命题逻辑的推理规则[1]
关于复合命题的推理在传统逻辑里基本上只讨论了假言推理肯定式（Modus ponens）和否定式以及假言联锁推理、选言推理、二难推理等。相对于某些推理形式，传统逻辑还列出了所谓推理规则。例如关于Modus ponens的规则是：承认前件就要承认后件。
在现代逻辑里，命题逻辑研究关于命题联接词的推理。以├表示人工语言里演绎的推出关系，现代逻辑就把推理形式Modus ponens抽象为下列推理规则：
A→B，A├B。
这条规则在有的书上叫作蕴涵词消去律，有的叫作分离规则。它是命题逻辑中最重要的一条规则。在某些命题逻辑的公理系统中，它是唯一的推理规则。
关于演绎推理还有两条极其基本，直观上非常显然，而与命题联接词无关的推理规则。一条是：
A1，…，An├Ai（i=1，…，n）
这叫作肯定前提律。意思是说从一串任意前提A1，…，An可推出其中任一个Ai（i=1，…，n）为结论。这条规则极其“自明”，但不能没有它。
传统逻辑讲复合三段论，例如：M1AP，M2AM1，SAM2，所以，SAP。[2]仔细分析起来，证明的过程应该是这样的：
（1）M1AP，M2AM1，SAM2，所以，M1AP 肯定前提律
（2）M1AP，M2AM1，SAM2，所以，M2AM1 肯定前提律
（3）M1AP，M2AM1，SAM2，所以，SAM1 肯定前提律
（4）M1AP，M2AM1，所以，M2AP Barbara[3]
（5）M1AP，M2AM1，SAM2，所以，M2AP （1）（2）（4）演绎推理的传递性
（6）M2AP，SAM2，所以，SAP Barbara
（7）M1AP，M2AM1，SAM2，所以，SAP （3）（5）（6）演绎推理的传递性
这个证明的（1）（2）（3）三步，都根据上面已提到的肯定前提律。（4）（6）都是传统的三段论。（5）（7）两步的根据都是演绎推理的传递性。演绎推理的传递性在现代逻辑里表示为下列推理规则：
如果B1，…，Bn├C1，…，B1，…，Bn├Cm，C1，…，Cm├A，则B1，…，Bn├A。
为了简便，以“Γ”代表公式序列B1，…，Bn，以“Δ”代表公式序列C1，…，Cm。上列规则可简写为：
如果Γ├C1，…，
Γ├Cm，
Δ├A，
则Γ├A。
再把Γ├C1，…，Γ├Cm简写为Γ├C1，…，Cm。这又可简写为Γ├Δ。又把Γ├Δ，Δ├A简写为Γ├Δ├A，上述规则就可表述为：
如果Γ├Δ├A，则Γ├A。
在上面那个关于复合三段论的例子里，第二次用到本规则时，M1AP、M2AM1，SAM2相当于Γ，M1AP，SAM2，相当于Δ，SAP相当于A。这是另一条不涉及命题联接词的推理规则，叫作演绎推理传递律。它不是说从什么可推出什么，而是规定：如果某些推理（Γ├Δ，Δ├A）成立，那么某一特定推理（Γ├A）也一定成立。
现在我们再来介绍另外两条关于命题联接词的推理规则。
从Barbara和对当关系出发，可以用反证法证明传统逻辑里的“MOP，MAS，所以，SOP”。如下：
（1）MOP，MAS，并非SOP，所以，MOP 肯定前提律
（2）MOP，MAS，并非SOP，所以，MAS 肯定前提律
（3）MOP，MAS，并非SOP，所以，并非SOP 肯定前提律
（4）并非SOP，所以，SAP 对当关系
（5）MOP，MAS，并非SOP，所以，SAP （3）（4）演绎推理传递律
（6）SAP，MAS，所以，MAP Barbara
（7）MOP，MAS，并非SOP，所以，MAP （5）（2）（6）演绎推理传递律
（8）MAP，所以，并非MOP 对当关系
（9）MOP，MAS，并非SOP，所以，并非MOP （7）（8）演绎推理传递律
（10）MAP，MAS，所以，SOP （1）（9）反证法
（10）之所以成立，是因为在MOP，MAS之外，加上并非SOP而推出了矛盾MOP和并非MOP，因之，从MOP，MAS应推出SOP。（10）的根据是反证法。现代逻辑把它抽象为如下推理规则：
如果Γ，﹁A├B，﹁B，则Γ├A。
这条规则叫作反证律。当B就是A时，就有特例：如果Γ，﹁A├A，﹁A，则Γ├A。当Γ是公式的空序列时，本规则的特例就是：如果﹁A├B，﹁B，则├A。“├A”表示在命题逻辑的系统里没有前提也能推出A，这也就是说任何前提都能推出A。反证律是数学里经常使用的有力工具。
