第一章 明清传入的圆锥曲线知识概述

本章从整体上对从明末至晚清大约300年时间里传入中国的圆锥曲线知识进行综述。首先简述圆锥曲线的发展史，主要论述它在西方数学史特别是在几何发展史中的地位，以及其基本的知识体系和方法。其次论述圆锥曲线知识传入中国的三个阶段。第一阶段是明末清初时期，传入的圆锥曲线知识不完备也不详细，以椭圆知识为主。第二阶段是19世纪60年代，以《代微积拾级》（1859年）和《圆锥曲线说》（1866年）翻译出版为标志，作为二次曲线出现的和作为综合几何出现的圆锥曲线知识均比较系统地传入中国。第三阶段是19世纪90年代，以《形学备旨》（1885年）、《圆锥曲线》（1893年）、《代形合参》（1893年）等教会学校的一些教科书的出版为标志，圆锥曲线知识进入教学、普及的阶段。从传入的西方数学内容而言，这三个阶段是渐进的过程，传入的知识是由零散到系统、由常量数学到变量数学、由初等到高等再到普及。

第一节 圆锥曲线简史

现代意义上的圆锥曲线知识属于西方数学内容。一般认为，圆锥曲线的发展经历两个重要阶段。第一阶段是创立阶段，以古希腊亚历山大时期的数学家、天文学家阿波罗尼奥斯（Apollonius，约公元前262至前190年）用严谨的欧氏几何风格写成的《圆锥曲线论》为标志。第二阶段是解析阶段，即解析几何创立后，圆锥曲线成为解析几何的一个重要的分支，以二次曲线的面貌出现的时期。本节围绕这两个阶段，简述圆锥曲线的发展，重点论述它在几何发展史中的地位及其基本的知识体系和各阶段的方法。

一、圆锥曲线论的创立

1．圆锥曲线研究的起源

圆锥曲线的研究，起源于古希腊，它与几何三大作图问题中的倍立方问题有关，该问题指的是要用尺规作图的方法求作一立方体使其体积等于已知立方体的两倍。公元前5世纪，古希腊数学家希波克拉底（Hippocrates，公元前5世纪）指出倍立方问题可以归结为在一线段与另一双倍长的线段之间求两个比例中项的问题，即求二次比的问题。用现在的代数符号来表示，令x和y是这样两个量，使得

则

由前两式可以得到

得到x便解决了倍立方问题，但它不能用尺规作出。从解析几何而言，x和y就是两条抛物线的交点或一抛物线和一双曲线的交点的坐标。几何三大问题曾轰动一时，讨论者很多，曾研究过倍立方问题的著名希腊学者还有阿契塔（Archytas，约公元前428至前347年）、柏拉图（Plato，约公元前427至前347年）、欧多克斯（Eudoxus，约公元前408至前355年）及梅内克缪斯（Meneachmus，约公元前375至前325年）等。

梅内克缪斯的方法可能是之前研究的总汇。他取三个正圆锥，一为直角，一为锐角，一为钝角，各作一平面垂直于一条母线，并与圆锥相截，称截线分别为“直角圆锥截线”“锐角圆锥截线”“钝角圆锥截线”（即今之抛物线、椭圆、等轴双曲线一支），这是最早的对圆锥曲线的命名。他用两条抛物线或一抛物线与一双曲线的交点解决倍立方问题。梅内克缪斯的著作早已散失，根据后来学者考证，以“直角圆锥截线”（抛物线）的方法为例说明如下：

如图1-1-1，RtΔBAC是直角圆锥的轴截面，截面DEF垂直于母线AC，交轴截面于DE。在DE上任取一点J，过J点作正截面HKG，与DEF交于JK，作DL//HG, LM⊥LD交DE于M点。于是有

JK2=HJ·GJ=LD·JG=JD·DM

若设x=JD, y=JK, p=DM，则有

y2=px

显然这就是抛物线的方程。

同样，能得到“锐角圆锥截线”“钝角圆锥截线”。这就是圆锥三曲线的起源研究——所谓的“梅内克缪斯三曲线”。

2．阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》

梅内克缪斯之后不久，研究圆锥曲线的学者比较著名的有欧几里得（Eu-clid，约公元前300年）、阿基米德（Archimedes，约公元前287至前212年）、阿波罗尼奥斯。

