1.2　光的基础

一提到光，人们会立刻联想到太阳光和电灯光。光是一种电磁波，太阳光和电灯光可以被看成波长在可见光范围内的电磁波的混合体。与此相反，光纤通信使用的激光器发出的光则是单色光，具有极窄的光谱宽度。点光源是只有几何位置而没有大小的光源。在自然界，理想的点光源是不存在的，但是对于均匀发光的小球体，如果它本身的大小和它到观察点的距离相比小得多，我们就可以近似地把它看成点光源。激光器发出的光也可以看成点光源。光线是光向前传播的一条类似几何线的直线。把有一定关系的一些光线的集合称为光束。

1.2.1　光的本质——波动性和光子性

光具有两种特性，即波动性和光子性[13]，下面分别加以介绍。

1. 光的波动性

1864年，麦克斯韦（Maxwell）通过理论研究指出，和无线电波和X射线一样，光是一种频率很高的电磁波，是电磁波谱的一个组成部分。电磁波频率与波长的换算如图1.2.1所示。单频光称为单色光。光纤通信使用850～1 550nm的近红外线，具有反射、折射、衍射、干涉和衰减等特性。

1888年，德国物理学家赫兹首先用人工的方法获得了电磁波，并且通过电谐振接收到它，这就证实了电磁波的实际存在。后来又通过实验发现，电磁波在金属表面上要反射，在金属凹面镜上反射后会聚焦，通过沥青棱镜时要发生折射等现象，从而证实了电磁波在本质上跟光是一样的。

1891—1893年，科学家们分别用实验的方法测出了电磁波的传播速度，它和光的传播速度近似相等。

利用光的波动性可解释光的反射、折射、衍射、干涉和衰减等特性。利用光的反射、折射又可以解释多模光纤传输光的原理，利用光的衍射和干涉又可以解释许多光纤通信器件如滤波器、复用/解复用器、光调制器、激光器和半导体光放大器（Semiconductor Optical Amplifiers，SOA）等的工作原理。

在均匀介质中，可用麦克斯韦波动方程弱导近似形式描述，即

式中，▽2是二阶拉普拉斯运算符；υ是在均匀介质中的波速；E和H分别是电场和磁场。

光波可以用频率（波长）、相位和传播速度来描述。频率是每秒传播的波数，波长是在介质或真空中传输一个波（波峰-波峰）的距离。频率用Hz、MHz、GHz或THz表示，波长用μm或nm表示。

【例1.2.1】“1”码内的光振荡数量

用脉冲信号对光强调制，使用波长为0.82μm的LED，请问当脉冲宽度为1ns时，在“1”码时有多少个光振荡？

解：已知λ=0.82μm，所以光频率f=c/λ≈3.6585×1014Hz，光周期T=1/f=2.7334×10-15s。已知脉冲宽度为1ns，所以在该脉冲宽度内的光振荡（周期）数是

N=Tele/T=10-9/（2.7334×10-15）≈365 845

2. 光的光子性

利用光的波动性可以解释很多现象，但是很多时候光的行为并不像一个波，而更像是由许多微粒组成的集合体，这种微粒称为光子，这种假设由爱因斯坦1905年在普朗克量子概念的基础上提出。单色光的最小单位是光子，光子能量可以描述为

式中，h是普朗克常量，单位焦耳·秒（J·s）；ν是光子频率。光子能量E与它的频率ν成正比，光子频率越高，光子能量越大。光子能量用电子伏特（eV）表示，1eV就是一个电子电荷经过1V电位差时，电场力所做的功。

像所有运动的粒子一样，光子与其他物质碰撞时也会产生光压。光也是一种能量的载体，当光子流打到物质表面上时，它不但要把能量传递给对方，也要把动量传递给对方，而且也遵守能量守恒定律和动量守恒定律。为了验证上述说法的正确性，可用如图1.2.2所示的光电效应实验装置进行实验。在一个抽成真空的玻璃容器内，装有阳极A和金属锌板的阴极K。两个电极分别与电流计G、伏特计V和电池组连接。当光子照射到阴极K的金属表面时，它的能量被金属中的电子全部吸收，如果光子的能量足够大，大到可以克服金属表面对电子的吸引力，电子就能跑出金属表面，在加速电场的作用下，向阳极A移动而形成电流，这种现象就称为光电效应。实验表明，使用可见光照射时，无论光强多么大，照射时间多么久，电流计中总是没有电流；但使用紫外线照射时，无论光强多么微弱，照射时间多么短暂，电流计中总是有电流，说明金属板上有电子跑出来。这是因为可见光的频率低，光子能量小，小于锌的电子溢出功；而紫外线的频率高（见图1.2.1），光子能量大，大于锌的电子溢出功。由于爱因斯坦利用光量子概念，从理论上成功地解释了光电效应现象，因此他于1912年获得了诺贝尔物理学奖。

