六、逻辑解释存在的问题

逻辑解释最严重的问题是我们在上文刚刚看到过的问题，也就是：我们如何才能确切地测量逻辑概率。如果我们不能像我们定义的那样测量逻辑概率的话，我们可能就会怀疑它们究竟是否存在。尤其是，我们可能会怀疑在命题之间是否存在着程度不同的部分衍推关系，或者在命题之间压根儿就不存在什么部分衍推关系。

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这种解释存在的基本问题是，无差别原则并没有告诉我们该如何划分不同的可能性。在我学生时代发生的一件事很恰当地表明了这一点。（这是一个真实的故事。我“虚度”了自己的青少年时代！）那时候，我正参加一个关于熵与统计力学的讲座——我记得，演讲者的主题是无序的情境如何会比有序的情境更加可能——而我当时正在一个酒吧忙于对此大加夸耀。不知怎么的，我跟另外一个酒吧常客争论了起来，他是一个有钱的律师。最后，为了停止争论，我决定跟他打赌。我的提议是，我们抛掷5次硬币，如果结果是2次或者3次正面朝上，那么我将赢得5英镑，否则他将赢得5英镑——我提出的使用硬币的想法直接来自这次讲座。我同时还说，我们可以连续玩，直到一方想停止。他很急切地接受了这次赌约。一开始，他输了。但他确信我只是运气好，就这样接连玩了一个多小时（直到酒吧打烊）。最后，我赢了大约60英镑，一旁被逗乐的观众们让我请了好几杯饮料。这一晚上的“战果”挺不赖！律师到最后离开时，还是确信他只是运气不好，我对此不以为然，他说在下次见面时继续向我挑战。但是，我觉得继续这样玩有点不好意思，于是就礼貌地拒绝了。（在这件事情上，我唯一的损失是因为喝多了，第二天醒来有点儿头疼。）

这是怎么回事呢？简单的回答是，律师给凯恩斯称之为可区分的（divisible）结果赋予了相等的概率，而我却选择了不可区分的结果。也就是说，律师的考虑如下：

5次正面向上 可能性一

4次正面向上 可能性二

3次正面向上 可能性三

2次正面向上 可能性四

1次正面向上 可能性五

0次正面向上 可能性六

因为律师给上面每一种可能性都赋予了相同的概率，即六分之一，因而他就会期待我多半会输掉。更具体地说，他认为在这6种可能性当中，我只有两次获胜的机会，因而在次数上只有三分之一的获胜可能。无疑，他期待着让他对面这个不知天高地厚的年轻人老老实实地待着！

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然而从我的视角看，我完全有资格成为一个获胜者。这是因为：我考虑到了不可区分的结果，并且给它们指派了相等的概率。（至少在下面这样的情况下这些结果是不可区分的：如果每枚硬币或者正面朝上着地或者反面朝上着地，以至于像一枚硬币侧面着地这样的事件都会被忽略，我们就完全可以认为这次游戏完成了。这些都是隐含的规则。）说得更具体一点，我留意到了以上列出的每种可能性是通过哪些方式发生的。考虑下面这些情况，这里的H代表“正面”结果，而T代表“反面”结果，来看一下我是怎么想的：

HHHHH 5次正面向上的结果有1种可能

HHHHT

HHHTH

HHTHH 4次正面向上的结果有5种可能

HTHHH

THHHH

TTHHH

THTHH

THHTH

THHHT

HTTHH 3次正面向上的结果有10种可能

HTHTH

HTHHT

HHTTH

HHTHT

HHHTT

与此相对称，你会发现，如果你想象把上面的每个H与T进行交换（反之亦然），那就分别有10种可能的结果对应着“2次正面”，5种可能的结果对应着“1次正面”，仅有1种可能的结果对应着“0次正面”。（在数学当中，像“2次正面和3次反面”的结果被称为一个组合。“HHTTT”就是该组合的一种排列。简单讲，顺序对于排列很重要，但对于组合则却无关轻重。）因此从我的视角看，在这个游戏中“2次正面”或者“3次正面”的概率是八分之五，而且所选的可能性也对我有利。我赢这么多钱这一事实表明我是正确的，尽管实际上我可能只是由于运气好。（事实上，假设律师对概率的理解是正确的，那就有可能计算出我成功的概率，为了做到这一点，我们需要知道我们究竟玩了几次游戏，每一次的结果是什么。没什么可奇怪的，因为喝了一些啤酒，所以我记不得了。）如果你遇见我而且想帮我进一步验证这一点，那么非常欢迎你和我一起玩这个游戏。当然，要为了钱！如果你的有钱朋友也想玩这个游戏，请把他们也带来一起玩。人越多越好。

