传统逻辑的局限[1]
逻辑主要是研究推理和证明的科学，它有悠久的历史。到了近代，也常常叫作形式逻辑。100年前形式逻辑发展到了一个转折点，新逻辑——数理逻辑（符号逻辑、逻辑斯蒂）的基础开始奠定。旧逻辑现在习惯上叫作传统逻辑（古典逻辑）；而新逻辑也称作现代逻辑。本世纪（20世纪）卅年代中叶现代逻辑已经完全成熟。传统逻辑究竟有哪些局限？为什么传统逻辑必然要发展到现代逻辑？底下我们试图通俗地来说明这个问题。
第一，传统逻辑没有考虑到存在问题。
在传统逻辑里，从全称命题推出特称命题是一条规律，而演绎的推出关系又是当前提真时，结论一定是真的。我们知道牛顿第一运动定律（惯性定律）是真的科学原理：任何不受外力影响的物体，总保持匀速直线运动或静止，直到有外力迫使它改变这种状态为止。但根据传统逻辑由此全称命题（命题是直陈句的含义，加以断定的命题成为判断）推出的特称命题“有不受外力影响的物体……”却是假的。毛病出在哪里？原来传统逻辑讲推理时所涉及的事物，都占据一定的时间空间，都是现实世界中存在着的事物。对于这样的事物，从全称命题可以推出特称命题。例如，世界上存在着金属，因之从“凡金属都导电”可推出“有金属导电”。但当讨论涉及不受外力影响的物体（这是现实世界中不存在的理想事物）时，情况就不同了。从主项为“不受外力影响的物体”的全称命题出发，推不出主项为“不受外力影响的物体”的特称命题。[2]当主项所反映的对象不存在，不能从全称命题推出特称命题，这就叫作存在问题。类似的例子可以找到很多。如，从真命题“凡不接触细菌的人都不得细菌性传染病”推不出假命题“有不接触细菌的人不得细菌性传染病”，因为现实世界上没有不接触细菌的人。从“任一解决了哥德巴赫猜想的人都是大数学家”推不出“有解决了哥德巴赫猜想的人是大数学家”，因为解决了哥德巴赫猜想的人至今未曾有过，将来是否会有也还不知道。
由于主项所反映的对象不存在，传统逻辑中的其他一些关系也就有所改变。如传统逻辑认为“有S是P”与“有S不是P”可以同真，但不能同假。这就是说从“并非有S是P”可推出“有S不是P”。例如从“并非有信神的人是马克思主义者”可推出“有信神的人不是马克思主义者”。但是，“有鬼是红脸的”和“有鬼不是红脸的”都假。从“并非有鬼是红脸的”推不出“有鬼不是红脸的”。原因在于现实世界中根本就没有鬼。
一个对象究竟存在不存在，基本上不是逻辑问题，而是事实问题。任一词项（语词的词汇意义）所反映的对象在现实世界中有的存在，有的不存在。逻辑为了概括这两种情况，必须跳出传统逻辑的框框，另辟蹊径。现代逻辑把传统的命题形式“所有S是P”分析为“对任何事物来说，如果它是S则它是P”。把具体命题“凡人皆有死”分析为“对任何事物来说，如果它是人则它有死”。把“凡不接触细菌的人都不得细菌性传染病”分析为“对任何事物来说，如果它是不接触细菌的人则它不得细菌性传染病”。在命题形式“对任何事物来说，如果它是S则它是P”中，用“x”代替“事物”和“它”，并不改变其原意。这样就得到：“对任何x来说，如果x是S则x是P”。再进一步，取消民族语言的区别，用人工语言则可改写成为：
（∀x）（S（x）→P（x））
（∀x）叫作全称量词，译成自然语言就可读作“对任何x来说”。S（x）可读作“x是S”“x有S性质”或“x属于S”。P（x）也可这样翻译。S、P都叫作谓词，“x”叫作个体词。“→”叫作蕴涵词，可读作“如果，则”。传统的全称否定命题形式“所有S不是P”则分析为：
（∀x）（S（x）→﹁P（x））
这里的“┐”叫作否定词，译成自然语言可读作“并非”“不是”等等。﹁P（x）可读作“并非x是P”或“x不是P”。人工语言里的这个公式整个儿的译成自然语言，就是“对任何x来说，如果x是S则并非x是P”。经过这样的处理，现代逻辑就把传统的全称命题了解为蕴涵命题。
