2.3 瞬变流的基本方程

2.3.1 流体运动的基本方程

严格地讲，恒定流是一种理想的流动状态，只有在特定时段和特定边界条件下的水流才可以看成是恒定流。与恒定流相比，瞬变流是随时间发生改变的流动，这种改变既包括了流动状态发生急剧变化的情况，也包括了流动状态发生了缓慢变化的情况。这种变化既包括了长时间的流体状态变化，也包括了某一时刻流动状态的改变，现实中的流动通常都可以视为瞬变流，而恒定流也可以看成是瞬变流的一种特殊形式。无论是恒定流还是瞬变流，流体力学的三大方程完全可以描述实际中任何运动的流体，当然，这也包括了有压和无压的任何恒定和非恒定流动。三大基本方程包括连续方程（continuity equation）、动量方程（momentum equation）和能量方程（energy equation）。

1.连续方程

流体的连续方程描述的是液体在流动中质量守恒，它是质量守恒在流体运动中的具体应用。其物理意义为：控制体中流体的变化量等于流入该控制体的流体和流出该控制体的流体之差，流体的连续方程的积分形式可以表示为

式中 t——时间；

Ω——流体的体积域；

ρ——流体的密度；

S——流体的表面域；

V——流速矢量。

2.动量方程

流体的动量方程描述液体在流动中的动量守恒，它是牛顿第二定律在水流运动中的应用。其物理意义为：控制体中流体的动量变化量等于流入该控制体的流体动量和流出该控制体的流体动量之差，以及体积力和表面力作用与时间积分导致的动量变化量。流体的动量方程的积分形式可以表示为

式中 u——流速；

g——重力加速度；

其他符号意义同式（2.1）。

3.能量方程

流体的能量方程描述了液体在流动中的能量守恒，它是能量守恒在水流运动中的应用。其物理意义为：液体在运动中总能量既不会增加也不会减少，流体的能量变化等于流入控制体的能量和流出该控制体的能量、表面力和体积力的做功以及流体的温度变化等导致的能量的转化等，这些能量的总和在流体运动中是守恒的。液体的能量方程通常描述有热量传递和变化情况下的流体运动，流体运动能量方程的积分形式可以表示成为

式中 e——能量；

其他符号意义同前。

2.3.2 瞬变流基本方程

在流体运动中，只要有任何一个变量随时间发生了变化，则这种水流就可以称为非恒定流。严格地讲，任何水流运动都可以归属于非恒定水流，理想中的恒定水流也可以看成是一种特殊的非恒定水流，它的任何参量随时间的变化量为零。如果把水流运动看成自然界的普遍运动之一，那么，和其他的运动一样，流体运动必然也服从质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律。在流体力学中，质量守恒的具体表现形式为连续方程，动量守恒的具体表现形式为动量守恒方程，能量守恒的具体表现形式为能量守恒方程。在非恒定流的分析和模拟中，水流的热效应基本可以忽略不计，即可以将非恒定流考虑成绝热过程，这样流体的能量守恒方程在常规的瞬变流模拟中可以不再考虑。因此，描述非恒定流的方程可以由流体运动的三大方程简化为质量守恒方程和动量守恒方程，这两个方程在流体力学中的形式也多种多样。为了描述管道中的瞬变水流问题，需要将水流的质量守恒和动量守恒用专门的水锤方程来描述。Wylie和Streeter在文献［38］中进行了系统的推导和论述。考虑到本书的计算主要采用特征线水锤计算方法，因此，这里对特征线水锤计算方法中的基本方程形式进行简要介绍，更具体的推导过程可参考文献［38］，也可以参考文献［3］。

2.3.2.1 水流的连续方程（continuity equation）

为了分析固壁管道中的水流连续方程，取一节微小段的管道作为控制体，分析该管道中的流体在微小时段内的质量变化。图2.1所示为微小管道示意图，控制体的长度为δx，其断面面积为A，管道的倾角为α。控制体只有一个进口和一个出口，进口和出口的断面面积相当于该微小管段在管道中对应的两相邻节点的断面面积，水流只能从进口或出口垂直进入和流出控制体，而管壁和流体之间不会有物质交换，在此基础上，基于三大方程中的质量守恒方程，通过分析管道中控制体的质量变化，可以对封闭管道中流体的连续方程进行推导。

