2　耦合水质模型模拟方法

依上述原理，该法进行河流水质模拟与预测的基本程序如下。

2.1　建立确定性水质模型

确定性水质模型，依水质浓度的空间变化情况，可分为零维、一维、二维和三维的；依浓度是否随时间变化，可分为稳态模型和非稳态模型；依污染物质的类别，则可分为耗氧有机物、有毒物质、病原微生物，植物营养素（氮、磷等）、放射性物质等。其性质不同，降解转化规律各异，从而构成不同的降解转化模型。对某种具体情况，可通过理论分析，确定模型结构，率定参数和进行系统检验，建立适合的确定性水质模型。例如对于断面不很宽的河流，水质浓度在断面上的分布基本均匀，常简化为一维计算；若计算时段内河川径流和排污又基本稳定，此时可采用一维稳态水质模型模拟一定时间内浓度沿流程的变化；又若模拟的污染物为耗氧有机物（常用5日生化需氧量BOD5代表），其降解转化模型可用一级动力学反应方程，即：

式中：L代表t时刻水体中存留的BOD5浓度，mg/L，反映这时水体中有机物含量的大小。O代表t时刻水体中的溶解氧DO浓度，mg/L，反映此时水中含氧的多少。含氧多，则有利于水生物的生长和有机物分解转化（称降解），使水质保持清新；反之，含氧过少，则使水体变黑发臭。Os代表溶解氧饱和浓度，mg/L，为溶解氧DO的上限，与水温有一定关系，如式（4b）。K1代表BOD5的降解速率系数（d-1），表示单位时间内BOD5的相对减少率，与温度有关，如式（4c）。常温下，水温越高，水中微生物新陈代谢越旺盛，有机物降解快，K1较大；反之，K1较小。K2代表大气对水体的复氧速率系数（d-1），表示单位时间内大气对水体充氧的相对比率，与流速（流量）、水温等因素有关，如式（4d）。流速大，水流紊动强烈，易于掺气；水温高，耗氧快，有利于复氧，故K2大，反之，K2减小。结合一维水流连续性原理、能量守恒原理及物质平衡原理，便可导出这种情况下广泛使用的BOD5-DO确定性水质模型——Streeter-phelps模型：

式中：x代表河段上断面（起始断面）至下断面的距离，km；u代表河段的平均流速，km/d；L0、O0分别代表X=0处的BOD5、DO浓度，mg/L；其他符号意义同上。其中u、Os、K1、K2与河流流量Q（m3/s）、水温T（℃）有关，通过实测资料分析确定它们之间的关系，例如某河段：

该例反映的是一维、稳态下河流水质BOD5、DO状况与其影响因素间的必然联系，一组确定的输入将对应一组确定的输出。这些关系是在排除偶然性影响（如偶然性作用引起的波动，通过取平均的办法予以滤除）的情况下率定的。

2.2　随机变量的概率分布

这里指的影响河流水质变化的随机变量，主要有河川流量、水温、上断面的水质浓度及排污流量和浓度。其概率分布形式不尽相同，例如河川月平均流量的年际变化，可采用对数正态分布或皮尔逊Ⅲ型分布描述，其中有均值、离势系数和偏态系数三个统计参数。排污流量及其浓度围绕平均情况上下波动，如果主要是由控制生产的技术性能不稳定造成，则其变化与测验误差的波动比较类似，可采用正态分布或截头尾的正态分布描述，其中包含均值和均方差两个参数。实用上，可根据具体情况统计分析确定。为使叙述更具一般性，设xij，代表第i年第j月的随机变量值，如月平均流量，月平均水温等。以下结合本文需要，介绍两种概率分布及相应的随机模拟模型。

1.正态分布

将实测的某月同类变量xij，作经验频率计算，在几率格纸上点绘经验频率点据，若其分布近似为直线，如图1中的①线xi3-p，则说明属正态分布。

正态分布密度函数为

其中有两个统计参数：随机变量的均值，均方差S。它们可由下列公式计算：

式中：、Sxj、Cvxj分别为第j月某一随机变量x的均值、均方差和离势系数；i=1，2，…，n，n为实测资料年数；j=1，2，…，12为月数。

当绘在几率格纸上的经验频率曲线x-p明显不为直线时，则说明其分布为偏态，此时可考虑对数正态分布（如图1中的②线）、皮尔逊Ⅲ型分布进行配线，以确定其概率分布。分布的偏态程度，可由下式表达的偏态系数反映：

式中：Csxj可为第j月随机变量xij的偏态系数。由于实测资料的年数常常只有几十年，用该式计算的Csxj误差很大。因此计算值仅作参考，实用上则是在分布函数型式选定后，用配线法确定。