现代逻辑是这样分析传统的特称命题的。“有工人是作家”分析为“至少有一个事物，它既是工人又是作家”。“有不接触细菌的人不得细菌性传染病”分析为“至少有一个事物，它既是不接触细菌的人又是不得细菌性传染病的人”。这就是把传统的特称肯定命题形式“有S是P”分析为“至少有一个事物，它既是S又是P”。我们再把它表述为人工语言，就是：
（∃x）（S（x）∧P（x））
这里的（∃x）叫作存在量词，可读作“至少有一个x使得”。“∧”叫作合取词，可读作“并且”。传统的特称否定命题形式“有S不是P”则分析为：
（∃x）（S（x）∧﹁P（x））
这样，现代逻辑就把传统的特称命题分析为合取命题。现代逻辑还告诉我们，从（∀x）（S（x）→P（x））推不出（∃x）（S（x）∧P（x）），从（∀x）（S（x）→﹁P（x））推不出（∃x）（S（x）∧﹁P（x））。不过，传统的逻辑方阵中的矛盾关系依然成立。例如：
（∀x）（S（x）→P（x））⊦﹁（∃x）（S（x）∧﹁P（x））
在这里⊦代表演绎的推出关系。结论译成自然语言就是“并非至少有一个x使得，x是S而不是P”。以н代表演绎的互推关系，传统的矛盾关系就表示为：
（∀x）（S（x）→P（x））н﹁（∃x）（S（x）∧﹁P（x））；
（∀x）（S（x））→﹁P（x））н﹁（∃x）（S（x）∧P（x））；
﹁（∀x）（S（x）→P（x））н（∃x）（S（x）∧﹁P（x））；
﹁（∀x）（S（x）→﹁P（x））н（∃x）（S（x）∧P（x））。
第二，传统逻辑不会处理关系推理。
除了假言命题、选言命题以外，传统逻辑基本上只讨论直言命题（性质命题）。直言命题如“凡人皆有死”是只有一个主项的命题。如果要讨论有几个主项，因之而有几个量项的命题，如：
对任何一条直线来说，经过不在它上面的一个点至多可以引出一条平行线。
传统逻辑就束手无策了。具有几个主项的命题就是关系命题。传统逻辑既然不会处理关系命题，当然也就无法研究关于关系命题的推理。例如从“有的观众欣赏每件展品”可以演绎地推出“每件展品都为有的观众所欣赏”。但从后者不能推出前者。［设观众是A、B，展品是C、D。现在A欣赏C和D。当然可推知C、D都为有的观众（即A）所欣赏。但情况若是A欣赏C，B欣赏D，就不能推知有观众（无论A或B）欣赏C和D。］这在直观上是相当清楚的道理，但传统逻辑却不能从理论上来加以说明。
现代逻辑把P（x）看作最简单的命题形式。复杂一点的有R（x，y），可读作“x与y有R关系”。这里的“R”是谓词，“y”是个体词。更复杂些，命题形式还可以有S（x，y，z）等等，读作“x，y，z之间有S关系”。这里“S”是谓词，“z”是个体词。我们暂把论域限定于自然数。“2是偶数”的形式是P（x），而“2大于1”的形式是R（x，y）。R（x，y）也可写为xRy，更为醒目，与自然语言也较为接近。但“2在1与3之间”的形式写成S（x，y，z）是方便的。因之，我们还是把xRy写成R（x，y），以示统一。
有了R（x，y）这样的公式，就可以着手处理关系命题了。我们权且把个体词x的论域限定于观众，把个体词y的论域限定于展品。按照传统逻辑的习惯，“有的观众欣赏每件展品”的形式似乎是“有的xR所有y”，“每件展品都为有的观众所欣赏”的形式似为“所有yR有的x”。但是这里“有的xR所有y”中的R代表x与y之间的欣赏关系，而“所有yR有的x”中的R却代表R的逆关系，即y与x之间的被欣赏关系。由此看来，迁就传统逻辑的这些记法是不妥当的。量词“有的x”“所有y”的次序与具有R关系的个体词x、y的次序都应该表示清楚。为此，我们把量词按次序一律写在公式的前端，谓词后面的括号中仍按次序写出个体词。上述两命题的形式用人工语言来表示，分别是：
