卡尔·史瓦西：知道太多的人

我已经失去了

头顶上的所有星星

——埃弗里兄弟（The Everly Brothers），
《再见，我的爱》歌词［37］

19世纪的数学家终于意识到了人们在几个世纪之前就该意识到的事情：他们从没想过除了欧几里得几何之外，是否还有其他不同的几何体系可以用来描述宇宙。欧几里得几何，又称欧氏几何，是关于平面上一系列的点、线、角的经典描述，也是我们通常所习惯的几何体系。认为欧氏几何是唯一可以用来描述宇宙的几何逻辑系统是根植在科学家内心深处的偏见。在人们心目中，欧氏几何已经不仅仅是一种数学“游戏”，而是一套关于事物本质的绝对真理，是这个世界最真实的样子——只需给定一个起点和一套规则，所有可能的几何结果都能计算出来。每当神学家、科学家或哲学家要探求上帝的终极本质，或是有人质疑我们是否真正了解了宇宙真理时，他们就会援引欧氏几何学，并以此来证明人类已经掌握了一部分终极真理。为什么很多人会用欧几里得几何的风格来写自己的论著？因为欧氏几何就是黄金标准。

然而，在曲面（如球面或马鞍面）上也可能存在着逻辑自洽的几何学，这一点对那些已经凭着直觉运用了它们几百年的航海家或是艺术家而言或许没什么惊人的，但这个观点却给人类思想带来了一次意想不到的革命。突然之间，可能存在的几何学就多了好几种，并且每种都是以一套公设为基础的自洽逻辑体系，没有哪一种敢说自己最特殊或比其他的体系更接近终极真理。最后，几何学乃至整个数学领域对待公理和法则的态度都发生了转变：不同的公理和法则体系都可以作为自洽的逻辑系统而存在，但这并不意味着它们必然与现实的物理世界相关联。

非欧几何最简单的例子，就是正曲率曲面或负曲率曲面上的几何学。图2.7展示了一个花瓶，这个花瓶的表面相当复杂，同时包含了曲率为正、为负和为零的曲面（曲率为零时也就是平面了）。怎么判断一段表面的曲率是正、是负还是零呢？一个简单的方法就是在这个表面上取三个点A、B、C，分别画出连接A与B、B与C、A与C之间距离最短的线。如果这个表面是平面，那这三条线都是直线，ABC就是一个普通的三角形，其内角和为180°。

不过，在正曲率曲面，例如球面上，A、B、C彼此之间距离最短的连线就不是“直”线了，它们会是以球心为圆心的圆弧线——地球上不同大洲的两地之间飞机消耗燃料最少的洲际航线（不考虑风的影响）叫作“大圆航线”，而这个“大圆航线”也属于这类弧线。A、B、C彼此之间的三条弧线形成了一个边向外凸起的“三角形”，其内角和大于180°，这就是正曲率曲面的标志。与此类似，在负曲率曲面（如马鞍、薯片、冬青树叶、羽衣甘蓝的叶子［38］）上，三角形的内角和要小于180°。

图2.7　在曲面上将三个点两两之间用距离最短的线连起来，就构成了一个三角形。正曲率区域（如花瓶顶端的位置）三角形的内角和大于180°，负曲率区域（如瓶颈处）三角形的内角和小于180°，而在它们之间的某处曲率为零的区域，三角形的内角和正好为180°。

有些时候曲率并不一定符合我们的直觉，比如，想象一个圆柱的侧面，你可能会觉得它有曲率，然而并不：如果在一张平面的长方形纸上画一个普通的三角形，它的内角和显然就是180°。现在我们让三角形朝外，把这张纸卷成圆柱状，圆柱表面的三角形内角和仍然是180°。因此，在这个意义上来说，圆柱表面并不是局部弯曲的（图2.8）。

卡尔·史瓦西是一位天才，在他的想法真正产生影响力的时候，他却已经去世了。他死于1916年3月，只活了42岁。史瓦西在恒星、星系和引力理论方面有许多发现，并为如今充斥在我们宇宙中的黑洞找到了准确的描述，还为爱因斯坦革命性的相对论的实验验证奠定了基础。然而，早在那之前的1900年，他就用刚刚诞生不久的弯曲几何学描绘出了一幅崭新的宇宙图像。他在1900年7月德国天文学会的一次会议中做了一个演讲，他在演讲中提出：描述宇宙的几何学并非像欧氏几何这样的平直几何学，而可能是弯曲的非欧几何学。非欧几何学最初是由瑞士数学家约翰内斯·朗贝尔（Johannes Lambert）和意大利教会数学家乔万尼·萨凯里（Giovanni Saccheri）在18世纪早期设想出来，随后的19世纪早期，黎曼、高斯、鲍耶、罗巴切夫斯基［39］等人又进一步发展了它。［40］这些新的几何学并没有受到所有物理学家和天文学家的欢迎，哪怕是像詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell）这样有远见的物理学家，都曾经在1874年给苏格兰老朋友［41］彼得·泰特（Peter Tait）写的明信片［42］上将非欧几何学的支持者称为“把空间弄皱的人”。

史瓦西首先意识到，如果宇宙的曲率是负的，那么根据罗巴切夫斯基的结论，恒星的视差（地球在公转轨道上的位置变化导致在地球上观察到的恒星相对位置也有相应的变化，利用这一点可以测量恒星离地球的距离）就存在一个最小值。因此，他推导出宇宙空间的曲率半径要大于60光年。更有趣的是，他随后又考虑了宇宙曲率为正的情况，并得出结论：如果宇宙曲率是正的，那么宇宙就会是一个有限而无界的空间，类似一个球的表面，是自我闭合的。［43］

图2.8

史瓦西发现，已经测量到视差的100颗恒星，以及其他视差太小（小于0.1秒差距）以至于无法观测的1亿颗恒星，可以很好地放进一个正曲率、曲率半径为2,500光年的球形空间，并且不至于太拥挤。他还提到，如果我们处于这样的宇宙空间，并面向跟太阳相反的方向，理论上［44］我们也能看到太阳，因为光线会绕过“球面”到达我们的眼睛。

“一战”爆发时，卡尔·史瓦西自愿服兵役上了战场。在俄国当兵时，他写出了两篇非凡的论文，一篇关于量子理论，［45］一篇关于爱因斯坦的相对论，其中的任何一篇都足以让他获得诺贝尔奖。可惜的是，1916年，他罹患天疱疮——一种因免疫系统崩溃导致的严重皮肤病，这种病在当时无药可医。当年3月，他被送回家休养，仅仅两个月之后就去世了。

到这里，20世纪之前的旧宇宙观就结束了。19世纪的宇宙观平淡无奇，直到世纪末才有了一些变化，而史瓦西的想法几乎没有引起任何人的注意。尽管古人提出了各种各样的模型，但19世纪末人们对宇宙的观点只剩下以下两种中的二选一：宇宙要么由多个像银河系这样的星系组成，要么只有一个银河系，这个银河系中包含着正在孕育恒星的遥远的星云。不过，在此之后的人类思想即将迎来一次巨大的变革。