1.2混沌控制

1.2.1 混沌控制分类

混沌控制的研究起源于20世纪90年代，其重要标志是1990年美国马里兰州立大学的Ott、Grebogi和Yorke提出的OGY方法，其主要思想是利用混沌对微小扰动的敏感性和混沌运动的遍历性，首先选择混沌吸引子中各个不稳定轨道中的一条轨道，然后给系统参数一个微小的扰动控制量，最后反馈给系统，把系统的轨道定在这条选定的轨道上。伴随着OGY方法的提出，社会各界掀起了研究混沌的浪潮。目前，混沌控制主要包括3个重要的研究方向：

1.混沌抑制

混沌在很多实际的问题中，是一种有害于系统的现象，于是抑制混沌成为混沌控制的一个主要任务。混沌抑制也可称为混沌系统的稳定化问题，采用控制的方法削弱或消除系统的混沌行为，包括混沌消除和混沌轨道调整两个方面[13]。

混沌消除，是指使系统回到正常运行的各种有序状态。达到这一目标的最直接的方法是改变系统的参数，使系统的参数转变为稳定有序状态所需的参数条件。

混沌轨道调整，是指用微小的信号控制系统镇定在某个不稳定的周期轨道或在不同的周期轨道之间切换，使系统的状态转换能够及时适应实际任务的需要。

近些年来各种控制方法被广泛地用于混沌系统的抑制中，主要包括：利用线性反馈、脉冲时延反馈、反步（Backstepping）等方法控制混沌系统，使得混沌系统在期望的周期轨道上运行，还有采用低通滤波器、Bang-bang控制、鲁棒控制、变结构控制等方法实现混沌系统的稳定化问题。

2.混沌反控制

1994年，美国科学家Schiff等人在Nature上发表了一篇文章，文中指出，混沌在大脑活动中可能有着重要的作用，并提出了“混沌反控制”的概念[14]。

所谓混沌反控制，是通过设计一个可行的控制器将非混沌系统转化为混沌系统或者强化原来的混沌系统，是系统从有序到混沌或者混沌到混沌的过程，其物理实质为将原来负的Lyapunov指数变成正数，是混沌系统稳定化问题的反问题。目前已有的混沌反控制的方法主要有以下几种：

1）配置Lyapunov指数的方法：对于有界动力学系统是否为混沌系统，可以从最大的Lyapunov指数是否大于0判断出来。基于这种理论，可以通过改变被控系统的Lyapunov指数的正负性，来改变被控系统的运动状态，实现混沌反控制。这种配置Lyapunov指数的方法形式简单、数学理论严格，同时适用于低阶系统和高阶系统。

2）加入线性或者非线性作用的方法：这种方法是目前应用最广的方法，混沌是非线性系统特有的现象，可以对被控系统加入适当的线性或非线性状态反馈输入，使得被控系统具有混沌的特性，来实现被控系统的混沌化，进而实现混沌的反控制。

3）附加带时滞的反馈作用的方法：因为带有时滞的动力学系统属于无穷维系统，可以产生复杂的动力学行为，而时滞广泛存在于实际的工程系统中，所以可以采用附加时滞的反馈控制来实现混沌系统的反控制。

4）跟踪参考混沌系统的方法：跟踪参考混沌系统的状态，实现被控系统的混沌化。该方法的原理是将已知的混沌系统作为参考系统，被控系统为最终要混沌化的系统，对被控系统施加恰当的控制作用，使被控系统跟踪参考的混沌系统，这样被控系统就实现了混沌化，其本质属于信号跟踪。

3.混沌同步

1990年，美国科学家Pecora和Carroll在设计电子学线路的实验中首次观测到了两个耦合混沌振子同步的现象^[15]。这里两个系统的同步，是指一个系统的运动轨迹收敛于另一个系统的运动轨迹，始终保持一致，这种同步是结构稳定的。此次成功，不仅在理论和实践上实现了混沌同步控制，而且对以后混沌同步的研究有着极大的推动作用，是混沌同步研究领域的一个里程碑。

自从混沌同步成功实现以来，人们探索和实验了很多不同的方法去实现混沌同步，特别是采用控制理论中的方法，并且在此领域中取得了丰硕的科研成果。总结这些研究成果，可以看出实现混沌同步的方法主要可以分为以下几种：