1936年实验证明，当双折射晶片内产生圆偏振光时，这个晶片会经受着反作用的转矩。

光在不同的介质中具有不同的传播速度，在真空中它以最大的速度直线传播，光子能量可用爱因斯坦方程描述，即

式中，m是光子质量，单位为kg；c是光速，单位为km/s。频率ν、波长λ和光速c的关系为

用它可进行电磁波频率与波长的换算。图1.2.1中标出了光通信所用到的波段。

从式（1.2.2）和式（1.2.3）可以得到ν=mc2/h和m=hν/c2。光的传播特性如图1.2.3所示。当光通过强电磁场时，由于相互作用，它的运动轨迹要改变方向，电磁场越强，改变越大，如图1.2.3（a）所示。当光通过比真空密度大的介质时，光传播速度要减慢，如图1.2.3（b）所示，其减慢的程度与介质折射率n成反比，即式（1.2.1）中的波速变为

v=c/n

式中，是真空中的光速，c=3×108m/s，ε0为真空介电常数，μ0是真空磁导率；为介质折射率。

光的光子性可以用来度量光接收机灵敏度，例如，“0”码不携带能量时，用每比特接收的平均光子数表示光接收机灵敏度，它的使用相当普遍，特别是在相干通信系统中，光探测器的量子极限是10，即。但大多数光接收机实际工作的远大于量子极限，通常。

【例1.2.2】光探测器每秒接收的光子数

0.8μm波长的光以1μW的光功率入射到光探测器上，请问光探测器每秒接收的光子数是多少？

解：从式（1.2.2）和式（1.2.4）可知，一个0.8μm波长的光子能量是

E=hν=hc/λ≈2.48×10-19J

因为光功率是单位时间产生的能量，所以1s产生的能量E=Pt，1μW的光功率在1s的时间间隔内就产生1μJ的能量。该能量可产生的光子数是

如果时间从1s减少到1ns，我们仍然可以接收到4000个光子，7.5节介绍的相干光接收机NP<100是很容易实现的，而普通光接收机NP>1 000。

1.2.2　均匀介质中的光——光是电磁波

1. 平面电磁波

光是一种电磁波（Electromagnetic Wave）。电磁波是行波，它的电场Ex和磁场Hy随时间不断变化，在空间沿着z方向总是相互正交传输的。作为行波电磁波的光的传输如图1.2.4所示。最简单的行波是正弦波，沿z方向传输的数学表达式为

式中，Ex是随时间t在z方向传输的电场；Eo是波幅；ω是角频率；k是传输常数或波数，k=2π/λ，这里λ是波长；?o是相位常数。考虑到在t=0和z=0时，Ex可以是零也可以不是零，这要由起点决定。（ωt-kz+?o）称为波的相位，用?表示。式（1.2.5）描述的是沿z方向无限传播的单色平面波。在任一垂直于传播方向z的平面上，由式（1.2.5）可知波的相位是个常数，也就是说在这一平面上电磁场也是个常数，该平面称为波前。平面波的波前很显然是与传播方向正交的平面。沿z方向传播的平面电磁波在指定平面上的任一点具有相同的Ex或Hy，所有电场在xy平面同向，如图1.2.5所示[1][4]。

由电磁理论可知，随时间变化的磁场总是产生同频率随时间变化的电场（法拉第定律），同样，随时间变化的电场也总是产生同频率随时间变化的磁场，因此电场和磁场总是以同样的频率和传播常数（ω和k）同时相互正交存在，如图1.2.4所示。所以，也有与式（1.2.5）表示的Ex类似的磁场Hy行波方程。通常，我们用电场Ex描述光与非导电材料（介质）的相互作用，今后，凡提到光场就是指电场。我们也可以用指数形式描述行波，因为cos?=Re[exp（j?）]，这里Re指的是实数部分。于是式（1.2.5）可以改写为

式中，Ec=Eoexp（j?o）表示包括相位常数?o的波幅。

在图1.2.5中，波前沿矢量k传播，k称为波矢量，它的幅度是传播常数，即k=2π/λ，显然它与恒定的相平面（波前）垂直。波矢量k可以是任意方向的，并可以与z方向不一致。

在时间间隔δt内，波前移动了δz，因此该波的相速度是δz/δt。于是相速度为

式中，ν是频率（ω=2πν）。

假如波沿着z方向沿波矢量k传播，被Δz分开的两点间的相位差Δ?可用kΔz简单表示，假如相位差是0或2π的整数倍，则两个点是同相位的，于是相位差Δ?可表示为[4]