2.皮尔逊Ⅲ型分布

皮尔逊Ⅲ型分布是我国水文计算中广泛使用的随机变量概率分布类型，大量资料表明，降水、径流的概率分布都可采用这种形式。皮尔逊Ⅲ型分布的密度函数为：

式中均值、离势系数Cvx，偏态系数Csx按式（6）、式（8）、式（9）计算。

2.3　有关变量的随机过程模拟

在上步成果基础上，选择适当的随机模拟模型来模拟逐年逐月的河段上断面流量、水质浓度、水温和排污流量及浓度等。随机模拟模型视具体情况，参考有关文献选用。例如当xij服从正态分布并与上一时段变量xi，j-1关系比较密切时，可考虑用下面的季节性一阶自回归模型进行模拟：

式中：rxj为变量x上月（即j-1月）的值xi，j-1与该月（即第j月）的值xij间的相关系数，称一阶自相关系数；ti，j为标准正态分布N（0，1）下模拟的第i年第j月的随机数；其他符号意义同前。当模拟时段为一个月时，全年每月都有一个模拟方程（11）；rxj计算式为：

ti，j采用变换抽样法，任意多次抽取两个相互独立的[0，1]均匀分布的随机数u1、u2，按下式变换求得：

模拟时，由各月资料计算的、rxj、Sxj、Sxj-1代入式（11），得各月xij的模拟方程。假设初值xl，1，依次循环使用这些方程，即可模拟出x逐年逐月的随机过程。为了保证模拟的正确性，还必须对模拟的随机过程进行检查，看它的统计参数和频率曲线是否与实测资料（样本）一致，如果相符，认为模拟的随机过程是正确的；否则，应检查原因和改进。

当xij为皮尔逊Ⅲ型分布时，随机过程的季节性一阶自回归模型为：

已知xij逐月的统计参数：和rxj，且概率分布为皮尔逊Ⅲ型时，便能按上式建立各月的xij随机模拟模型。假设初值后，依次循环使用这些模型便可得到这种情况下的逐年逐月变化过程。

2.4　水质参数变化的随机模拟

根据水质实验、监测资料，确定水质参数的概率分布，联系已经模拟的流量、水温过程，便可模拟出同步的水质参数变化的随机过程。其模拟模型的一般形式为：

式中：K为某种水质参数，如BOD5的降解速率系数K1；Ki，j为第i年第j月的K值；K（Qi，j，Ti，j，…）为通过K与Q、T，…的关系式[如式（4c）、式（4d）]计算的K值；tij为N（0，1）分布下模拟的第i年第j月随机数；SK为偏离K（Qi，j，Ti，j，…）的均方差。该式中前面一项已考虑了随机变量Q、T的影响，因此，当SK不大时，可以不计ti，j，SK的作用，从而减少K值随机模拟的工作量。

2.5　河流水质变化的随机过程模拟

将2.3和2.4两步模拟的河川径流、水温、上断面水质浓度、水质参数和排污流量及其浓度的随机过程一起同步输入确定性水质模型，便可模拟或预测出设计地点的水质浓度变化过程，例如图2所示河段，假定已根据那里的水文、气象、水质资料建立了该河段的确定性水质模型为式（3），并按2.3和2.4所述的随机模拟方法模拟得断面A处的河川流量、水温、BOD5浓度、DO浓度、K1和K2的随机过程QA（t），TA（t），LA（t），OA（t），K1A（t），K2A（t），现在要模拟下游C处的河水BOD5、DO浓度的随机过程LC（t），OC（t）。

1.LC（t）的随机模拟

先模拟第1年第1月：①将模拟的第1年第1月A处的流量QA1.1代入式（4a），得AB河段x1间的平均流速uA1.1；②分别将第1年第1月的LA1.1、uA1.1、K1A1.1作为L0、u、K1和x=x1一起代入式（3a），求得上游在B断面的入流BOD5浓度；③将与B断面模拟的1月排污水量相混合，得混合后的河水流量QB1.1、流速uB1.1、BOD5浓度LB1.1、DO浓度OB1.1、BOD5降解系数K1B1.1，复氧系数K2B1.1，计算公式为：

式中：qB1.1、Lq1.1为B处第1年第1月的排污流量及其中的BOD5，浓度；④再将LB1.1，uB1.1，K1B1.1作为L0、u、K1与x=x2一起代入式（3a），即得C处第1年第1月模拟的BOD5浓度LC1.1。依次类推，即可模拟出C断面的逐年逐月BOD5浓度变化过程LC（t）。

2.OC（t）的随机模拟

类似LC（t）的模拟方法，可由已经模拟的L（t）及其他因素的随机过程，通过式（3b）模拟得C处的DO浓度随机过程OC（t）。

2.6　设计断面水质浓度分布曲线

对上述模拟设计断面某一水质浓度随机过程C（t），例如O（t），设一浓度值C，统计出不小于该值的持续时间tC，除以模拟的整个时间ts，得超过该值的概率P=tc/ts，依此求得一系列C值的概率P，即可绘出如图3所示的设计断面的水质浓度分布曲线（其中（a）（b）分别为BOD5的L-P及DO的O-P）。根据水质标准C′，如图3a中的L′，便可在图上查得超标的概率P′。