1）驱动-响应法，又称变量替代法或PC同步法。其基本思想为把系统以Lyapunov指数为依据分为稳定子系统和不稳定子系统，把具有负的Lyapunov指数的稳定子系统复制成一个响应系统，然后把驱动系统和响应系统用连续的驱动信号耦合起来，从而实现响应系统和驱动系统的同步。虽然此法在应用过程中，可能在物理机制上受到一定的限制，对于有些非线性系统是行不通的，但此方法已用于Lur’e系统、Lorenz系统和Chua’s电路等混沌系统的同步问题，奠定了混沌同步理论研究的基础。

2）主动-被动法，由于驱动-响应法的局限性，Kocarev和Parlitz在该方法的基础上，提出了改进方法。采用较灵活的分解法，更适用于混沌同步和超混沌系统的同步，有很大的发展空间。其主要思想是，把耦合变量或驱动变量引入复制系统，得到总体系统的误差动力学方程，再利用线性化稳定性分析方法或Lya-punov函数方法证明复制混沌系统与原系统达到同步。与驱动-响应法最大的区别是主动-被动法可以不受限制地选取驱动变量，降低局限性。

3）状态反馈法，分为线性状态反馈和非线性状态反馈，其基本思想是驱动系统给响应系统一个状态反馈，使驱动系统和响应系统构成的误差系统渐近稳定。反馈信号直接被加到响应系统的状态变量上，而未改变混沌系统的参数。由于状态反馈的不易实现性，在其基础上，往往加入自适应控制方法，这样反馈项的控制系数是变化的，可以自动调节，使得控制项的设计更加灵活。

4）自适应控制法，1990年，Lumer和Huberman提出采用自适应控制混沌的方法。Amritker和John将这一原理应用于混沌系统的同步，实现了混沌系统的相空间轨迹与所期望的不稳定轨道的同步。所谓自适应控制法是利用自适应控制方法来自动调整系统中的参数以达到混沌同步的效果。还有很多人采用自适应控制方法处理不确定混沌系统，或结合变结构控制、Backstepping和模糊控制等方法来研究混沌同步的鲁棒性问题。

5）变结构控制法，也称滑模控制法。其基本思想是驱动系统的状态轨迹在过原点的特定光滑流形上，并使其保持在该滑动面上，且在此滑动面上，系统具有期望的特性。由于此方法会产生抖振，所以在混沌同步的研究中，变结构控制方法的应用会有一定的局限性。

6）其他方法，研究混沌同步的控制方法还有很多，如神经网络、遗传算法、定量反馈、数据驱动、有限时等控制方法。

随着各种混沌同步控制方法被提出，如何比较各种同步方法之间的优缺点，如何选择控制参数使同步性能最优，成为混沌同步研究的重要内容。中南大学张泰山教授和孙克辉归纳了混沌系统同步控制的主要7条性能指标：同步稳定性、同步鲁棒性、同步稳态误差、同步精度、同步建立时间、同步化区域和同步动态特性[16]。

1）同步稳定性是混沌同步系统的首要特性，是系统正常工作的必要条件，也是实现保密通信的关键。稳定性又分为大范围（全局）渐近稳定性和小范围（局部）渐近稳定性。

2）同步鲁棒性是指驱动系统与响应系统在系统参数失配的情况下仍然保持同步的性能。从系统实用的方面考虑，系统的鲁棒性越好，那么系统同步越容易实现；但从保密通信的方面考虑，系统的鲁棒性越好，其保密性就越差，这是一对矛盾在实际中必须综合考虑。

3）同步稳态误差是指混沌系统达到同步后，同步的两路混沌信号实现同步的准确程度。

4）同步精度是指产生的混沌信号与给定的混沌信号在幅度、相位上的一致程度。

5）同步建立时间是混沌保密通信的重要指标，是指响应信号满足给定同步精度所经历的过渡时间。

6）同步化区域是指能使混沌系统同步的初值范围。混沌系统初值在一定区域内（同步化区内），响应系统的解是渐近稳定的，即响应系统最终将与驱动系统同步，所以，一种具有实际意义的同步方式应具有足够大的同步化区域。

