第一部分 理论与计算
半透水边界分级加载成层砂井地基固结模型研究
周红星
（1974—），工程师，岩土工程博士后，主要从事岩土工程等方面的科研和设计。
董志良
陈平山
实际工程中，由于排水垫层（如砂层）具有一定的透水性（渗透系数既非无穷大也非无穷小），并不能形成理想的排水边界或不排水边界，即半透水边界。现有固结分析中，边界条件简单视为完全透水或不透水边界，与实际相差较大。因此，本文将实际工程中的边界条件视为半透水边界，基于现有研究成果，推导多层地基砂井固结模型，并与实际工程对比研究。研究表明，半透水边界分级加载成层地基固结模型合理、可行。
1 引言
通常固结分析中，将边界条件处理成完全透水或不透水边界，但实际工程中，由于排水垫层（如砂层）具有一定的透水性（渗透系数既非无穷大也非无穷小），并不能形成理想的排水边界或不排水边界。因此，研究者把这种情况的边界条件就定义为半透水边界。同时，由于软基往往深厚，砂井（或排水板）并不能打穿软土地层。因此，在计算中，如何处理未打穿砂井地基固结问题成为研究的重点。对于第一个问题一些学者提出了半透水边界的概念，1945年Gray最早开展了这方面的研究工作，其后Schiffman（1970）、谢康和（1996a、1996c、1999a）、王奎华（1998）等相继开展了对半透水边界条件下一维固结问题的研究。刘加才（2004）也开展了相关研究工作，但其为简便，把下卧未打穿地层的固结看成为一维固结问题。考虑到成层砂井未打穿地基固结问题的复杂性，E.G.Hart等、谢康和和曾国熙针对单一土层提出了近似算法。陈根媛根据固结度相等的原则，把砂井长度范围内土层的三维固结转化为一维固结，即“等效双层地基法”。在等效转化过程中，平均固结度的选取对计算结果影响比较大，且很难考虑井阻或涂抹效应。
为寻求深厚复杂地层中砂井未打穿地基固结计算方法，本研究基于已有研究成果，将未打穿的下卧层中，位于砂井底面以下的（半径）视为“虚拟砂井”，其固结系数等效于下卧层的相应值，考虑其三维固结的实际情况。同时，考虑地基上部砂垫层的排水作用，即半透水边界。最终建立分级加载半透水边界砂井地基固结模型。
本文首先研究一次加载作用下多层砂井地基半透水边界固结分析，再扩展至分级加载固结计算，后研究真空联合堆载条件下固结模型，最后以某一工程为例进行计算分析。
2 计算模型
图1为本文所研究的双层砂井未打穿地基模型，顶面为半透水边界，底面为不透水边界，上面作用有荷载q，假设荷载不随时间变化，砂井、涂抹区和砂井影响区的半径分别为rw、rs、re，井径比n=re/rw，s=rs/rw，Hi为第i土层的厚度，为计算简便，本文将第2层未打穿部分按下卧层对待，列为第3层，其参数可以与第2层相同。在下卧层中，位于砂井底面以下的土柱厚度等于下卧层的厚度，半径等于砂井的半径）仅发生向上渗流，视为“虚拟砂井”，其渗透固结系数等于下卧层的相应值。因此，双层砂井未打穿地基固结模型，可转换为3层打穿固结模型。采用Tang（2000）求解瞬时荷载作用下双层地基砂井地基的基本假定，其中砂井顶部为半透水边界，即：
（1）各层满足均质砂井地基等应变固结理论。
1）等应变条件成立。即砂井打设区同一深度的平面上任一点的垂直变形相等，无侧向变形发生。
2）砂井打设区内任一深度从土体中沿井周流入砂井的水量等于砂井中向上水流的增量。
3）砂井打设区内涂抹区受扰动的体积压缩系数与未受扰动的土体的体积压缩系数相同。
4）砂井内超静孔隙水压力沿径向变化很小，可忽略。
（2）各层之间的接触面满足。
1）接触面上砂井的孔压和流量对应相等。
2）上下两层接触面上平均孔压和流量相等。
（3）砂井顶部满足半透水条件。
图1 半透水边界成层砂井未打穿地基固结计算简图
3 控制方程、连续条件和边界条件
3.1 控制方程
涂抹区的控制方程：
式中 i——土层编号；
γw——水容重；
us——土层中涂抹区中任意一点的超静孔隙水压力；
mv——土层的体积压缩系数；
——土层中任一深度水平面上土体的平均超静止孔隙水压力。
