44.商家的让利

一些商家为了吸引顾客，常常打出如下标语：凡在本店购买物品价值累计超过X元可减免Y元……

一家超市的老板如法炮制，在超市的显眼处张贴了这样一张告示。为回馈广大顾客，凡在本超市购物满40元者可有机会参加幸运抽奖。该奖券共发行10万张，特设六种奖项：特等奖4名，各奖现金1000元；一等奖20名，各奖现金400元；二等奖40名，各奖现金100元；三等奖100名，各奖现金50元；四等奖250名，各奖现金40元；五等奖1000名，各奖现金20元。另一家超市，为了与这家超市竞争，打出全场商品“九八折”的优惠活动标语。

那么，你觉得哪个商家让利更多呢？

答案

1. 这个飞机的飞行速度一定是每分钟7/24英里，而风速则是每分钟5/24英里。这样，飞过去的时候是顺风，飞机的速度是12/24英里，或者半英里；回来的时候是逆风，速度只有每分钟2/24或者说是1/12英里。因此，在没有风的情形下，既然这架飞机可以用24分钟的时间飞7英里，那么它将用34又2/7分钟的时间飞完这10英里。

2.汤姆金思先生应该支付15先令，这是他应该承担的合理的车费。他只乘坐了价值3英镑的运行距离的一半，因此他应该支付30先令的一半，也就是15先令。

3.小方的想法是错误的，新买的手表走得并不准。因为闹钟快的那1分钟是标准的一分钟，但手表快的那1分钟却不是标准的一分钟，它是以不准确的闹钟的时间为基础的，所以新买的手表走得不准。

4. 我认为这个最大的积是通过把8745231乘以96而得到的——具体地说，是839542176。我在这里将用通常方法处理这个问题，其实我在上一题中就已经表明，对于3个数字只有2个合适的解答，而对于4个数字，只有6个不同的解答。这些情况已经全部给出。对于5个数字，正好有22个解答，如下所示：

3×4128=12384

3×4281=12843

3×7125=21375

3×7251=21753

2541×6=15246

651×24=15624

678×42=28476

246×51=12546

57×834=47538

75×231=17325

624×78=48672

435×87=37845

9×7461=67149

72×936=67392

2×8714=17428

2×8741=17482

65×281=18265

65×983=63985

4973×8=39784

6521×8=52168

14×926=12964

86×251=21586

5.这个工人说的是“我还要挖现在的两倍深”，而不是“还要挖比现在的多两倍深”。也就是说，他还要挖的是他已经挖好的深度的两倍。因此，答案就是：这个洞现在的深度是3英尺6英寸，这个人高出地面2英尺4英寸；当洞挖完后，它的深度将是10英尺6英寸，那时候工人将低于地面4英尺8英寸，也就是位于深度为他现在高出地面距离的两倍的地方。

6.一样多。因为第二次取出的水和第一次取出的体积相等，都设为a。假设这勺混合液中牛奶所占体积为b，那么倒入第一杯牛奶的水的体积为a-b。第一次倒入水的牛奶为a，第二次舀出b体积牛奶，则水里还剩（a-b）体积的牛奶。所以牛奶杯里的水和水杯里的牛奶一样多。

7.查尔斯的死亡，让他原来应该得到的那份遗产恢复到原来的样子，因此我们只要把这整整100英亩的土地以1/3∶1/4的比例在阿尔弗雷德和本杰明之间划分就可以了。1/3∶1/4就是4/12∶3/12，也就是4∶3。因此阿尔弗雷德拿100英亩的4/7，本杰明拿3/7。

8. 农夫只有一只羊。如果他把这只绵羊分成两部分（最好是按照重量），使得一部分是2/3，另一部分是1/3，那么这两个数的差与它们的平方差就是一回事——也就是说，都是1/3。任何两个分数，只要分母等于两个分子之和，都能行。