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凯恩斯一定会说，我是通过选择不可区分的结果而做了正确的事情。否则，我将处在一个悖论性情境当中，在其中无差别原则将会表明，在一个给定游戏当中，我获胜的概率同时具有两个不同的值：三分之一（律师计算的结果）和八分之五（我计算的结果）。你可能会认为我会通过表明律师的方法是正确的而我的方法是错误的，从而解决这个难题。然而，这样说的问题在于，在划分可能性上，经常存在不同的、不相容的、可区分的方法。假想我正准备买一只兔子，并且问你，我买到一只黑兔子的概率是多少。你可能会把“黑色的”和“非黑的”作为两种可能。或者你可能会把“黑色的”“棕色的”和“既非黑色又非棕色”作为三种可能，如此等等。在回答同一个问题的时候，运用无差别原则，你会得到不同的概率。

你也可能会试图得出结论说凯恩斯是正确的，因为我获胜了。但这是错误的。毕竟硬币（或者硬币抛掷过程）本来就可能是不公平的。或者，我只不过是（通过把无差别原则当作一种探试性工具）猜测到了基于世界的概率。（或许我会赢得像这样的无限序列游戏的八分之五）。简言之，也许我只是很幸运，从而在这个特殊的情况下给这些可能性指派了相等的概率。如果我对其他一些可能性也这样做，比如滚动一个被动了手脚的骰子，也许就会是一个严重的错误。于是，我可能就会失败。

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因此，诉诸不可区分性解决了如何划分可能性的问题了吗？显然没有，因为它并没有处理好涉及无限多可能性的情况，或者不存在任何唯一不可区分的可能性集合的情况。地平线悖论（the Horizon paradox）就恰到好处地表明了这一点。这个悖论是数学家约瑟夫·伯特兰德（Joseph Bertrand）早于凯恩斯提出其概率的逻辑观点大约三十年提出的几个这样的悖论之一。该悖论如下：

想象空间当中的任一平面，并称之为地平线。现在想象任选另一个与之相交的平面。这个平面与地平线相交所成的角小于45度的概率是多少？

（这个版本与伯特兰德的原始版本稍有不同：他说的是随意选择任意平面。然而，如果这样的话，就会留下无限多与地平线平行的平面，这恰恰会造成更多的迷惑，实际上，在他的计算中，显然就忽略了这些平面的存在。因此我使用了“相交的平面”。）设这个角为θ。这个角必定会大于0度但小于或者等于90度。因此，我们可以把每个值都当作是等可能性来对待。但是，为什么不考虑cos（θ）并把这个函数的每个值都看作是等可能的呢？让我们来考虑这个问题。

学生甲：使用θ更自然，不是吗？

学生乙：对你来说似乎是这样，但这难道不是恰恰因为你（好吧，我们大家）碰巧学过数学吗？

学生甲：我认为这是一个好的观点；存在一种约定的成分。

达瑞：是的。实际上，伯特兰德也给出了一种使用cos（θ）的论证；但我们并不真的需要过多讨论它……

学生甲：因为真正的担心在于：在所有，或者至少在多数情况下，是否存在自然的——我猜实际上是自然而且唯一的——测量方法？

达瑞：没错。

学生乙：昨天我读到了另外一个悖论——水/酒悖论。这个悖论是这样的。我们拥有某种液体。我们仅仅知道，这种液体完全是由水和酒组成的，而且其中一种成分的量最多是另一种成分的三倍。那么，水和酒的比率小于或等于2的概率是多少呢？

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学生甲：你的想法是这样吗：你可以考虑水对酒的比率或者酒对水的比率，两种考虑会让你得到不同的答案？