ui可用下式表示：
自然土区的控制方程：
式中 un——自然土区中任一点的超静孔隙水压力。
砂井打设区各土层中任一深度从土体中沿井周流入砂井的水量等于砂井中向上水流的增量，用偏微分方程表示为：
式中 uw——土层砂井内任一深度的超静止孔隙水压力。
根据上节假设，第3层的控制方程为：
3.2 连续条件
3.2.1 各土层径向连续条件
3.2.2 土层之间的接触面上竖向连续条件
以第2层与第3层间为例，其余类似，z=H1+H2：
3.3 边界条件
仅列出砂井顶面，半透水边界条件，其他与文献相同：
3.4 初始条件
4 方程求解
Tang和Onitsuka（2001）和刘加才（2004）对双层半透水边界条件下砂井地基固结方程进行了求解，具体可参考上述文献，本文不在此赘述，只列出
、uwi的通解表达式。
式（12）中，ξmi为不连续正数序列，有无穷多个数。Am、ami、bmi、cmi、dmi均为待定系数，i=1，2，3，…，n。由于在两土层交界面上任一时间t孔压消散情况相同，可得Tm1（t）=Tm2（t）=Tm3（t），因此
上述方程利用连续、边界条件，其求解方程最终可写为矩阵形式。
式中，P12、Q12、P23、Q23分别为4×4矩阵。因此，S为12×12的矩阵，X=［X1X2X3］T，X1、X2、X3分别为第1、第2、第3层表达式中系数列向量，共有12个变量，其形式为：
Xi=［ami bmi cmi dmi］T
显然，要使方程S×X=0有不全为零的解，必须满足：
5 分级加载计算
对于图2这样的分级加载条件，由于其固结控制方程为线性偏微分方程，且边界条件为其次边界条件，满足数学模型中解叠加原理。因此，可通过荷载分解的方式求分级荷载作用下成层砂井未打穿地基的固结解答。
图2 荷载分解图
根据叠加原理，问题可分为n+1个子题，对应于i=1，2，…，n-1，n。i子问题对应于qi（t），初始孔压
，则问题所对应的孔压解应等于n+1个子问题解之和，即
。
因此，单一荷载中将其视为瞬时加载1个单位应力所对应的孔压解，分级荷载条件下的孔压和固结度计算即可按下列式子求得：
其中，
根据3节初始条件
时所对应的孔压解。
6 工程应用
以珠海港高栏港区神华煤炭储运中心一期工程软基处理I标段真空联合堆载预压试验区为依托工程，利用上述固结解析解来分析真空联合堆载预压过程中固结问题。
工程采用塑料排水板作为排水材料。井径比取n=8。涂抹区半径与砂井半径之比，参照《建筑地基处理技术规范》（JGJ 79—2012），取s=2.0。涂抹区渗透系数参照JGJ 79—2012，取ks=
，其中kh为土层水平渗透系数。砂井渗透系数kw=1×10-2cm/s。
图3 地层计算示意图
排水垫层采用砂垫层，厚2.5m，其他具体层厚详见图3。其他计算参数见表1。
表1 土层参数一览表
由于真空联合分级加载半透水地基固结计算公式比较复杂，因此，采用Matlab进行编程计算。
图4 加载过程图
图5 理论固结度与实测固结度对比图
由图5表明，本文提出的真空联合分级加载半透水边界数学模型与实测值相差不大，模型是合理和正确的。但应指出本数学模型仍比较复杂，需考虑实际条件，进行简化，以利于指导设计和施工。
7 结论
本文通过理论计算分析，并与工程的实测结果进行了比较，主要得出了如下结论：
（1）根据实际排水边界条件，提出了半透水边界条件下砂井地基固结模型，计算结果表明，考虑半透水边界所得的固结度比完全透水边界条件下的固结度要小20%～30%，这种差距随着时间因子的增大而减小，并将最终趋于相同，因此，考虑这种影响将有利于客观地评估固结度，合理确定卸载时间。
（2）对于砂井未打穿，视砂井贯穿至下卧层，该下卧层段视为“虚拟井”，该“虚拟井”的渗透固结系数与下卧层相同，建立了多段竖向排水等应变固结模型，把砂井未打穿简化为成层砂井打穿处理，计算模型更加符合实际，使得边界条件与连续条件的处理和数值计算简化。
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