欧几里得有本著作为《圆锥割线》（Conics），根据帕普斯的说法，这部失传的著作共含四篇，后来被阿波罗尼奥斯引用，成为其《圆锥曲线论》的头三篇的主要内容。欧几里得把圆锥曲线分为三类不同的圆锥的割线来处理。椭圆可任由一圆锥或一圆柱的割线得到。阿基米德圆锥曲线研究的重要成就就是利用穷竭法得出抛物线弓形面积，他还发明圆锥曲线的直径。

最主要的是阿波罗尼奥斯的研究，他的《圆锥曲线论》（Conic Sections）可以看成圆锥曲线论创立的标志。《圆锥曲线论》共8卷，末卷遗失。卷1论三种曲线的产生，卷2论渐近线、轴及直径，卷3论三种曲线的轨迹问题，卷4论直线的调和分割，两曲线不多于四个交点，两曲线的位置关系，卷5论极大与极小值问题，卷6论相似圆锥曲线，卷7论共轭直径，卷8可能是继续论述共轭直径。阿波罗尼奥斯处理圆锥曲线的方法与前人不同，不用三个圆锥，只用一个圆锥，通过改变截面的位置产生三种曲线，他还注意到截面垂直于轴时截线是圆。他最先发现双曲线是有心曲线，并有两个分支，他对圆锥曲线的叙述很接近近代方式。例如，（以顶点为原点，轴为横轴的抛物线）任一点横坐标与通径组成的矩形等于与之对应的纵坐标组成的正方形；（以一顶点为原点，长轴为横轴的椭圆或双曲线）任一点纵坐标组成的正方形小于或大于与之对应的横坐标及通径组成的矩形。表示为现代形式，即y2=px, y2＜px, y2＞px。根据他的表述，圆锥曲线方程可以表达为y2=px（抛物线）（椭圆），或（双曲线）（其中p为通径，d为与之对应的直径）。

以椭圆的定义为例。如图1-1-2，A-BC是一圆锥面（不一定为正圆锥面），设锥的一截面与底平面的交线为GL, GL在底圆之外，与圆锥面的交线曲线为MPN。在底面取垂直于GL的直径BC，并延长交GL于G点。轴平面与曲线MPN交于M和N。轴平面内过A作AK//MG交BG的延长线于K点。MPN便是轴平面ABC与截平面的交线。在截曲线上任取一点P，作PH//GL交MN于H点。阿波罗尼奥斯称PH为纵标线，他希望对曲线上任一点建立起纵标线PH与同样依赖P点位置的线段MH之间的关系。

阿波罗尼奥斯作了一系列的辅助线和几何推理得到

对于给定的圆锥面与截平面，MN, BK, CK均为确定的线段，若记

这样阿波罗尼奥斯相当于给出解析几何中的椭圆方程

由于y2=px, y2＜px, y2＞px，便称抛物线、椭圆、双曲线分别为“齐曲线”“亏曲线”“盈曲线”。当希腊著作传入欧洲时，这些名称便译为拉丁文之“Parabola”“Ellipse”“Hyperbola”。

阿波罗尼奥斯用统一的方式引出圆锥三曲线后，对它们的性质进行广泛的讨论，内容涉及圆锥曲线的直径，共轭直径、切线、中心、双曲线的渐近线、椭圆与双曲线的焦点以及处在各种不同位置的圆锥曲线的交点数等等。

《圆锥曲线论》用纯欧氏几何的方法得到了现在解析几何的几乎全部的主要结论，令人叹服。该书被认为代表了希腊演绎几何的最高成就，是圆锥曲线论创立的标志性著作。

阿波罗尼奥斯以后，希腊对圆锥曲线的贡献显得不多。4世纪，由于帕普斯的研究，希腊几何又兴盛起来。帕普斯是当时著名的几何学家，很多著作都失传了，只流传下来他的《数学论丛》后6卷（这书共8卷，前2卷已散佚）。由《数学论丛》可以看出他对圆锥曲线有很多贡献，例如卷8证明了五点可确定一条圆锥曲线，卷7证明了圆锥曲线的焦点-准线-离心率性质，等等。

