1.5 电路的等效变换

学习目标

深刻理解电路中“等效”的概念，熟练掌握电阻不同连接方式之间的等效变换方法，牢固掌握电源模型之间的等效变换原理及分析方法。

“等效”是指两个不同的事物作用于同一目标时其作用效果相同。例如，1台拖拉机拖动一个车厢，使车厢速度达到10m/s;5匹马拖动同样一个车厢，使该车厢的速度也达到10m/s。于是，对这一车厢而言，这台拖拉机和5匹马“等效”。在这里我们不能把“等效”和“相等”混同，“等效”是指2个或几个事物对它们之外的某一事物作用效果相同，对其内部特性是不同的，即1台拖拉机不能等于5匹马。

1.5.1 电阻之间的等效变换

等效的概念和电阻等效

1.电阻串联等效

中学物理学已经讲到，2个或2个以上的电阻元件相串联时，等效电阻等于各串联电阻之和，即

从工程应用的角度重新理解电阻串联的意义，应了解电阻在实际电路中所起的主要作用。

首先，几个电阻相串联时，它们处在同一支路中，因此通过各电阻的电流相同；其次，串联电阻可提高支路阻值，当支路电压不变时，串联电阻可限制电流；再次，串联电阻可以分压，各串联电阻上分压的多少与其阻值成正比。由此可概括出串联电阻在工程实际中的作用是：分压限流。

2.电阻并联等效

电阻并联时，其等效电阻是各并联电阻倒数和的倒数，即

如果只有2个电阻并联，其等效电阻

如果n个阻值相同的电阻相并联，其等效电阻

工程实际中，单相负载的额定电压基本上都是220V，三相负载的额定电压基本上取380V，这是因为供电系统对负载提供的工频交流电压基本上都是220V或380V。为了获得负载的额定电压，负载连接到电网上都是并联形式，并联不改变电压，但根据各负载的本身参数的不同，可得到所需要的电流。

3.混联电阻等效

在电路分析中，我们经常会遇到一些较为复杂的电阻网络，如图1.15（a）所示，其中既有电阻的并联又有电阻的串联，这样的连接方式称为混联。

对混联电阻电路的求解，目的显然也是为了化简电路，即解出混联电阻电路的等效电阻。

分析：图1.15（a）所示混联电路的求解，关键点是正确找对电路的结点。观察该电路，除了有A、B两个结点（端点都视为结点），根据结点的概念R1、R2和R5的汇集点也是一个结点，可定为C点。可以先把这几个结点的位置定下来，然后观察各电阻的连接情况：R1和R2接在相同的A和B上，显然它们可用并联电阻方法等效为一个R12，这样C点就取消了，R12和R5构成串联，其串联等效为R125,R125再和R4、R3关联，于是，混联电阻的等效电阻RAB就求得：

RAB=[（R1∥R2）+R5]∥R3∥R4

混联等效电阻求解的过程中，找结点时应注意：如果电路图中2个实心点之间没有电阻，则应视为一点，因为电路模型中的导线都是无阻无感的理想导线，其长度可以无限延长和缩短。

4.Y网络与△网络的等效

3个电阻的一端汇集于一个电路结点，另一端分别连接于3个不同的电路端钮上，这样构成的部分电路称为电阻Y网络，如图1.16（a）所示。如果3个电阻连接成一个闭环，由3个连接点分别引出3个接线端钮，所构成的电路部分就称为电阻△网络，如图1.16（b）所示。

电阻的Y网络和△网络都是通过3个端钮与外部电路相连接（图中未画电路的其他部分），如果在它们的对应端钮之间具有相同的电压U12、U23和U31，而流入对应端钮的电流也分别相等时，则称这两种方式的电阻网络相互“等效”，即它们在电路分析过程中若满足“等效”条件，可以互换。