我们经常对光在给定时间被一定距离分开的两点间的相位差感兴趣，如光的干涉和衍射、由马赫-曾德尔干涉仪构成的滤波器、复用/解复用器和调制器，由阵列波导光栅构成的诸多器件（滤波器、波分复用/解复用器、光分插复用器和波长可调/多频激光器等），以及由电光效应制成的外调制器和由热光效应制成的热光开关等，它们的工作原理均用到这一相位差的概念，本书以后有关章节也会经常用到这一概念，并使用式（1.2.8）。

2. 麦克斯韦波动方程

电磁波的种类如图1.2.6所示。图1.2.6（a）表示沿z方向传播的平面波，它所有恒定的相位面都是与z方向垂直的xy平面。它是平行于z方向的平面波，与z方向成直角的平行浅色线表示波前，通常波前用相位2π或一个波长λ来分开。波矢量k是波前表面P点的法线，它表示波从P点传播的方向，显然，每一点的传播矢量都是平行的。平面波的幅度Eo与参考点的距离无关，在垂直于k的同一平面上的所有点都相同，即与x和y无关。而且，在平面波中，当这些平面扩展到无限远时，其能量也能保持不变。这是理想的平面波，在分析许多电磁波现象中是很有用的，但实际是不存在的。

实际上，有许多种类的电磁波，它们必须遵守描述电场的时间和空间的有关波动方程。在均匀和线性介质中，即相对介电常数（εr）在所有方向都相同（即与电场无关），电场E必须遵守麦克斯韦波动方程，即

式中，μo是介质的绝对（真空）磁导率，εo是介质的绝对（真空）介电常数，εr是介质的相对介电常数。式（1.2.9）假定介质的电导率为零。为了找出电场的时间和空间的关系，我们必须利用初始和边界条件对式（1.2.9）求解，结果表明，式（1.2.5）描述的平面波满足式（1.2.9），另外许多种类的电磁波也满足式（1.2.9）。

球面波是一种从电磁波的波源发出的传播波，如图1.2.6（b）所示，它的幅度随着从源头开始的距离r的增大而衰弱，距源头r的任一点的电场为

式中，A是常数。把式（1.2.10）代入式（1.2.9），结果表明，式（1.2.10）是麦克斯韦波动方程的一个解。

图1.2.6（c）所示的是一种接近实际的扩散波。光扩散是指在给定的波前上，波矢量分开的角度，球面波有360°的光扩散。平面波和球面波表示波传输的极端情况，它们完全平行于扩散波矢量，平面波的波源无限大，而球面波的波源是点光源。在许多光学解释中，在离光源很远的一个很小的区域内，波前将接近平面，尽管它实际上是一个球面，图1.2.6（a）所示的平面波是巨大球面的一个极小部分。

许多光束，如激光器的输出可用高斯光束来描述。沿z方向传播的高斯光束如图1.2.7所示。该光束的传输特性仍然可用exp j（ωt-kz）描述，但是它的幅度不但以光束轴线为中心在空间变化，而且从源头开始向外辐射时也在变化。这种光束与图1.2.6（c）所示的扩散波类似，即沿z方向任一点光束横截面的分布都是高斯分布。定义z方向上任意一点的光束直径为2w，该点光束横截面积为πw2，包含了85%的光束功率，w称为模场半径，高斯光束光强分布为

式中，e是自然对数，e0=01；I0是r=0时的光强。于是，2w随光束沿z方向传播时增大。

高斯光束以有限的宽度2wo从O点开始，沿z方向传播时光束逐渐扩散，波前也由平行变成弯曲。波前平行的地方，宽度为2wo，称为光束的收敛，wo是收敛半径，2wo是光斑尺寸。光束直径随距离z线性增加，2θ称为光束的扩散角。光束的收敛半径越大，其扩散角越小，即

该式定义了高斯光束可以聚焦的最小光斑尺寸。

【例1.2.3】扩散角

考虑一个波长为633nm的He-Ne激光器，光斑尺寸为10mm，假设它发出的光束是高斯光束，问光束的扩散角是多少？

解：根据式（1.2.11）可得

1.2.3　相速度和折射率

1. 介电常数、各向同性、各向异性

当电磁波在介质中传播时，振荡的电场以其波动频率极化介质的分子，产生分子偶极子。可以认为，电磁波传播是该极化在介质中的传播，电场和它引入的分子偶极子共轭存在。极化机理使电磁波在介质中传播要比在真空中传播延迟了一段时间。电磁波在介质中传播时，电场和它产生的分子偶极子相互作用的程度可用相对介电常数εr表示。当电磁波在相对介电常数εr的非磁介电质中传播时，其相速度为

假如电磁场的频率是在光频率范围内的，电场产生的介质极化是离子极化，它要比分子极化慢一些，相速度也更慢一些。对于在自由空间传播的电磁波，εr=1，真空中的光速。介质折射率n是光在自由空间的速度与它在介质中的速度之比，即