二、圆锥曲线的解析时代

1．解析几何的诞生

近代之初，由于生产的发展以及各种自然科学如天文学、力学、光学的发展，促进了数学的发展。圆锥曲线的作用在近代科学中得到了新的体现和发展。

德国天文学家开普勒（Kepler, 1571—1630年）于1609年发现天体运行轨道是椭圆，也发现圆锥曲线的焦点及离心率，并指出抛物线还有一个在无限远处看不见的焦点。他还推测平面截圆锥于无限远时，双曲线可变为抛物线，无限大的椭圆就是圆，最锐的双曲线将退缩成一对直线，最钝的双曲线是抛物线，最锐的椭圆是抛物线，最钝的椭圆是圆，并于1604年给出三种曲线的一般拉线作图法。意大利物理学家伽利略（Galileo, 1564—1642年）于1608年通过桌面滚球实验发现而且证明了：由水平方向的匀速运动和垂直下的匀加速运动复合生成的抛射体运动，其路径是一条半抛物线。他还进一步证明以任何角度发射的炮弹，其路径也为抛物线。法国学者迈多尔日（Mydorge, 1585—1647年）发展了圆锥曲线在光学中的应用。

近代早期这些科学家的一些成果向几何学提出了用运动的观点来认识和处理圆锥曲线及其他几何曲线的课题。因为地球围绕太阳运转的椭圆轨道、物体斜抛运动的抛物线轨迹等这些远不是靠用平面截圆锥得到的圆锥曲线这一概念所能把握的。传统的几何学缺乏解决这些问题的有效办法，要能反映这类运动的轨迹和性质，就必须从观点到方法上变革，建立一种运动观点上的几何学。这种几何便是解析（坐标）几何，其基本方法是在引入坐标系的基础上，把由曲线所决定的两个坐标之间的关系用代数方程表示出来，通过对代数方程的研究来掌握曲线的性质。

解析几何的真正发明要归功于笛卡儿（R. Descartes, 1596—1650年）和费马（P. de Fermat, 1601—1665年）。

笛卡儿的解析几何以如下两个观念为基础：一是坐标观念，二是把互相关联的两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线的观念。他的坐标不仅表示点的位置，还将坐标通过“点动成线”的观点应用于曲线的方程的建立；而对于方程，笛卡儿不仅把它看成是未知数与未知数的关系式，而且更多地把它看成是两个变量之间的关系式。笛卡儿还打破了代数学的齐次原则，将不同次数的几条曲线同时表示在同一个坐标系中。这样，图形中各几何量之间的关系可以化成数与数之间的关系，从而形成代数计算与几何作图之间的平行对应关系，开辟了把代数与几何巧妙统一起来的道路。笛卡儿的这些思想发表在1637年出版的几何著作《几何学》中。该书是作为他的哲学著作《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》（一般简称《方法论》）的附录出版的。《几何学》共3卷，卷l讨论直线及圆的作图问题，他没有采用坐标，也没有用两轴，却用严密的文词叙述了坐标概念。卷2讨论曲线的性质，也对帕普斯轨迹问题作了研究。卷3讨论图解问题，详细地讨论了三次以上方程的图解问题。

就这样，笛卡儿把以往两个对立的研究对象“数”与“形”统一起来，并在数学中引入变量的概念，导致变量数学即近代数学的诞生。

1630年，费马写成《空间与平面轨迹入门》（1679年发表）。在这篇文章中费马通过建立坐标，将曲线的特征以统一的方式译成了代数语言，使得各种不同的曲线都能用代数方程表示和研究，他还具体研究了直线、圆和其他圆锥曲线的方程，注意到坐标轴可以平移和旋转，并以此化简方程。很大程度上，费马的工作是阿波罗尼奥斯工作的代数翻版，但他的工作与笛卡儿的思想殊途同归，因为发表得比笛卡儿的《几何学》晚，后人多疏忽了费马对解析几何的贡献。

