五、“几何画板”优化初中数学教学具体课时案例研究

在德富路中学实习过程中，我以新课标为理念，将建构主义理论应用于“几何画板”辅助教学的实际中。以下是运用“几何画板”的教学案例研究。

课例1：直角三角形的性质

◆ 教学目标

（1）掌握直角三角形性质定理2的推论1、推论2，能用符号语言规范表达、并能正确运用。

（2）能运用直角三角形性质定理和推论进行计算或证明。

◆ 教学重点、难点

重点：直角三角形性质定理2的推论，运用直角三角形性质和推论计算或证明。

难点：灵活运用直角三角形的两条性质和两条推论进行计算或证明。

◆ 教学过程

1．引入

请一位同学来复述一下昨天学习的定理2，问大家：

问题1：一个直角三角形可以被斜边上的中线分成两个什么三角形？

——两个等腰三角形。

问题2：比等腰三角形更特殊的三角形是什么三角形？

——等边三角形。

问题3：那么假如两个等腰三角形中有一个正好是等边三角形，那么这个直角三角形的短直角边和斜边存在什么数量关系？

2．演示

用“几何画板”的操作类按钮来演示：

拖动图中的绿色点（点A）进行左右移动，观察旁边的角度度量值，当∠BAC＝6°0时（即满足其中有一个等腰三角形变成等边三角形的要求），此时观察直角三角形ABC的短直角边AC的度量值和斜边AB的度量值，如下图：

找个同学用文字语言叙述一下。

可能学生会说：一个直角三角形，被斜边上的中线分成的两个三角形中有一个是等边三角形，那么这个直角三角形的短直角边是斜边的一半（或者斜边是短直角边的两倍）。

而推荐的表述方法是：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

注意：此时要给学生一定的时间去比较这两种说法，虽然是一个意思，但后者更简洁，含义更清楚。

●推论1

将上述文字语言结合图形语言表述为几何语言，并请一位同学将它表述成“已知……求证……”的形式，并在此时切换“几何画板”的文档页面至第3页。

给学生一定的思考时间后，询问大家刚才我们是怎么发现推论1的？这张图里少了什么？（——斜边上的中线）单击“几何画板”中的操作类按钮“辅助线”添加辅助线，用电子白板笔在白板上让学生跟着一起书写剩余的证明过程。

●推论2

回忆之前我们学习的垂直平分线定理和角平分线定理都有逆定理，那请一位同学说说看推论1有没有逆定理？（——在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°）

找一位同学上来用电子白板笔在下图中标出所有相等的线段。

根据已知条件以及定理2（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），可以在图上标出如下相等的4条线段，这个时候让学生去观察，自然就会发现△BCD是一个等边三角形，也就是推论2得证了。

3．实践与强化

掌握了直角三角形的推论1和推论2之后，我们将通过例题来实践并强化，切换至“几何画板”的页面至4，出现书上的课后习题1，如下。

先请一位同学上来用电子白板笔在图中标出已知条件，如下。

由推论2可得∠C＝30°，再由等腰可得∠B＝30°，从而∠BAC的度数就可知为120°，由于书上的课后习题的前两道的图形和这张图基本相同，因此可利用“几何画板”的操作型按钮，出现题2，如右。

这一题同样，找一个学生用电子白板笔在图中标出已知条件，如下。

这道题和课后习题1有异曲同工之妙却又难于课后习题1：由等腰得∠C＝30°，同样可以得到∠BAC＝120°，这时由于∠DAC＝90°，所以∠BAD＝30°，从而得知BD＝AD，又由推论1可得，从而。

这道题比刚才那道题稍有提升，这时再操练一题，学生对这张图就可以说是印象深刻、过目不忘了。课后习题2如下。

同样地，先在图上标条件，如下。

这道题和题2要求证的内容一样，只不过比刚才那题少了一个AD⊥AC的条件，这个条件我们只要通过垂直平分线的定义得到BD＝AD即∠B＝∠BAD＝30°，再用∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝120°－30°＝9 °就能重新得到这个条件。

下面再来看一道例题，如下。

这是书上本课时的第二道例题，同样找同学用电子白板笔在图上标出已知条件，如下。

标出已知条件以后，很快就能发现利用垂直平分线定理可得CE＝CB，如下。

根据这张图，马上可以想到推论2的证明过程，从而由推论2直接得证∠A＝30°。

4．巩固练习

（略）

5．课堂小结

总结强调推论1、推论2，布置作业。

6．教学反思

本节课我使用“几何画板”来辅助教学，主要将“几何画板”运用于发现定理、证明定理、例题讲解、变式练习等教学环节中。

（1）发现定理。“几何画板”在图形绘制上比一般的绘图软件更为精准，再加上其可控的动态性，从而实现了“让学生通过观察自己去发现定理”的过程。

（2）证明定理。运用“几何画板”演示定理的推理过程，清晰直观，一方面大大加强了课堂教学的效率，另一方面能够让学生真正体会定理产生的原因，让定理在学生脑海中成为一个“生成性问题”而不是一个“既定事实”。