9.稍微思考就会明白，答案必须是个分数，而且一个分数是分子比分母大，另一个分数是分子比分母小。实际上，如果我们要取数字最小的答案，那么大立方体的高度一定是8/7英尺，小立方体的高度是3/7英尺。于是，在长度上是11/7英尺，即1又4/7英尺。那么，这两个立方体的体积是多少呢？第一个是8/7×8/7×8/7=512/343，第二个是3/7×3/7×3/7=27/343。把它们加起来，结果是539/343。经约分，变成11/7，也就是1又4/7立方英尺。因此我们看到，立方英尺数和英尺数完全一致。

10. 假如要一个数可用好几种不同方式表示成两个平方数之和，那么这个数必须是一个含有多个第一种类型素数的合数。假如有一个第二种类型的素数混进了合数，那么这个数就不能表示成两个平方数之和。直接把一个数分解成它的素因数，这样我们一看就能知道它是不是能分成两个平方数。我在题目中给出的数是130，我立刻就看出这是2×5×13。接下来的推理就是，由于65能用两种方式表示（64+1和49+16），所以130也能用两种方式表示，因数2对这个问题没有影响。最小的可用12种不同的方式表示成两个平方数之和的数是160225，因此这就是适合那位苏丹王要求的军队的最少人数。

11. 90%的账面价值与125%的账面价值之间差了35%。因为35%相当于105元，所以1%就是3元。因此，原账面价值就等于300元。

12. 这些姑娘的姓名是艾达·史密斯、安妮·布朗、埃米莉·琼斯、玛丽·鲁滨逊和贝西·埃尔文斯。

13.甲有11个玩具，乙有7个玩具，丙有21个玩具。

首先，我们设甲有x个玩具，乙有y个玩具，丙有z个玩具。那么，我们根据“甲对乙说：如果我用6个玩具换你1个，那么你的玩具数就是我的2倍”这句话可以列出如下等式：（x-6+1）×2=y-1+6。

我们根据丙对甲说：“如果我用14个玩具换你1个，那么你的玩具数将是我的3倍”这句话可以列出如下等式：（z-14+1）×3=x-1+14。

我们根据“乙对丙说：要是我用4个玩具换你1个，那么你的玩具数将是我的6倍”这句话可以列出如下等式：（y-4+1）×6=z-1+4。

将三个等式组成方程组，解得：

x=11

y=7

z=21

所以，一开始甲有11个玩具，乙有7个玩具，丙有21个玩具。

14. 176×9+84×5+3+2=2009；176×9+84×5+3×2=2010。

15.这道题看似麻烦，其实很简单。

我们把这个图形拆开，成为若干个小三角形，我们就会发现，大图是由21个小三角形组成的（包含3条边，且不重复），小图是由3个小三角形组成的（中间的三角形不算，因为它是周围三个小三角形拼在一起形成的）。也就是说，每画3个三角形就要蘸一次墨水，所以画完全图需要蘸7次墨水。

另外，本题也可以按边数计算。大三角形一共有21个小三角形，63条边；而每次画的那个三角形由3个小三角形组成，共9条边，所以需要蘸墨水的次数为63/9=7次。

16.站成一个六边形，每边站5个人即可。

17.设她的年龄为x岁，依题意可得：

1000≤x3<10000①

100000≤x4<1000000②

由①：因为：223=10648>10000，213=9261<10000

所以：10≤x≤21

由②：因为：174=83521<100000，184=104976>100000

所以：18≤x≤31

综合得：18≤x≤21

因为20，21的任何次方个位数为0，1，所以x=18或19，

经检验183=5832，184=104976，而19不符合要求②。

所以：x=18。

因此，她今年18岁。

18.对于一任意给定的起始数字，目前已证明无法直接求得该序列的长度，例如：起始数字为27时，需要111个步骤才会到1。然而，像2n推到1需要n个步骤，这是显而易见的，因为32→16→8→4→2→1。