学生乙：是的！所以，哪个比率显得更自然呢？

学生甲：很好。的确没有哪一个显得更自然。

达瑞：的确是这样。但是，不久前我的确读到了杰夫·米克尔森的一篇文章（Jeff Mikkelson 2004），该文论证说，我们应该通过数量而不是比率考虑这个问题。他的基本想法是这样的：数量是首要的，而且数量决定比率。或者更确切地说：（a）数量的变化是比率变化的原由；（b）如果没有数量，也就没有比率。

学生乙：我不确信我理解了这一点。现在我们该怎样进行计算呢？

达瑞：米克尔森让我们去想象这两种成分并没有混合——就像原油和水那样，然后思考这个问题：如果我们把这种液体倒入一个量筒里，两者的分界线将会落在哪里？

学生甲：我明白了。因此，无论我们所拥有的液体的量是多少，答案都是相同的。我们并不需要具体说明量筒上的刻度是多少！

达瑞：是的，这样做很聪明。

学生乙：但这是这个悖论唯一的解法吗？

达瑞：当然不是。基本上，米尔克森选择讨论的是这样一个变项，如果它是根据这两个比率定义的，它就会有相同的值。但这并不是唯一一个这样的变量。实际上有无穷多个。

学生乙：但或许，仅仅是或许，这是唯一自然的解法？

学生甲：老实说，我现在并不那么确信“自然的”到底是什么意思。我在这里这样假设：除了从物理学的观点讲得通之外，这是一个最简单的解决方案……

达瑞：即使这个方法是唯一自然的解法，仍有令人担心之处值得我们注意。问问你自己：如果米尔克森坚持该问题当中给出的信息，或者，如果他反过来考虑一个不同的、涉及在该问题中通过引入他的一些背景信息而被问及的概率。或者换种说法，如果我们只是知道这种液体里有酒和水，服从所说的那种基于比率的限定条件，我们能解释清楚他的回答吗？

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学生乙：严格地说，我猜我们不得不允许自己知道一些更多的事情，比如数学、逻辑等等？

达瑞：是的，是这样的。

学生甲：但是，这些和米尔克森所使用的全部物理信息差异是相当大的。

达瑞：那是绝对的。这种物理信息实际上看上去并不是这个问题的一部分。现在来看，如果我们同意像“酒”和“水”这样的词蕴含着“倾向”这层意思，也许我们就可以对米尔克森的观点有所推进；于是，知道某物是水，就是知道它在如此这般的语境下倾向于有如此这般的表现。

学生甲：好吧，但下面这个提法看起来的确有些不可思议：要想知道某种东西归入这样一个范畴，我就必须要知道它具有一长串的倾向。

达瑞：对。如果我们只看科学的表面价值，水就会具有我们在中世纪时代所不知道的倾向。但从这一点得出如下结论会是不可思议的：中世纪的人压根就不知道水是什么时候出现的。

学生甲：好。如此看来，米克尔森提出了一个与此问题无关的物理上的隐含假定，那就是：混合物的量就是将两种成分分离后每种成分各自所占据的量的和。

达瑞：被你发现了。（也许不是。这里可能存在某种互动）实际上，没有什么东西会阻止我们从根本上不使用量。我们可以用量之外的其他东西比如堆（mass）来解释“与……一样多”。

学生乙：那么，结果会是什么呢？

学生甲：我认为，关键在于，米克尔森是依据自己的理解提出这个场景的。而在这个问题当中没有什么东西表明我们应该根据他的理解而不是别的理解提出这一场景。

达瑞：我完全同意。等到第五章讨论客观贝叶斯主义的时候，我们再来谈这一点，客观贝叶斯主义可以被看作是逻辑解释的继承者。

最后，值得注意的是，尽管如此，无差别原则的一种否定形式仍然是合理的。正如凯恩斯所指出的：“只要还有什么理据让我们对两个命题进行区分，这两个命题就不可能具有相等的可能性。”（Keynes 1921： 51）不幸的是，只有这个否定规则，并不足以在任意给定场合说明这个值是（而非不是）什么。

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