（3）例题讲解。“几何画板”为“数形结合”创造了一条便捷的通道，学生通过动手实践，会发现只要在几何画板上标出已知条件后，所要求证的东西就不再变得无迹可寻。

（4）变式练习。“几何画板”能增大信息量，传统的“黑板粉笔”教学方式几乎不可能实现一堂课证明两个定理后再讲4道例题还能留有让学生巩固训练的时间，然而正是几何画板通过让其中3道题以变式的形式出现的方式，不仅能加深学生的印象，同时也大大地提升了课堂效率。

课后，我询问了几位学生对于本堂课的意见，有的说：“几何画板”让他们觉得原本复杂枯燥、毫无头绪可言的数学题变得生动形象、一目了然了；有的说：本来要去想直角三角形中30°角所对的直角边要想很久也不确定是哪一条，但是看了“几何画板”演示的图形语言以后就很清楚了；还有的说：我自己通过观察发现30°的直角三角形的短直角边是斜边的一半，后来知道它就是今天要学的定理之后觉得很有成就感……可见，“几何画板”还能激发学生的学习兴趣，并将定理以“观察”—“操作”—“交流”的方式呈现在学生的脑海中。

课例2：圆的确定

◆ 教学目标

（1）知道点与圆的3种位置关系及其判定方法，并能初步运用点与圆的位置关系的判定方法解决有关数学问题。

（2）知道“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，能画出过已知不在同一直线上三点的圆。

（3）了解三角形的外形、外接圆、圆的内接三角形以及多边形的外接圆、圆的内接三角形以及多边形的外接圆、圆的内接多边形。

◆ 教学重点、难点

重点：点与圆的3种位置关系及其判定方法，运用点与圆的位置关系解决有关数学问题。

难点：画不在同一直线上三点的圆。

◆ 教学过程

1．引入

今天要学习的是圆的确定，其实我们在六年级的时候就接触过圆，那么我们先一起来回忆一下圆是一个什么样的图形？

在几何画板中，给出一个点O，如下。

再点击操作类按钮“显示对象”，出现一个到O点距离为可赋值参数a的点A，线段OA的长度为参数值5 cm（厘米），如下。

此时选中图中点A，点击“显示”——“追踪点”，再选中并移动点A，可以看到到O点距离为5厘米的点的轨迹，如下。

此时，点击操作类按钮“圆的定义”，出现概念，如下。

那么复习了圆的定义之后，今天我们要学习有关圆的一些基本性质。

2．点与圆的位置关系

如下，是一个圆O和点P。

单击操作类按钮“显示线段d”，显示圆心O与动点P之间的距离d，同理，单击操作类按钮“显示半径R”，显示圆心O与动点P之间的距离R，线段d和R的长度分别由参数d和R控制。

这时，让学生观察总结P与圆O的位置关系（点P在圆内），然后改变参数d的大小为4厘米，如下。

当d为4厘米时，如图可得点P的位置还是在圆内，继续改变参数d的大小，使d等于5厘米，如下。

此时发现点P在圆上，继续改变参数d的大小为6厘米，如下。

由图可得，此时点P位于圆外，这时，询问学生有没有发现点P与圆的位置关系和什么有关？具体关系是什么？并单击操作类按钮“显示说明”，此时几何画板上会出现点与圆的位置与点和圆心的距离之间的关系，如下。