本题的整个计算过程可以应用电脑来处理，并且可和其他类似的程序做个比较。例如当n为奇数时，取其下一个数字为3n+5或5n-13等。

19. 不要被卫生纸的绕法所迷惑。如果卫生纸的厚度是dcm，而每一卷卫生纸的截面直径是1cm，那么每一卷卫生纸的截面积是1×dcm2。

1卷卫生纸的长度是：240×14=3360cm

截面积的大小等于直径11cm及4cm的两个圆所围面积的差：

所以每一张卫生纸的纸张厚度约为82.47÷3360≈0.0245cm

每一卷卫生纸中所绕卫生纸的总厚度是3.5cm，所以每一卷的总圈数为

3.5÷0.0245≈143圈。

20. 目前还没有一张公开发行的平方数表格可以帮我们解决这个谜题，包括那9个数字。每个数字都用到一次，且仅仅一次的平方数，最小的是139854276，也就是11826的平方。同样的情形下，最大的数字是923187456，也就是数字30384的平方。

21. 智力一般的小男生也许会规规矩矩地把这个谜题变成一个二次方程。这里是真正的算数的解法，把两个到墙的距离的乘积翻番，我们就得到了144，这个是12的平方。这两个距离的和是17。如果我们把12和17相加，同时又从其中一个减去另外一个，我们就得到了两个解答：29或5，这个桌子的半径，当然就是直径的一半。因此，直径是58英寸，或者10英寸。只有一种尺寸的桌子是很荒谬的，所以这张桌子的直径是58英寸。在这种情形下，那个点位于靠近房间角落的桌边上——那个男孩正在指着它。如果用另外一个答案，这个点将位于远离房间角落的桌边上。

22. 这所学校里面应该有10名男生、20名女生。因此，女生对女生鞠躬380个，男生对男生鞠躬是90个，男生女生之间鞠躬400个，男生和女生对那个老师鞠躬30个，总共是900个，跟题目所说的符合。应该记住的是，题目中并没有说老师要向学生还礼。

23.中间最大的珍珠价值一定是3000英镑。一端的那颗珍珠（从它开始，珍珠的价值按照100英镑增加）价值1400英镑，另一端的那颗珍珠价值600英镑。

24.把10个重量加起来，然后除以4，我们得到289磅，这就是那5捆干草的总重量。如果我们按照重量的多少来排列这5捆干草为A、B、C、D、E，其中A是最轻的，E是最重的，那么，最轻的重量110磅，一定是A和B的重量之和。然后，最重的两捆干草D和E，重量之和一定是121磅，而C和E的重量之和肯定是120磅。因此，我们知道A、B、D、E的重量之和是231磅。从289磅（5捆干草的总重）中减去它，就给了我们C的重量58磅。现在只要运用减法，我们就可以算出这五捆干草每一捆的重量。分别是54磅、56磅、58磅、59磅和62磅。

25.不管有多少灯柱，帕特应该比蒂姆多油漆了6根灯柱。比如，如果马路两边分别有12根灯柱，那么帕特油漆了15根，蒂姆油漆了9根。如果两边分别有100根，那么帕特油漆了103根，蒂姆只油漆了97根。

26.这根蜡烛应该是点了3小时45分钟。一支蜡烛剩下了全长的1/16，另一支剩下了全长的4/16。

27.这个警察跑了30步。在这一段时间内，盗贼跑了48步。加上他开头跑的27步，一共是75步，这个距离正好就是警察的30步。

28.因为我们不知道杰斯帕·布里昂先生是在哪年把他累积的财产进行大方捐赠的，只是要求我们求出最少的金钱数目，因此很明显，我们必须找出一个形式最符合的年份。

需要考虑四种情形——有52个星期日的平年、有53个星期日的平年、有52个星期日的闰年和有53个星期日的闰年。下面是各种情形下最少的金钱数额：313个工作日，52个星期日：112055英镑