（∃x）（∀y）R（x，y）（读作“至少有一个x使得，对任何y来说，x与y有R关系”。）
（∀y）（∃x）R（x，y）（读作“对任何y来说，至少有一个x使得，x与y有R关系”。）
现代逻辑证明了从前者到后者的推理关系成立，但从后者到前者的推理关系不成立。
为了避免歧义，为了精确严密，现代逻辑是一种人工语言的系统。在这种系统中，所谓量词，是指符号∀或∃，括号“（”和“）”，与一个个体词结合在一起的（∀x）（∃y）之类的符号序列；而不像传统逻辑那样，把“所有”“有的”叫作量项。为什么要这样啰嗦？从上面两个例子的分析过程中，可以窥其一斑。
用传统逻辑来分析“实践是检验真理的唯一标准”这样的哲学命题，可以说是劳而无功的。用现代逻辑来分析，这个哲学命题似应为：“对任何真理来说，总有实践是检验它的唯一标准。”现代逻辑的人工语言虽然抽象一些，但用它来分析命题和推理，比传统逻辑要强有力多了。
第三，传统逻辑对推理形式缺乏整体的研究。
传统逻辑研究演绎推理基本上局限于对当关系、直接推理、三段论、假言推理、选言推理和二难推理。演绎推理的形式，特别是人们常用的推理形式是否只有这些？这些形式之间有什么内在联系？它们又有什么根本特性？这样的问题传统逻辑还来不及提出来。现代逻辑应运而生，挑起了从整体上研究演绎推理的重担。
那么，现代逻辑又是用怎样不同于传统逻辑的方法来研究推理的呢？首先，传统逻辑是从概念研究到判断，又从判断进到推理。现代逻辑却从命题出发，先讨论仅仅有关命题的推理；然后再分析到命题内部的非命题成分，再讨论涉及非命题成分的推理。这好比为了研究人体，先从四肢、头、躯干出发，比先从细胞出发，要简便可行。接触过传统逻辑的人都有这样的感觉，三段论比假言推理、选言推理复杂、难懂。现代逻辑索性先易后难，先处理假言推理、选言推理，再研究三段论。
其次，由于传统逻辑是利用自然语言来描述思维形式的，而自然语言又免不了有歧义。因之传统逻辑所使用的符号、公式往往有歧义和含糊不清的缺陷。用这种工具来分析具体命题，常常会发生困难。例如，传统逻辑可以把“所有学生是男的或女的”的形式描述为“所有S是P1或P2”。但是，这句话究竟表达了下面两种意思中的哪一种，传统逻辑是无法分别清楚的：
（1）对任何学生来说，总是男的或女的。
（2）所有学生是男的，或者，所有学生是女的。
现代逻辑利用没有歧义的人工语言可把（1）的形式表示为：
（∀x）（S（x）∨P（x））（x的论域是学生）。
把（2）的形式表示为：
（∀x）S（x）∨（∀x）P（x）（x的论域是学生）。
这样的处理，就克服了“所有S是P1或P2”的缺陷，把“所有学生都是男的或女的”的歧义分析得清清楚楚。
再次，现代逻辑从众多推理形式中按一定标准选出若干种作为出发点，由此循序渐进，严格地把其他推理形式一步步推导出来，构成一个系统，从而对无穷多的推理形式进行全面的、整体的、深入的研究。这就叫作用公理方法来研究推理形式。
最后，现代逻辑的研究方法还是形式化的方法。推理的前提与结论之间的关系，各种推理形式之间的关系，都用人工语言表达为公式与公式之间的关系。公式与公式之间的变换，完全决定于符号及其排列，而与符号、公式的意义完全无关。
这样一来，现代逻辑就克服了传统逻辑的种种局限性，把科学推向一个新的高峰。当然，要利用现代逻辑，就一定要与符号、公式打交道。马克思说：“在科学上面是没有平坦的大路可走的，只有那在崎岖小路的攀登上不畏劳苦的人，有希望到达光辉的顶点。”（《资本论·法文译本之序与跋》）
[1] 原载《逻辑与语言学习》1982年第1期。有删改。
[2] 传统逻辑术语一般都根据金岳霖主编的《形式逻辑》。