由此可见，介质折射率n与材料的介电常数εr有关。

假如k是自由空间波矢量（其幅值为‖k‖=2π/λ），λ是自由空间波长，介质中的波矢量kd和波长λd分别为kd=nk和λd=λ/n，所以光在介质中的波长要比在真空中的短一些，但其频率仍相同。由式（1.2.13）可知，由于光在密集介质中传输更慢，所以具有较大的介质折射率。在非晶体材料（如玻璃和液体）中，材料结构在所有方向都相同，n与方向无关，称为各向同性（Isotropic）折射率晶体，如非结晶固体玻璃、液体和立方晶体。然而，在晶体中，原子的排列和原子间的结合在不同的方向是互不相同的，这种晶体具有各向异性（Anisotropy）特性，相对介电常数εr在不同的晶体方向也互不相同，所以介质折射率n在不同的晶体方向是互不相同的，在图1.2.4中，假设电场沿着x方向振荡的电波在晶体中沿着z方向传输，x方向的相对介电常数是εrx，此时，因此电波传输的相速度υc=c/nx。除了立方晶体（如宝石）外，所有的晶体都表现出不同程度的各向异性，从而产生了一些重要的应用，如1.3.6节、3.11节介绍的双折射效应和3.5.1节介绍的电光效应及其应用。

2. 相速度、群速度

现在考虑传输模中的一条光线，光线在纤芯内以角度θ全反射，在介质中的光速υ=c/n1，它是波矢量k传播的速度，称为相速度。我们可以把电场E和波矢量k分解成两个沿波导（z轴）的传输常数β和k，β传播的速度vg=vcosθ，称为群速度。阶跃光纤波导的波矢量k、传输常数β、相速度υ、群速度υg如图1.2.8所示。

由于光纤的纤芯形状沿长度难免出现变化，光纤也可能受非均匀应力而使圆柱对称性受到破坏，两个模式的传播常数βx≠βy，所以光纤波导是一种各向异性介质波导，也存在双折射，使光纤正交偏振兼并的特性受到破坏，而产生偏振模色散（见2.3.2节）。

1.2.4　群速度和群折射率

因为实际中并不存在纯单色光，所以我们必须考虑波长略不相同的一组光沿同一方向传输的情况，如图1.2.9所示。当两个频率为ω-δω和ω+δω、波矢量为k-δk和k+δk的正弦波干涉时，它们相互作用的结果将产生一个光包络，即一个中心频率为ω的振荡场，其幅度被频率为δω的低频电场调制，最大幅度以波矢量δk运动，其速度称为群速度，用与式（1.2.7）类似的表达式表示为

群速度是幅度变化的包络移动的速度，因此它是能量或信息传播的速度。电场包络以群速度υg向前移动，而电场中的相位变化以相速度υ向前移动，如图1.2.8所示。

因为从式（1.2.7）可知ω=υk，相速度υ=c/n，所以介质中的群速度很容易从式（1.2.14）中得到。显然，在真空中，相速度就是光速c，与波长和传播常数k无关。在真空中，因为ω=ck，所以群速度为

在玻璃中，折射率是波长的函数，即n=n（λ），相速度υ也与波长或传播常数k有关，此时有

将式（1.2.16）代入式（1.2.14），就可以得到光在介质中的群速度，即

其中

式中，Ng为介质的群折射率，它表示介质对群速度的影响。

通常，许多介质的相对介电常数εr与光的频率有关，由式（1.2.13）和式（1.2.18）可知，折射率n和群折射率Ng与光的波长有关，所以相速度和群速度也与波长有关，这些介质就称为色散介质。纯SiO2玻璃的折射率n和纯SiO2折射率n群折射率Ng是光纤通信系统设计中的重要参数，它们都与波长有关。和群折射率Ng与波长的关系如图1.2.10所示。在1 550nm波长附近，波长越长，Ng越大，由式（1.2.17）可知，此时υg就越小，群延迟τg=1/υg就越大。注意，在λ=1 300nm附近，Ng最小且与λ几乎无关，因此1 300nm附近的光是以相同的群速度传播的，而不会产生色散。在光纤通信的光传输中，这种现象具有极其重要的意义，本书将在第2章讨论。

【例1.2.4】相速度、群折射率和群速度

考虑光在纯SiO2玻璃介质中传输，假如波长是1μm，该波长的折射率是1.450，请问相速度、群折射率和群速度是多少？

解：相速度

υ=c/n≈（3×108）/1.450m/s≈2.069×108m/s

从图1.2.10可知，λ=1μm时，Ng=1.46，因此

υg=c/Ng≈（3×108）/1.460m/s≈2.055×108m/s

由此可见，群速度比相速度约慢0.7%。