312个工作日，53个星期日：19345英镑

314个工作日，52个星期日：无解

313个工作日，53个星期日：69174英镑

最少的金钱数额，也就是正确的答案为19345英镑。捐赠是在一个以星期日为元旦的平年进行的。最近的这种年份是1911年。他在这年的每天都需要给出53英镑，或者在每个工作日给出62英镑，最后只剩下1英镑，正是后一种情况所要求的。

29.虽然这个谜题对于任何一个有着代数知识的人来说根本就不难，但是它还是有着令人非常感兴趣的一面。

单独看这里提到的正方形牧场的一个角落，人们几乎不会看到这样一个事实：这个牧场如果要符合这些条件，就必须有501760英亩的面积，围栏也需要同样数目的横档。这个是正确的答案，而且是唯一的答案。如果爱荷华州的先生实现了他的想法，他这个牧场的每条边将会有28英里长，比韦斯特莫兰郡还大一些。我不知道对于“场地”大小是否有限制，但是在英国它们一般不会有这么大。然而，给我写信的读者所在的遥远的爱荷华州，人们习惯于大手笔做事。可是，我有理由相信，当他了解他自己给自己提出的这个任务的难度时，他肯定会放弃的。因为如果那些奶牛想到清新的树林和新鲜的草地去闲逛，挤奶的女工为了挤奶就必须提前一周出发。

这里有一个规律，对于横档的长度为半杆的场台总是适用的。把一个栏架中所用的横档的数目乘以4，得到的结果就是所占英亩数与全部围栏所用的横档数相等的正方形场地边长的英里数。比如，用只有1根横档的围栏，那么这个场地就是4英里见方；用只有2根横档的围栏，那么这个场地就是8英里见方；用有3根横档的围栏，就是12英里见方等。而我们那7根横档的围栏，乘以4以后就得出了28英里见方的一个牧场。在我们现在这个题目的情形下，那么横档数将超过英亩数；而如果牧场围得大一点，那么横档数就会小于这个牧场的英亩数。

30.虽然这个谜题可能让新手感到为难，但是实际上这个谜题是十分容易的。如果写上10个数字中的4个，那就更容易了。

首先，读者会发现，在同一条直径两头的平方数之差都是相同的。比如，在题目中，14的平方差与2的平方之差是192，而16的平方与8的平方之差也是192。每一种情况都是这样。其次，应该记得，相连两个整数的平方差总是能表达成它们的差乘以它们的和。比如，5的平方（25）减去4的平方（16）等于9；还有，7的平方（49）减去3的平方（9）等于40。

现在，根据上面的分析，把192这个数字分解成一对偶因数，可以有2×96， 4×48，6×32，8×24以及12×16。把它们分别除以2，我们就得到了：1×48，2×24，3×16，4×12以及6×8。分别求解其中每一对数的差与和，分别产生了47，49，22，26，13，19，8，16以及2，14。这就是所求的数字，其中的4个数字已经放进去了，需要添加的6个数字只可以用6种不同的方式放进去，其中一种如下：按照顺时针方向数，16，2，49，22，19，8，14， 47，26，13。我们只想把读者的注意力引导到另外一个小特点上面：在所有这样的圆圈中，一个直径两端的数字之差是按照某一比率增长的，首先是增加到4和6，接下来的数就是其前个数字的两倍（6个方框的圆圈除外）。比如，在上述的情形中，第一个差是2，下面的就分别增加到4，6，8和12。当然，如果我们允许出现分数，就可以找到无穷多的解答。但是，这种圆圈中的方框数目必须是4n+6的形式，也就是必须是由6加上4的一个倍数而形成的一个数字。