将定义给出后，再改变参数d的大小（d＝4.7、d＝5.2）加以验证，如下。

例题1：

已知线段AB和点C，圆C经过点A，根据如下所给点C的位置，判断点B与圆C的位置关系。

（1）点C在线段AB的垂直平分线上，如下。

单击几何画板左侧的按钮，继而按顺序单击点C和点A，显示如下。

由图可见，点B在以点C为圆心，CA为半径的圆上。

让学生思考点B是不是必在以点C为圆心，CA为半径的圆上？理由是什么？

提示：单击操作类按钮“显示线段”，如下。

让学生关注题目条件“点C在线段AB的垂直平分线上”，回忆垂直平分线的定义。单击操作类按钮“显示说明”，如下。

根据垂直平分线的定义可得CA＝CB，所以点B必在以点C为圆心，CA为半径的圆上。

（2）点C在线段AB上，且，如下。

单击几何画板左侧的按钮，继而按顺序单击点C和点A，显示如下。

并选中线段AB，单击“构造”→“中点”可得AB的中点D，如下。

因为题目给定条件，即AC＜AD, C在线段AD上运动，此时移动C，有下列情况。

不难看出：当C在线段AD上移动时，点B永远在圆C外。

3．圆的确定

根据刚才的例题1的第一小题，思考：两点能确定一个圆吗？

——不能，因为点A点B可以同时在以所有垂直平分线上的点为圆心的圆上，如下。

虽然两点不能确定一个圆，但是不难发现，经过给定两点的圆的圆心必定在连接这两点的线段的垂直平分线上，那么根据这个发现，思考：三点能确定一个圆吗？如下。

在此之前我们先复习一下垂直平分线的作法，如下。

第一步：以点A为圆心，AB为半径，作圆A，如下。

第二步：以点B为圆心，AB为半径，作圆B，如下。

第三步：连接两圆交点的直线即线段AB的垂直平分线，如下。

复习了垂直平分线的作法后，我们来小试牛刀，先试着找三点中任意两点（A、B）所在的圆的圆心，如下。

第一步：连接线段AB，如下。

第二步：作线段AB的垂直平分线，如下。

第三步：再同理，作线段BC的垂直平分线，如下。

第四步：取两条垂直平分线的交点即同时过确定三点的圆的圆心，如下。

思考：是否任意三点都能确定一个圆？

在几何画板中移动点B，如下。

此时发现，当B点移动到和线段AC在一直线上时，不存在一个圆同时过A、B、C三点。

由此可得定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。

4．外接圆、外心、圆的内接图形

通过刚才三点确定一个圆的图，给学生明确三角形的外接圆、三角形的外心和圆的内接三角形的概念，如下。

再拓展到给学生明确多边形的外接圆、多边形的外心和圆的内接多边形的概念。（与三角形类同）

练习：判断三角形的外心和三角形的位置与三角形的形状的关系。

同样还是利用刚才三点确定一个圆的图，移动点B，使△ABC分别成为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

（1）锐角三角形，如下。

此时外心在三角形内部。

（2）直角三角形，如下。

此时外心在三角形的斜边上。

（3）钝角三角形，如下。

此时外心在三角形的外部。

书后练习26.1由学生自行完成。

课堂小结：总结强调点与圆的位置关系、定理、如何作不在一直线上三点所确定的圆。

5．教学反思

本节课，我使用“几何画板”来辅助教学，主要将“几何画板”运用于复习圆的定义、发现和判断点与圆的位置关系、复习垂直平分线的作法、发现经过两点的圆的圆心在两点连线的垂直平分线上、证明不共线三点能确定一个圆、验证三点共线时不能确定圆、判断三角形的外心和三角形的位置与三角形的形状的关系等教学环节中。

（1）复习圆的定义。在传统的教学中，探求动点的轨迹所表示的曲线的类型，都是十分理论十分抽象的，学生并不能看到真正的“轨迹”，很多学生根本不能想象出老师想要表达的含义，而“几何画板”能直观生动地体现动点轨迹的形成过程，从而让学生更加深刻地理解圆的定义。

（2）发现和判断点与圆的位置关系。“几何画板”通过设定参数，可以直观地向学生展示点和圆心的距离与半径的大小关系如何影响点与圆的位置关系。

（3）复习垂直平分线的作法。教师用“几何画板”进行演示，大大提升了课容量。传统教学方式要想复习垂直平分线的作法需要烦琐的教具和漫长的准备以及作图过程，甚至很多学生在烦冗的过程中很可能就会失去兴致而转移注意力，而“几何画板”不仅操作简单而且界面干净，学生能很快回忆起垂直平分线的作法。

发现经过两点的圆的圆心在两点连线的垂直平分线上：首先复习垂直平分线的有关概念，继而利用“几何画板”反复以垂直平分线上任意一点为圆心作过线段一端点的圆，学生自然会发现每一个圆都会经过线段的另一个端点。在这一环节中，“几何画板”实现了让学生在做中学，自然而然地感受、理解“经过两点的圆的圆心在两点连线的垂直平分线上”产生的过程。

（4）证明不共线三点能确定一个圆。我认为这是一个“几何画板”从教具变成学具的过程，在上一阶段，学生已经发现并明确了“经过两点的圆的圆心在两点连线的垂直平分线上”的数学事实，这个时候已经经历了示范性阶段和模仿性阶段，接下来的环节“证明不共线三点能确定一个圆”正是一个共同设计阶段，学生可以在这个阶段充分发挥自己的聪明才智和创造力，因此可以说这个环节也是充分激发学生的学习动机并产生自我效能感的最好时机。

（5）验证三点共线时不能确定圆。“几何画板”的动态性在这一环节得到了充分的展现，有些学生怎么也不能理解、有些学生懒得去思考为什么三点共线时不能确定圆，而“几何画板”通过移动一个点而不改变其他相关性质，简明扼要地向学生展现了共线的三点不能确定圆，这个效率可以说是传统教具所望尘莫及的。

（6）判断三角形的外心和三角形的位置与三角形的形状的关系。这虽然是练习的讲解过程，但更是向学生明确新概念的重要环节，同样是利用了“几何画板”的动态性，将三角形改变形状时，外心与三角形的位置关系展现得淋漓尽致，学生可以亲眼看见整个变化的过程，不仅能加深他们对新概念的印象，而且使学习内容更容易被掌握，培养并发展学生“获取信息”——“接收信息”——“理解信息”——“处理信息”的能力。

课后，我询问了几位学生对于本堂课的意见，他们都深有感触，感叹“几何画板”是一款“神奇”的软件，它能把晦涩、抽象、言语不可及的内容直观地、动态地、简洁地展现在他们面前。学生认为“几何画板”比起PPT、投影仪等多媒体教学辅助软件要更“有趣”、更“生动”、更“有魅力”。