3.3　截断求和近似的数值结果

本节将给出关于TSA的简单描述。在一般情况下，由热力学势所导出的热力学量的表达式是对能级或量子数无限多项求和的形式。以粒子数为例，由可得

和

式（3.15）和式（3.16）分别对应于热激发和凝聚在基态的玻色子数目，能谱分别由式（3.3）（旋转框架的情况）和式（3.10）（合成磁场的情况）给出。

由于技术所限，对于热力学量的无穷多项级数求和形式而言，人们往往很难给出一个准确的解析表达式。所以，我们将利用级数的收敛性，采用截断求和的方法，把对无穷多项级数的求和截断在有限的级数项上，也就是说，再高的级数将被忽略掉，该方法被称为截断求和近似方法。由上述内容可知，TSA的思想是合理的，因为研究者所关注的量子效应主要发生在较低的温度下，此时高能级上并没有粒子占据。

3.3.1　旋转框架中的玻色气体

原则上，计算的能级越多，所得结果越准确，当然，所对应的计算成本也就越高。为了获得准确的精度，我们需要选择一个合适的截断参数。由于本章所有热力学量的求和都只涉及三个量子数、和，为了表述方便，设定对三个量子数的求和都截断在相同的截断量子数。这也就意味着，求和量子数的范围被重新定义为，和。

首先根据式（3.15）计算BEC相变温度随截断量子数的变化。设定粒子数N=1000，简谐势阱为各向同性（）。由图3-1中的曲线可以看出，当很小时，下降很快，这意味着级数发散。当≥100时，开始保持不变，并开始收敛于固定的常数；此后，即使考虑再多的级数也不会导致的明显变化。这意味着后面的高阶项是可以忽略的，此时的截断求和级数能够确保计算的可靠性。如果选取，则计算的级数项已经达到了109量级，足以确保计算的精度。因此，后面关于BEC相变温度、比热和磁化强度等物理量的计算中均取。

图3-2给出了分别采用TSA和SCA得到的随旋转频率的变化。由图3-2可以看出，TSA的结果略低于相应的SCA值，但差别非常小。需要特别指出的是，这两种方法得到的结果在快速旋转极限速度（）下都趋于零，这说明快速旋转极限速度下的BEC被完全压制。

图3-3给出了时的基态粒子占据率随温度的变化。采用TSA求出的的变化曲线略微不同于SCA给出的规律。有趣的是，不同旋转频率的基态粒子占据率-温度曲线遵循了几乎相同的规律，如图3-3中的插图所示。

如图3-4所示的单粒子比热-温度曲线由下面的求和形式给出

对于≤，化学势等于基态能。由图3-4可以看出，比热在处不连续，存在明显的相变。在低温极限下趋于零，在高温极限下趋于Dulong-Petit比热。同时，温度在之下时的TSA 值大于SCA值，温度在之上时的TSA值小于SCA值，但二者的差别不大。

以上对、和的研究表明，TSA对SCA只是给出了极小的修正，TSA对磁化强度的修正才是本章要关注的重点。

旋转框架中的玻色气体的磁化强度由下面的求和表达式描述

采用式（3.18）求得的曲线列于图3-5中。显然，TSA仅在绝对零度附近吻合SCA，随着温度的增大，TSA和SCA的差别越来越大。随在低温区的变化非常剧烈，这明显不符合采用SCA计算得到的“磁化强度不随温度变化”的结论。

结合前面的分析可知，SCA仅适用于热能量远大于能级间隔的区间。低温下，气体的量子效应占主导地位，因此SCA不再适用。TSA的计算表明，随的降低下降很快，在处达到最大值。这种变化意味着温度越低，的绝对值越大，抗磁性越强，尤其是当温度在以下时。温度在以上时的曲线比较平滑，在高温区逐渐趋近于零。这表明，由旋转引起的热扰动的影响被强烈地压制。随着温度越来越高，TSA的计算精度由于受到截断求和级数的限制，会慢慢失效。

图3-6同时给出了时的不同截断量子数对应的磁化强度随温度的变化。图3-6再次有力地验证了TSA计算的精度和准确性，同时也指出了不同所适用的温度范围。

3.3.2　合成磁场中的玻色气体

相对于旋转框架，人们对合成磁场中的玻色气体的关注则要少得多[60，62]。由于旋转框架和合成磁场有着类似的哈密顿形式，可以推测它们的热力学行为必然会存在很多类似之处。然而，基于SCA的计算却表明，两个系统表现出的差异性多于共性。根据本章前面对于解析结果的分析可知，SCA不适用于计算合成磁场中的情况，所以合成磁场需要超越SCA 的数值结果来进行修正。

为了保证计算的准确性，我们需要再一次确定通过TSA计算合成磁场的精度和可靠性。图3-7给出了不同合成磁场对应的曲线。显然，合成磁场越强，级数收敛性越差，因此，越强的合成磁场需要越大的来实现级数收敛。根据图3-7给出的随的变化的趋势，可以判定取能够确保TSA计算合成磁场的精度。

图3-8给出了随合成磁场的变化，可以看出，由TSA计算得到的随的变化完全不符合通过SCA得到的“与无关”。显然，TSA得到的结果更加合理，它吻合了超导物理中的结论“相变温度随磁场的增强而减弱”。需要重点指出的是，图3-2和图3-8虽然都表明随旋转频率和合成磁场的增强而下降，但不同的是，旋转框架中的比合成磁场中的下降得更快，这也就意味着旋转框架中的BEC更容易遭到破坏。这是这两种旋转方式最大的不同之处，也是本章得到的重要结论之一。

由图3-8还可以看出，当时，，此时的仍然很高。基于TSA当前的计算结果和曲线的变化趋势，我们推测当时，。然而，在目前的计算精度下却没有发现。原因在于，TSA中的取得不够大，以至于在强磁场中并没有产生可靠的结果。因此，考虑以上的合成磁场，需要选择更大的。

图3-9给出了按下式计算的合成磁场中的磁化强度随温度的变化：

注意，式（3.19）在形式上和旋转框架中的磁化强度表达式（3.18）非常类似。因此，图3-9和图3-5中的曲线形状极其相似，由TSA得到的不再是SCA预测的常数，合成磁场中的随着温度的下降而变小，在时达到最大值。当温度在以下时，越强，绝对值越大[59]。

3.3.3　与其他改进准经典近似方法的对比

文献[59]和[64]也提出了两种通过考虑能级量子化来改进SCA的方法。在文献[59]中，Balaž小组发展了超快收敛路径积分的方法，该方法基于更加精确的单粒子能谱，获得了优于SCA的结果，尤其是对于小粒子数系统。文献[64]中的方法通过在求和化积分的过程中考虑更高阶的修正项找回了SCA所丢失的部分信息，并给出了简谐势阱中的非旋转理想玻色气体的热力学量的解析表达式。

相对于这两种改进SCA的方法而言，本章提出的TSA更加简单，并且有效地超越了SCA。为了表明通过不同的修正SCA的方法得到的计算结果的一致性，我们将通过TSA得到的结果和通过对文献[64]中的式（32）考虑有限尺度第一（或第一和第二）阶修正得到的结果做了对比（见图3-10）。图3-10清楚地表明，由TSA得到的结果与文献[64]中考虑第一和第二阶有限尺度修正得到的结果很接近，粒子数越大，二者吻合得越好。即使对于极少数粒子而言，这两种方法的偏差也很小。这同时说明，文献[64]中的有限粒子数修正方法对少粒子系统的影响十分明显，对多粒子系统的影响较小。