解析几何把数学造成了一个双面的工具。一方面，几何概念可以用代数表示，几何的目标可以通过代数达到。另一方面，反过来，给予代数语言以几何的解释，可以直观地掌握那些语言的意义，又可以得到启发去提出新的结论。解析几何一经创造便改变了整个数学的面貌，圆锥曲线的研究方法也获得了新的突破。

2．圆锥曲线的分析研究

最先将圆锥曲线作为二次曲线来研究的是英国数学家沃利斯（J. Wallis, 1616—1703年），他在其《论圆锥曲线》（1655年）中，第一次得到圆锥曲线的方程。他为了阐明阿波罗尼奥斯的结果，将《圆锥曲线论》的几何条件翻译成代数条件，得到曲线的方程。他还将圆锥曲线定义为对应于含x和y的二次方程的曲线，并证明这些曲线确实就是几何里的圆锥曲线。沃利斯的这本著作在很大程度上推动了解析几何思想的传播，不仅强调了代数推理的有效性，同时又有助于普及这样的思想：把圆锥曲线看成平面曲线，而不是看成圆锥与平面的交线。

1659—1661年间，笛卡儿的《几何学》第二版问世，书末附有一些注解文章。首先是拜瑙（F. de Beaune, 1601—1652年）的，他逐节作了阐述，并以y2=xy+bx, y2=-2dy+bx, y2=bx-x2表示双曲线、抛物线、椭圆；又按xy+bx+cy=df系数讨论了17种情形。其次是舒顿（Schooten, 1615—1660年）的，他的文章中有一次、二次方程的研究，推出了坐标平移和旋转公式以及渐近线方程，也阐论了图解方程问题。此外还有胡鼎（Hudden，约1633—1704年）的注解文章等。由于这些文章的注解及介绍，了解者渐多，笛卡儿的《几何学》才得以广泛地流传起来。

18世纪，牛顿（Newton, 1642—1727年）正确地运用了负坐标和横纵轴，从此改变了以前对负坐标概念不清以及使用单一轴的现象。在他所著的《光学》（1704年）中，推证了圆锥曲线的切线问题、曲率问题以及在光学中的应用等。

1705年和1707年法国出版了两部著作，一为居西尼（N. Guisnee, ?—1718年）的《代数在几何中的应用》，一为洛比达（L'Hospital, 1661—1704年）的《圆锥曲线解析论》。前一书可能是第一个以a, b表示有心曲线的半轴，第一次使用直交坐标系。后一书对一般二次方程进行了讨论，曾明确地指出，若y2系数为l，当xy系数之半大于、等于、小于x2的系数时，分别是三种圆锥曲线。此外，洛比达还用焦点-准线定义了圆锥曲线，并给出标准方程。

1748年，英国数学家马克劳林（Maclaurin, 1698—1746年）、意大利女数学家渥尼西（M. Agnesi, 1718—1799年）及彼得堡科学院院士欧拉（Euler, 1707—1783年）等人的一些著作出版，使得解析几何向纵深发展，这一年可以说是解析几何学史上最辉煌的一年。

在此着重讨论欧拉的《分析引论》（1748年），他在此书中建立了直交坐标、斜交坐标及极坐标概念，给出坐标的变换公式及转轴公式。欧拉对圆锥曲线的论证十分正确，他由一般二次方程0=α+βx+γy+δx2+εxy+ζy2着手，系统地研究了各种情形，并按参数方程与极方程论述了圆锥曲线。另一方面，由为通径之半，为顶点至焦点的距离）推出；当2d=c时，a=∞, b=∞，则得到y2=-2cx，于是他认为抛物线得自椭圆。

《分析引论》不但对圆锥曲线论述得十分完备，对于曲面及一般曲线的研究也很全面。该书后被认为是现代意义下的“第一部解析几何学教程”。正是由于这些著作，使得圆锥曲线成为了二次曲线的特例。

可以看出，圆锥曲线进入分析学后内容发展越来越丰富，它们在解析几何和微积分的背景下获得很大的发展，逐渐成为了传播解析思想的载体和学习分析学（微积分）的必要的（一定程度上甚至是必备的）知识基础。