1.2 有限元法的分析过程

有限元法的基本思想是将连续的结构离散成有限个单元，并在每一个单元中设定有限个节点，将连续体看作是只在节点处相连接的一组单元的集合体；同时选定场函数的节点值作为基本未知量，并在每一个单元中假设一近似插值函数以表示单元场中场函数的分布规律；进而利用力学中的某些变分原理建立用以求解节点未知量的有限元方程，从而将一个连续域中的无限自由度问题转化为离散域中的自由度问题。一经求解就可以利用解得的节点值和设定的插值函数确定单元上以至整个集合体上的场函数。有限元法的分析过程可以分为如下5个步骤。

（1）结构离散化

离散化就是指将所分析问题的结构分割成有限个单元体，并在单元体的指定点设置节点，使相邻单元的有关参数具有一定的连续性，形成有限元网格，即将原来的连续体离散为在节点处相连接的有限单元组合体，用它来代替原来的结构。结构离散化时，划分单元的大小和数目应当根据计算精度和计算机的容量等因素来确定。

（2）选择位移插值函数

为了能用节点位移表示单元体的位移、应变和应力，在分析连续体问题时，必须对单元中位移的分布做出一定的假设，即假定位移是坐标的某种简单函数（插值函数或位移模式），通常采用多项式作为位移函数。选择适当的位移函数是有限元法分析中的关键，应当注意以下几个方面。

1）多项式项数应等于单元的自由度数。

2）多项式阶次应包含常数项和线性项。

3）单元自由度应等于单元节点独立位移的个数。

位移矩阵：

式中，{f}为单元内任意一点的位移，{δ}为单元节点的位移，[N]为行函数。

（3）分析单元的力学特性

1）利用几何方程推导出用节点位移表示的单元应变：

式中，{ε}为单元应变，[B]为单元应变矩阵。

2）由本构方程可导出用节点位移表示的单元应力：

式中，[D]为单元材料有关的弹性矩阵。

3）由变分原理可得到单元上节点力与节点位移间的关系式（即平衡方程）：

式中，[k]^e为单元刚度矩阵：

（4）集合所有单元的平衡方程，建立整体结构的平衡方程

即先将各个单元的刚度矩阵合成整体刚度矩阵，然后将各单元的等效节点力列阵集合成总的载荷阵列——称为总刚矩阵[K]：

由总刚矩阵形成整个结构的平衡方程：

（5）由平衡方程求解未知节点位移和计算单元应力

有限元求解程序的内部过程如图1-1所示。因为单元可以设计成不同的几何形状，所以可以灵活地模拟和逼近复杂的求解区域。很显然，只要插值函数满足一定的要求，随着单元数目的增加，解的精度也会不断提高而最终收敛于问题的精确解。虽然从理论上来讲，不断增加单元数目可以使数值分析解最终收敛于问题的精确解，但是却大大增加了计算机的运行时间。而在实际工程应用中，只要所得的解能够满足工程的实际需要就可以。因此，有限元法的基本策略就是在分析精度和分析时间上找到一个最佳平衡点。