从上述“等效”互换条件可推导出两种电阻网络中各电阻参数之间的关系，推导的详细过程不再赘述，读者可自行推导。Y电阻网络变换为△电阻网络时，有

当一个△电阻网络变换为Y电阻网络时，有

若Y电阻网络中的3个电阻值相等，则等效△电阻网络中的3个电阻也必定相等，即

例1.3 求图1.17所示电路的入端电阻RAB。

解：图1.17（a）所示电路由5个电阻元件构成，其中任何2个电阻元件之间都不具备串、并联关系，因此这是一个复杂电阻网络电路。

对这样一个复杂电阻网络的求解，其基本方法就是：假定 A、B 两端钮之间有一个理想电压源US，然后运用KCL和KVL定律对电路列出足够的方程式并从中解出输入端电流I，于是就可解出输入端电阻RAB=US/I。但这种方法求解的过程比较繁琐。

简单方法：把图1.17（a）中虚线框中的△电阻网络变换为图1.17（b）虚线框中的Y电阻网络，即图1.17（a）中虚框内△网络中的3个150?电阻用图1.17（b）中Y网络中的3个50?电阻替换（注意在替换过程中，3个端点的位置应保持不变）。对图1.17（b）利用电阻的串、并联公式，可方便地求出RAB

RAB=50+[（50+150）//（50+150）]=50+100=150（Ω）

Y 电阻网络与△电阻网络之间的等效变换，除了计算电路的入端电阻以外，还能较方便地解决实际电路中的一些其他问题。

1.5.2 电源之间的等效变换

电源模型之间的等效

理想电压源和理想电流源均为无穷大功率源，实际上并不存在。实际的电源总是存在内阻的，因此可由前面所讲的电压源模型和电流源模型表示。工程实际中，大多电源都是以电压源的形式出现，只有当负载需要稳定的电流提供时，才会用到电流源。

电路分析中，电路模型中的电源究竟采用电压源模型还是采用电流源模型，原则上可以任意，并不影响对电路的求解。

理想电压源和理想电流源由于都是无穷大功率源，所以它们之间没有等效可言。但电压源模型和电流源模型是实际电源的近似，因此它们在一定条件下可以等效互换。

问题：将一个与内阻相并的电流源模型等效为一个与内阻相串的电压源模型，或是将一个与内阻相串的电压源模型等效为一个与内阻相并的电流源模型，等效互换的条件是什么？

图1.18所示为实际电源与负载所构成的电路。对图1.18（a）电路列KCL方程式，设回路绕行方向为顺时针，则

对图1.18（b）电路应用KCL定律列方程

将式②等号两端同乘以Ri，可得

比较式①和式③，两式都反映了负载端电压U与通过负载的电流I之间的关系，假设两个电源模型对负载R等效，则式①和式③中的各项应完全相同。于是我们可得到两种电源模型等效互换的条件是

注意：在进行上述等效变换时，一定要让电压源由“-”到“+”的方向与电流源电流的方向保持一致，这一点恰恰说明了实际电源上的电压、电流非关联的原则。

图1.19（a）所示电路，当求解对象是R支路中的电流I时，观察电路可发现，该电路中的3个电阻之间无串、并联关系，因此判断此电路是一个复杂电路。对复杂电路的求解显然要应用KCL和KVL定律对电路列写方程式，然后对方程式联立求解才能得出待求量。

但是，当我们把电路中连接在 A、B 两点之间的两个电压源模型变换成电流源模型，如图1.19（b）所示；再根据KCL及电阻的并联公式将两个电流源合并为一个，如图1.19（c）所示，原复杂电路就变成了一个简单电路，利用分流关系即可求出电流I。或者还可以继续将图1.19（c）中的电流源模型再等效变换为一个电压源模型，如图1.19（d）所示，利用欧姆定律也可求出电流I。

检验学习结果

1.5.1 图1.19（a）所示电路中，设US1=2V,US2=4V,RU1= RU2= R=2?。求图1.19（c）电路中的理想电流源、图1.19（d）中的理想电压源发出的功率，再分别求出两等效电路中负载R上吸收的功率。根据计算结果，你能得出什么样的结论？

1.5.2 你能否用电阻的串、并联公式解释一下“等效”的真实含义？