像“假如语言能够生产物质资料，那么夸夸其谈的人就是世界上最富的人了”这样的命题是无法证实的。那么，我们又怎样会认为它是真的呢？这样的命题只能经过推理来证明它是真的。设以p代表“凡语言是能够生产物质资料的”，以r代表“凡夸夸其谈的人是语言极多的人”，以s代表“凡掌握生产资料极多的人是世界上最富的人”，以q1代表“凡语言极多的人是能够生产物质资料极多的人”，以q2代表“凡语言极多的人是掌握生产资料极多的人”，以q3代表“凡夸夸其谈的人是掌握生产资料极多的人”，以q4代表“凡夸夸其谈的人是世界上最富有的人”，我们可以有以下证明：
（1）r，s，p，所以，r 肯定前提律
（2）r，s，p，所以，s 肯定前提律
（3）r，s，p，所以，p 肯定前提律
（4）p，所以，q1 传统逻辑附性法
（5）q1，所以，q2 传统逻辑复杂概念推理
（6）r，s，p，所以，q2 （3）（4）（5）演绎推理传递律
（7）q2，r，所以，q3 Barbara
（8）r，s，p，所以，q3 （6）（1）（7）演绎推理传递律
（9）s，q3，所以，q4 Barbara
（10）r，s，p，所以，q4 （2）（8）（9）演绎推理传递性
（11）r，s，所以，如果p则q4 （10）
由于r，s是众所周知的真理，因之“如果r则q4”得证。在这个证明过程中，从（10）到（11）用到了一条推理规则，现代逻辑把它表示为：
如果Γ，A├B，则Γ├A→B。
在上述证明中，r，s相当于Γ，p相当于A。这条规则叫作蕴涵词引入律，在有的公理系统里则叫作演绎定理。当Γ是公式的空序列时，本规则的特例是：如果A├B，则├A→B。
演绎推理传递律、反证律和蕴涵词引入律都是说，如果那些推理成立，那么某一特定推理也成立，它们都反映了推理形式之间的关系。
有的同志误认为拿假前提来进行推理是荒谬的。其实不论是日常生活还是科学研究都绝对少不了事实上是假的或明知是假的前提出发进行推理。推理不许有假前提，就从根本上否定了反证法的有效性。在许多科学原理的完整的证明过程中，是常常需要假设前提的，特别是反证律和蕴涵词引入律，都是关于假设前提的推理规则。
有了以上五条推理规则，其他一切关于┐和→的推理规则都可以逐步由它们来生成，从而组成一个完整的逻辑系统P。（请注意，这样的系统没有通常意义的公理）上述五条规则，就是P的原始推理规则。
现在我们只举一个例子来说明在P中从原始推理规则出发，怎样生成蕴涵传递律：A→B，B→C├A→C。
（1）A→B，B→C，A├A→B 肯定前提律
（2）A→B，B→C，A├A 肯定前提律
（3）A→B，A├B 蕴涵词消去律
（4）A→B，B→C，A├B （1）（2）（3）演绎推理传递律
（5）A→B，B→C，A├B→C 肯定前提律
（6）B→C，B├C 蕴涵词消去律
（7）A→B，B→C，A├C （5）（4）（6）演绎推理传递律
（8）A→B，B→C├A→C （7）蕴涵词引入律
（8）就是蕴涵词传递律，它是假言联锁推理（纯粹假言三段论）的抽象。从原始推理规则出发，可以生成无穷多的推理规则，我们再列举几条如下：
A├A
├A→A （同一律）
A├┤┐┐A[4] （双重否定律）
如果Γ，A├B，┐B，则Γ├┐A （归谬律）
A→B├┤┐B→┐A
在P里引入定义：A∨B=df┐A→B，A∧B=df┐（┐A∨┐B）和A←→B=df（A→B）∧（B→A），就可以生成关于∨，∧和←→的所有推理规则。例如，┐A→B，┐A├B就可以根据定义缩写为A∨B，┐A├B。
也可以为∨、∧和←→列出如下六条原始推理规则：
A∧B├A，B （合取词消去律）
A，B├A∧B （合取词引入律）
如果A├C，B├C，则A∨B├C （析取词消去律）
A├A∨B，B∨A （析取词引入律）
A←→B，A├B；A←→B，B├A （等值词消去律）
如果Γ，A├B；Γ，B├A，则A←→B （等值词引入律）
加上前面提到的五条推理规则，一共有十一条原始推理规则的命题逻辑系统叫作P#。从日常应用来看，P#可能比P更方便。P#也有无穷多条推理规则。我们列举若干如下：
P和P#的原始推理规则虽不一样，但在实际上凡是P的推理规则都是P#的推理规则；只要在P中引入适当的定义，凡是P#的推理规则就也都是P的推理规则。由此我们可以说，凡是符合P或P#的原始推理规则及由它们生成的推理规则的，就是命题逻辑里的推出关系，就是关于命题逻辑的演绎定理。这样的演绎推理没有不正确的形式。
[1] 原载《逻辑与语言学习》1982年第4期。有删改。
[2] 请注意区分传统逻辑的符号、公式与现代逻辑的符号、公式。
[3] 三段论第一格AAA式。
[4] “├┤”表示互推关系。A├┤B是A├B，B├A的缩写。