7）同步动态过程又称同步建立的过渡过程或瞬态过程，同步动态过程一般表现为单调衰减或非单调衰减，而非单调衰减过程说明同步过程中存在非同步化趋势，应尽量克服。

1.2.2 混沌同步控制

对于混沌同步控制问题，通常将要同步的两个混沌系统表示为以下形式：

式中，A∈R^n×n为系统矩阵，x、y∈Rⁿ，分别为驱动和响应系统的状态变量，f（·）：R^nh→R^nh为系统的非线性项，u为同步控制器。

在混沌同步控制的研究中，所谓的同步可以包含以下几种方式：

1）完全同步（Complete Synchronization），即驱动系统和响应系统的状态完全一致，是混沌同步研究中一种非常普遍的同步方法，也是同步方法的基础。

2）滞后同步（Lag Synchronization），滞后同步介于完全同步和相位同步之间，驱动系统和响应系统的输出在相位上和振幅上都有一个固定的时滞差。

3）相位同步（Phase Synchronization），相位同步可看作是两个相同的混沌系统的轨迹在振幅和相位上都保持一致。如果两个耦合混沌系统，其混沌信号在振幅上互不相关，但相位上保持一致，就是相位同步。

4）广义同步（Generalized Synchronization），驱动系统和响应系统的状态变量之间有某种函数关系，当这种函数关系为比例关系时，达到广义同步。

5）反同步（Anti-synchronization），指两个同步的混沌系统的状态向量的绝对值相同但是符号相反。

6）投影同步（Projective synchronization），在耦合某部分线性混沌系统时，在一定条件下耦合主从系统状态的输出不仅相位是锁定的，而且各对应状态的振幅按照某一比例因子关系进行演化。

除以上几种主要的混沌同步方法以外，还有间隙滞后同步，反馈控制同步等等。

由于混沌同步指的是对于从不同初始条件出发的两个混沌系统，随着时间的推移，它们的轨迹会逐渐趋于一致（如完全相同，完全相反或两个状态保持某种函数的关系），因此研究混沌同步的一般方法是首先定义混沌系统的误差，这里以完全同步为例，定义误差为

e（t）=y（t）-x（t）

进而得到误差系统如式（1-5）所示

接下来针对误差系统（1-5）设计同步控制器u（x，y），使误差系统（渐近）稳定。由于误差系统包含两个非线性项，因此，如何处理非线性项就是同步控制器设计的一个难点。常见的处理非线性项的方法有两种：

第1种方法通过设计控制器，来消除非线性项，具体做法是在控制器的设计中引入非线性项，如设计控制器形如u（x，y）=K（x-y）-（f（y）-f（x）），代入到误差系统式（1-5）就可以直接将非线性项消掉，进而误差系统可以退化为线性系统，即，接下来可以通过线性系统稳定性的方法得到控制器增益K。这种方法容易掌握，且在稳定性的推导证明过程中可直接应用线性系统的结论，很容易求得控制器的增益。但现实中，控制器的实现比较复杂，这将大大增加控制器实现及维护的成本，因此不适于实际应用。

第2种方法是通过对混沌系统的非线性项进行一定的假设来处理非线性项。在混沌动力学系统中，对混沌系统非线性项常采用以下两种假设形式：

【假设1.1】 假设非线性函数f（·）满足Lipschitz（李普希兹）条件，即对于x（t）∈Rⁿ，y（t）∈Rⁿ，存在λ>0使得下式成立

f（x（t））-f（y（t））≤λx（t）-y（t）

【假设1.2】非线性函数f（·）=diag（f₁（·）…f_nh（·））在区间[0，ρ]上有下式成立，e，z；i=1，2，…，n_h（d^T_ie≠0）即η_i（d^T_ie；z）[η_i（d^T_ie；z）-ρd^T_ie]≤0，式中d^T_i为D的第i个行向量。

由于误差系统存在两个非线性项相减的部分，如式（1-5），因此，应用任何一个假设都可以在Lyapunov稳定性分析过程中通过不等式缩放，将非线性项转化为仅含误差的线性项。所有的混沌系统都可以使用假设1.1来处理非线性项，但假设1.1的保守性较大。另外，绝大多数混沌系统都属于Lur’e系统，如Chua’s电路等，因此它们的非线性项也满足假设1.2，所以这种方法适用范围广。综上所述，该方法对控制器的设计没有特殊的要求，不会增加控制器实现的负担，因此比较适于实际的应用。