2　带不透水底盘不完整井的局部阻抗与流量计算公式

工程实践中不透水底盘井比透水底盘井更常见。按理，不透水底盘以下的含水层属于轴对称渗流场的一部分；但其代表流函数ψ的不透水边界十分复杂，为了解题方便，近似地用图1（c）所示的井（其不透水管段或不透水底座伸达含水土层底部）替代带不透水底盘井进行分析与演算[2]。

分段近似法源于局部阻抗可沿程串接叠加的概念，多年来较普遍地用于解带截渗板椿的闸基土基渗流问题。为了便于数学处理，近似法常把不透水边界向渗流场内侧折转（折转点理论流速v=0）的流动微弱的局部区段当作呆滞区而抛除不计，这种简化得出的计算结果与严格数解或实验结果相比误差出入不大。运用分段近似法，可循以下步骤推求带不透水底盘不完整井的局部阻抗及流量计算式。

（1）以紧密套接而厚度分别为T及S的两圈轴向渗流场表述轴向总尺度及总阻抗相同的不完整井渗流场。

对图2（a）所示的二维矩形（不完整窄沟）渗流场，本有现成的数解[3][5]，但难以直接移用于轴向不完整井渗流；为了能与图3（b）的不完整井渗流场相互对照而套解出计算表达式，有意地运用分段法简化处理矩形渗流场的流动图形。即以图2（a）近似地表述矩形渗流场，进而简化为用厚度分别为T及S的紧相连接的并且沿流向总尺度L=R－rw保持不变的两段渗流场，见图2（b）。由于不完整沟（井）的流量既小于完整沟（井）的流量，又大于S/T乘完整沟（井）的流量，只要分段适当，就肯定能做到这两段的总阻抗恰等于实际不完整沟（井）的阻抗，而且只有也必有一解。

先看带不透水底盘不完整井的轴向渗流场。设内外两圈分界面半径为rM而水头为hM，并取rM=rW+ξT，则外圈与内圈的流量为

内外圈流量应相等，把后一分式的分子分母同乘T/S并分别与前一分式的分子分母相加，可消除hM而得到

式中ξT所表示的两圈之间分界面与井管的距离，在物理概念上也大体反映井的不完整性的综合影响：ξ=ξ（S/T）。式中右边分母表示不完整井的总阻抗率：其第一项表示轴向渗流场正规（完整井）阻抗率，第二项表示由于井的不完整程度而净增的局部阻抗率。

（2）把特定的不完整沟的渗流场看成带不透水底盘不完整井的一项特例，由不完整沟局部阻抗反推不完整井的局部阻抗。

对完整井取井壁周边的单宽流量，并考虑到（图3）R=rW+L，则

在渗流场轴向尺度L=R－rW保持不变的前提下，若井的半径增至无限大，rW→¥，实际上变成了完整沟的单向渗流场，式（5）右边分母：

整个算式变成了典型的矩形渗流场流量公式：

同理，保持不完整井渗流场的轴向尺度不变，若井径增至无限大，则带不透水底盘不完整井变成带不透水底坎的不完整沟。改写式（4）也将有如下变化：

这种形式不完整沟渗流问题有现成的保角映射数学解，虽涉及椭圆积分，但在常见的L＞T情况下，可近似简化为用普通数学函数表达的算式[3][5]：

对比式（8）和式（9）可反推得出

再循式（2）和式（4）得出

因而由此得出适用于带不透水底盘不完整井的流量公式：