2.5 水锤特征线方程的矩阵形式
以上介绍了水锤特征线法的基本原理和基本求解方法，通常情况下，水锤计算以流量和测压管水头线为基本变量。采用方程组的形式对非恒定流的节点进行分析和求解。实际上，在一些特定的研究中，采用矩阵形式和流速变量可以更加简化建模的形式。
2.5.1 水锤模型的矩阵形式
在瞬变流模拟中，在压力管流中，描述水流运动的基本方程包括连续方程和运动方程，它们是压力管道瞬变流分析和数值模拟的基础。水流的连续方程和运动方程可写成矩阵形式为
式中 h——测压管水头；
v——流速；
α——管道坡度；
a——水锤波速；
g——重力加速度；
D——管道直径；
f——沿程阻力系数；
n——糙率系数；
R——水力半径；
t——时间；
x——节点位置。
流体的连续方程和运动方程是一对准线性双曲线偏微分方程。其中有两个因变量，即速度和水力坡度线高度，两个自变量，即沿管线距离和时间。通过引入两条特征辅助线，对方程进行等价变化后，双曲微分方程可以转换成常微分方程。经过变换后的方程组为
考虑到在管道计算中，如果管径不同的管道形成管网，采用流量的形式可以避开管道断面面积的影响，因此，研究者们更加习惯采用流量和水头为变量进行计算。将方程式（2.59）和式（2.60）中的流速用流量q表示，分别沿特征线正向特征辅助线dx/dt=a和反向特征辅助线dx/dt=-a进行积分，并取一阶精度，可获得差分矩阵方程为
其中 q=Av
式中 A——断面积；
q——管道流量；
Δx——时间步长；
i、t——节点位置和时间坐标。
方程式（2.61）仅包含了hi，t+Δt和vi，t+Δt两个未知量，所有其他的参数在计算时刻都已知。对系数矩阵进行求逆，方程的矩阵解为
借鉴参考文献［38］的简化方法，方程的解的形式为
方程式（2.63）为矩阵形式表示的特征线法的解，在方程描述和运行计算中，矩阵形式可能更加简单和清晰。
2.5.2 流速为变量的水锤计算模型
在以上的方程推导过程中，如果加入管道的断面积，直接采用流速和水头为变量，同样可以获得水锤特征线法计算的矩阵形式。通过对特征线方程组进行积分和整理，并用流速和水头形式来表示的差分方程如下：
式中 Δx——时间步长；
i、t——节点位置和时间坐标。
方程式（2.64）仅包含了hi，t+Δt和vi，t+Δt两个未知量，所有其他的参数在计算时刻都已知。对系数矩阵进行求逆，方程的矩阵解为
令B=a/g，R=fΔx/（2gD），
，则简化的特征线水锤计算矩阵形式为
用流速和水头表示的特征线计算模型，可以直接获得各个断面的流速变化情况，对于管道断面面积相同的系统，这种方法与用流量和水头表示的水锤模型同样方便实用。