31.汤姆的年龄为9又3/5岁，姐姐安娜的年龄是16又4/5岁，母亲的年龄是38又2/5岁，父亲的年龄是50又2/5岁。

32.根据题中条件已知小涛的步速是小敏的2倍，小涛所走的扶梯阶数也是小敏的2倍，所以小涛下楼与小敏上楼所用时间相同。由于小涛运动方向与扶梯运行方向相反，因此，小涛所走的阶梯数比扶梯静止时的阶梯数要多，多出来的量应当是扶梯自身的速度乘以小涛运动的时间。而小敏运动方向与扶梯运行方向相同，因此小敏所走的阶梯数比扶梯静止时的阶梯数要少，少的量应当是扶梯自身的速度乘以小敏运动的时间。那么，扶梯自身速度不变，两人运动时间相同，所以小涛比小敏多走了80-40=40级扶梯，正好是这段时间长度内扶梯自身运动的阶梯数的2倍，即在这段时间内扶梯自身运行了20级。

那么如果扶梯静止，能看到的扶梯数应该是80-20=40+20=60级。

33.公元前13世纪意大利数学家斐波那契的名著《算盘书》有一个著名的问题，称为“斐波那契的兔子问题”。该题是对这一问题的一个变形。

分析：1月：1对幼兔

2月：1对成兔

3月：1对成兔、1对幼兔

4月：2对成兔、1对幼兔

5月：3对成兔、2对幼兔

6月：5对成兔、3对幼兔

……

可看出规律：1，1，2，3，5，8（第三数是前两数之和），可求出第12项为：13，21，34，55，89，144。

所以，一年后共有144对兔子。

34.标5001元就有可能和对方所得的金额相等，但绝对不会少于对方。这个问题用具体的数字列出来就解决了。假设自己标的是5001元，对方标的是3000元，那就能得到1万元，付给对方3000元，实际到手的是7000元，比对方多得4000元。相反，假设对方标的是6000元，这1万元归他，自己还可以拿到5001元，对方只有4999元，自己多拿到2元。只有在对方标5001或5000元，自己标5001元的情况下，才会出现双方金额相同，这样至少不会受损失。

35.这个问题似乎已知的信息太少，小林的步行速度、其父的驾驶速度及每天的出发时间均是未知数。但经过巧思妙算，不难得出答案。我们设想，假如父亲在半路上遇见小林后，继续行驶到校门口，然后返回到他们相遇的地点，再带小林回家，那么，到家的时间就与平时相同了。因此，提前的10分钟，正好等于父亲从他们相遇的地点到校门口一个来回所费的时间，即父亲骑摩托行驶完小林步行的路程（从校门口相遇处）需用5分钟。由于父亲仍与平时一样计划6点整到达校门口，所以父子半路上相遇于5点55分。因为小林这一天是5点30分出校门的，因此到相遇时，他已经步行了25分钟。对后一提问可以这样考虑：由以上分析知，父子5点55分相遇，此时，小林已步行了15分钟，因此，小林5点40分走出校门。

36.本题的可能性涉及以下几类：（1）第1题对但第2题不对的人；（2）第2题对但第1题不对的人；（3）两题都对的人；（4）两题都不对的人。可用一个长方形表示全班的人，其内画两个相交的圆，一个圆表示第1题对的人；另一个圆表示第2题对的人；两圆相交的公共部分表示两题都对的人；长方形内、两圆之外的部分表示两题都不对的人，据此进行计算。

