3.2 分治法
分治（Divide-and-Conquer）就是“分而治之”的意思，分治法的基本思想就是将一个规模为n的问题分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题相关联。通过递归方式来求解这些子问题，然后将各个子问题的解合并成原问题的解，如图3-1所示。它的一般的算法设计模式代码如下所示。
图3-1 分治法思想
在用分治法设计算法时，最好使子问题的规模大致相同，即将一个问题分成大小相等的k个子问题（许多问题取k=2）。这种使子问题规模大致相等的做法出自一种平衡子问题的思想，通常比子问题规模不等的做法要好。
例3.3 分治法求数列中最大最小值。
问题描述：输入一个数组A[1,…,n]，求出A中的最大值与最小值。
方法思想：使用分治法的思想，首先把数组分成两部分，再把这两部分中的每一部分再分成两部分，一直递归分解下去直到每一部分小于或等于两个数为止，然后比较这两个数大小，然后回弹比较直到递归的最外层，就可以找到数组中的最大最小值，代码如下所示。
现在来分析上述代码中算法的时间复杂度，用n表示待查找数组中元素的个数，用T(n)表示该问题的时间复杂度。根据算法中的递归关系可以得出：
根据上一章讲述的算法分析方法，可以得到T(n)=
-1=O(n)。
总的来说，分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
1）可行性。该问题的规模缩小到一定的程度时就可以容易地解决；因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加，因此大部分问题满足这个特征。
2）可分解性。该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质，这条特征是应用分治法的前提，它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用。
3）可合并性。利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；能否利用分治法完全取决于问题是否具有这条特征，如果具备了前两条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑贪心算法或动态规划。
4）独立性。该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。这条特征涉及分治法的效率，如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然也可用分治法，但用动态规划或贪心法较好。
下面重点来分析分治法的复杂性，从一般设计模式看，用分治法设计的程序通常是一个递归算法。若一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n/m的子问题去解。假设规模为1的问题耗费1个单位时间，再设将原问题分解为k个子问题以及将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法求解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有：
通过迭代法求得方程解为：
其中，nlogmk为基本子问题所消耗的时间，
·f(n/mj)则为合并部分所消耗的时间。设f(n)=Θ(nd), d≥0。依照主定理可得：
