2.3 数据矩阵_MATLAB金融风险管理师FRM（高阶实战）-QQ阅读男生武侠网

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2.3　数据矩阵

列方向数据矩阵X（n行，q列）每一行看作是一个观察点，每一列代表一个维度；即X数据矩阵为q元随机数矩阵，有n个观察点。图2.12展示三维直角坐标系中三维数据（q = 3）。必须指出，虽然数据在直角坐标系中呈现，但这并不意味着数据列向量正交，即列方向线性相关性为0。数据列向量之间相关性要借助统计学工具来确定。

图2.12　在三维直角坐标系表达X

为配合MATLAB矩阵运算，本书一般采用列方向数据矩阵形式。请读者注意，很多文献采用行方向数据矩阵X，将每一行代表一个维度，而每一列代表一个观察点。列方向数据矩阵X（n行，q列）转置便得到行方向数据矩阵X^T（q行，n列）。

一元数据x₁均值（中位数或众数）、方差（或均方差）、分位点、偏度和峰度为常见的几个统计学特征，如图2.13所示。

图2.13　数据x₁统计学特点

数据x₁期望值E（x₁），即均值，可以通过下式求得：

其中，l为全1列向量，列数和x₁一致；E() 计算期望。x₁期望值E（x₁）便是x₁数据中心，去中心化列向量通过下式获得：

其中，ll^T为l向量和其转置l^T乘积；为中心化计算矩阵。

如果x₁为总体，数据x₁方差通过下式获得：

如果x₁为样本，数据x₁方差通过下式获得：

多列向量数据矩阵X期望值E（X）通过下式计算获得：

整理上式得到两个等式：

对于列方向数据矩阵X，下式获得去中心化数据矩阵：

其中，l为全1列向量，和X有相同行数。

X列向量总体方差-协方差矩阵通过下式计算获得：

X列向量样本方差-协方差矩阵通过下式计算获得：

下面用两元数据来看一下几个常见数据统计学性质。对于两个维度数据，协方差研究它们之间线性相关性。比如图2.14中x₁和x₂这两例数据，下式计算获得两者总体协方差和样本协方差：

图2.14　数据x₁和x₂统计学特点

丛书第三册数学部分介绍过向量内积和数据方差、协方差存在诸多相似性，这种现象又叫作余弦相似性（cosine similarity）。x₁和x₂方差-协方差矩阵（variance-covariance matrix）如下：

Σ包含有关数据大量统计学信息，如图2.14所示。下面用之前讲到特征值分解和SVD分解对数据本身和方差-协方差矩阵做进一步分析。

方差-协方差矩阵Σ特征值分解得到如下等式：

V包含着两个特征向量v₁和v₂，即V = [v₁, v₂]；Λ为特征值矩阵，具体如下：

v₁和v₂为正交系，λ₁和λ₂为数据在v₁和v₂方向上方差。若x₁和x₂线性相关系数为0，则x₁和x₂正交，如下例：

x₁方差为5，x₂方差为1。用mvnrnd() 函数生成1000个中心位于原点，满足如上方差-协方差关系二元随机数组，如图2.15所示。图2.15绘制v₁和v₂两个特征向量。图中v₁和v₂这两个向量长度正比于数据在这两个维度上均方差，即特征值平方根。请读者回顾丛书第三册第2章介绍的马哈距离（Mahalanobis distance, Mahal distance）。

图2.15　二元随机数组（方差-协方差矩阵为[5, 0; 0, 1]，中心位于原点）

对二元随机数矩阵X = [x₁, x₂] 进行奇异值SVD分解：

其中，矩阵V形状为2×2。不考虑随机数数据数量影响，或特征值从大到小或者从小到大排列问题，SVD分解得到的方阵V和特征值分解得到的V一致。

若方差-协方差矩阵Σ取值如下：

x₁方差为1，x₂方差为5，两者线性无关。图2.16展示用mvnrnd() 函数生成1000个中心位于原点，满足如上方差-协方差关系二元随机数，以及v₁和v₂两个特征向量。

图2.16　二元随机数组（方差-协方差矩阵为[1, 0; 0, 5]，中心位于原点）

若方差-协方差矩阵Σ取值如下：

x₁和x₂方差均为3，两者线性相关系数大于0。图2.17展示1000个二元随机数，中心位于原点，满足如上方差-协方差关系。图2.17同时给出v₁和v₂两个特征向量。特征值分解Σ得到：

图2.17　二元随机数组（方差-协方差矩阵为[3, 2; 2, 3]，中心位于原点）

沿着v₂（= [-0.7071; 0.7071]）和v₁（= [0.7071; 0.7071]）两个特征向量方向，数据方差值分别为1和5；换句话说，以上特征值大小描述新正交空间中各个方向数据分散集中程度。

若方差-协方差矩阵Σ取值如下：

x₁和x₂同样均为3，两者线性相关系数小于0。特征值分解Σ得到：

同样得到，沿着v₂（= [0.7071; 0.7071]）和v₁（= [0.7071; -0.7071]）两个特征向量方向，数据方差值分别为1和5，如图2.18所示。如下代码获得图2.15～图2.18：

B4_Ch1_3.m

clc; clear all; close all
SIGMA = [5,0;0,1];
% SIGMA = [1,0;0,5];
% SIGMA = [3,2;2,3];
% SIGMA = [3,-2;-2,3];

num   = 1000;
X = mvnrnd([0,0],SIGMA,num);
sigma = cov(X)
[V_eig_original,LAMBDA_eig_original] = eig(SIGMA)
[V_eig,LAMBDA_eig] = eig(sigma);
[V_pca,Z,LAMBDA_pca] = pca(X);
V_PC1 = V_pca(:,1)*sqrt(LAMBDA_pca(1));
V_PC2 = V_pca(:,2)*sq rt(LAMBDA_pca(2));
centers = mean(X);
center_x = centers(1); center_y = centers(2);

figure(1)
plot(X(:,1),X(:,2),'.'); hold on
plot(center_x,center_y,'ok')
h = quiver(center_x,center_y,V_PC1(1),V_PC1(2));
h.AutoScaleFactor = 3;
h = quiver(center_x,center_y,V_PC2(1),V_PC2(2));
h.AutoScaleFactor = 3;
daspect([1, 1,1]); xlim([-8,8]);  ylim([-8,8]);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2')