解答：用A表示“第1题对第2题不对的人数”；

用B表示“第2题对第1题不对的人数”；

用C表示“两题都对的人数”；

用D表示“两题都不对的人数”；

据题意 A+B+C+D=40（1）

A+C=30（2）

A+D=12（3）

C=20（4）

比较（2）、（4），可得A=10 （5）

比较（3）、（5），可得D=2（6）

比较（1）、（4）、（5）、（6），可得B=8

所以，第2题对第1题不对的有8人，两题都不对的有2人。

说明：“两题至少有1题做对的人数=第1题做对的人数+第2题做对的人数-

两题都做对的人数。”这通常表示的是简单的容斥原理。

37.因为三个孩子年龄的积是72，所以，我们把72分解为三个因数（不一定是质因数）的积，因为小孩的年龄一般是指不超过15岁，所以所有不同的乘积式是：

72=1×6×12=1×8×9=2×3×12=2×4×9

=2×6×6=3×3×8

=3×4×6

三个因数的和分别为：19、18、17、15、14、14、13；其中只有两个和是相等的，都等于14；14就是主人家的楼号，如果楼号不是14，客人马上可以作出判断；反之，客人无法作出判断，说明楼号正是14。亦即三个孩子年龄的和为14。此时三个孩子的年龄有两种可能：2岁、6岁、6岁；或3岁、3岁、8岁；当他看到有两个孩子很小时，就可以断定这三个孩子的年龄分别是3岁、3岁、8岁。主人家的楼号是14号。

38.解析：既然要公平地分，单位“1”就要一样。显然，单位“1”不可能是13。那么，把1/2，1/3，1/4加起来，等于13/12，也就是分出的是单位“1”的13/12，分出的（也就是一共的宝石块数）是13份。单位“1”（也就是得到1/2，1/3和1/4）是12份。一份就是13÷13=1（块），最后分得也就是1×12=12（块）。

大女儿得到12×1/2=6（块），

二女儿得到12×1/3=4（块），

小女儿得到12×1/4=3（块）。

验算：6+4+3=13（块），符合题目要求。

39.根据“东欧代表占了欧美代表的2/3以上”，可以推断欧美代表最多14人（当为2/3时，10/（2/3）=15，因为实际上是大于2/3的，因此一定小于15，最多为14）。根据“欧美地区的代表占了与会代表总数的2/3以上”可以得出，与会代表最多20人（当为2/3时，14/（2/3）=21，因为实际上是大于2/3的，因此一定小于21，最多为20）。根据“有6人来自亚太地区”可得，除了欧美代表至少6人（占了与会代表总数的1/3以下），并且还可得出与会代表最少有19人［当为1/3时，6/（1/3）=18，因为实际上是小于1/3的，因此一定多于18，至少为19］。所以，最少为19人。

40.跑完全程乌龟需要（5.2/3）×60=104分钟，兔子需要（5.2/20）×60=15.6分钟。15.6=1+2+3+4+5+0.6，可知兔子玩的时间是5×15=75分钟。所以，兔子共用了15.6+75=90.6分钟。显而易见，兔子还是比乌龟快：104-90.6=13.4分钟。

41.不能。这只救生艇最多只能救13人。因为救生艇一个来回需要8分钟，20分钟时间内救生艇只能来回3趟。而且，第一次去的时候还要有一个人返回来救人。所以，第一个来回可救4人，第二个来回可救4人，第三个来回可救5人，总数是13人。

42.能追上。在猎豹跑出60米时可以追上老虎。因为猎豹跑5步的路程相当于老虎跑9步，但是老虎跑得快，它跑3步时，猎豹才跑2步，所以，猎豹和老虎的奔跑速度之比为：9/5×2/3=6∶5。假设猎豹每秒跑6米，老虎每秒跑5米，且x秒后猎豹追上了老虎，那么，依据题意可得：6x-5x=10，解得x=10，所以，猎豹跑10×6=60米后才追上老虎。

43.因为9乘以12345679得出的结果是111111111，这是一个特殊的乘积。显然，任何一个一位数乘以它之后都可以得到一个特殊的结果。而这个结果与那个特殊乘积之间的倍数就是这个个位数。

44.想进行比较，首先需找出可以做比较的基本点。我们不妨以两家超市的让利百分率做比较。由题可知，第二家超市的让利百分率是1-98%=2%。第一家超市的让利百分率如下：10万张奖券的销售总额是：40×100000=4000000元；全部奖金是：4×1000+20×400+40×100+100×50+250×40+1000×20=51000元；让利百分率为51000/4000000=1.275%<2%。因此，第二家超市让利更多。