九尺表影……则大同十年江东八尺表夏至日中影长一尺一寸七分。这些用八尺表在夏至测量的数据表明，相距千里而影差不足四寸。

以上推验就说明夏至影差增减不同，南北远近不同数据亦有差异。如果总是套用一式，恐怕背离实际，于理不合。