图2.1 微小管道示意图

h—测压管水头；z—位置水头；p—压强水头；v—过水断面流速；x—水流方向的位置坐标

如图2.1所示，假设x坐标的方向与水流的方向一致。在微小时段dt时间内，从进口流入控制体的流体质量为ρvAdt，由于进口断面与出口断面距离非常小，则从出口流出控制体的流体质量可表示为；由于控制体的变形，以及水体压缩导致控制体中水体质量的变化量，还可以表示为。由于在微小段管道边壁没有物质交换，即从边壁流入和流出控制体的流体的质量为零，根据质量守恒定律，控制体中流入与流出的质量之差应该等于控制体内水体质量的变化量，所以，微小段控制体中流体随时间变化的质量和流入流出的质量之间的守恒关系可以表示为

展开式（2.4）并简化可得

将式（2.5）展开并整理可得

将代入式（2.6）得

式（2.7）可以写成

式（2.8）中第一项为断面面积的相对膨胀率，根据泊松比和管壁的受力特性可得

式中 E——管壁材料的弹性模量；

σ ₁——管壁轴向应力；

σ ₂——管壁切向应力；

μ——材料泊松比；

D——管道内直径；

e——管壁厚度。

根据管道三种不同的约束条件分别为和0，则式（2.8）中第二项可以采用流体弹性模数为

将式（2.9）和式（2.11）代入式（2.8）后可得

式中 a——包含流体弹性、管壁性质及其固定方式的综合特性系数，通常可视为常数，该系数大体决定了水锤波在管道中的传播速度，因此也称为水锤波速；

c——管道固定方式的系数，只在上游固定时，；管线全部固定时，c=1-μ²；管线不固定时，c=1.0。

式（2.12）为内水压强表示的瞬变管流的连续方程，可进一步用测压管水头表示该方程。测压管水头和内水压力的关系为

因为，所以式（2.12）可以写成

式（2.18）为封闭管道的水流连续性方程，该方程不仅可以应用于封闭管道，而且可以满足任何形式的管道和流体。在通常的特征线计算方法中，为了简化计算，忽略方程中的位变项，简化后的方程为

式（2.19）为最简化的连续方程，其中x和t为自变量，v和h为因变量。此方程式包含了水锤波速，能够反映管道的水锤传播特性。它能够简便地应用到水锤特征线计算中。该方程为非恒定流模拟的基本方程，考虑到恒定流是一种特殊的非恒定流（加速度为零的非恒定流），因此以上非恒定流的方程仍然能够满足恒定流情况下的水流模拟。

2.3.2.2 水流的运动方程（equation of motion）

瞬变流的运动方程也称为动量方程，它是动量守恒在非恒定水流中的体现。利用牛顿第二定律可以对不同形式的水流运动进行动量方程的推导。图2.2所示为微小管段控制体的受力分析，该控制体的长度为δx，其断面面积为A，管道的倾角为α，流体与管壁面水力摩阻为τ。为了简化推导过程，假设x坐标的方向与原来的水流方向一致。

图2.2 微小管段控制体的受力分析

为了分析控制体在微小时段内的和动量变化，对控制体的受力情况进行分析。考虑到管段非常微小，因此可将管壁看成是直线的，每个控制体简化成一小段圆台，该圆台形控制体上作用的所有体积力和表面力如图2.2所示。控制体的表面力包括上游断面的水压力为P_u=ρg（h-z）A；下游断面的水压力为；水流与管壁之间的表面摩擦阻力为τπDδx。控制体的体积力包含的重力为ρgAδx。设水体的加速度为dv/dt，根据牛顿第二定律，控制体中的流体在x轴方向上的平衡方程可表示为

由于z=f（x），所以代入式（2.21）后可得

流体与管壁面水力摩阻τ可采用达西-威斯巴哈（Darcy-Weisbach）公式进行估算，即

式中，f为沿程阻力系数，负号表示摩阻力方向总是与水流方向相反，将摩阻力估算公式代入式（2.22）可得

式（2.23）即为包含该流速和水头的水流动量方程（momentum equation），也称为水流运动方程（equation of motion），该方程中包含了该水流流速表示的摩擦阻力，虽然该方程只反映x轴方向上的运动，也可以推广到二维和三维的情况。该方程为包含时间的偏微分方程，是非恒定流模拟的基本方程之一，同样，考虑到恒定流是一种特殊的非恒定流（加速度为零的非恒定流），因此以上非恒定流的方程也能够满足恒定流情况下的水流。在通常的特征线计算方法中，为了简化计算，通常忽略方程中的位变项，简化后的方程可表示为

式（2.24）为最简化的运动方程，和连续方程一样，其中x和t为自变量，v和h为因变量。此方程式包含了水流阻力项，能够反映流体在管道中的摩阻力。该方程能够方便地应用到水锤特征线计算。