四、习题详解

习题1-1 集合与函数

1. 设A，B分别为下列两个给定的集合：

（1）A={1，2，3，4，5}，B={2，4，6，8}；

（2）A=Z+，B=N；

（3）A={x|3<x<5}，B={x|x>4}；

（4）A={x|x2+x-6<0}，B={x|x2-2x-3≤0}；

试求A∪B，A∩B，A\B，B\A．

解　（1）A∪B={1，2，3，4，5，6，8}，A∩B={2，4}，A\B={1，3，5}，B\A={6，8}；

（2）A∪B=N，A∩B=Z+，A\B=Ø，B\A={0}；

（3）A∪B={x|x>3}，A∩B={x|4<x<5}，A\B={x|3<x≤4}，B\A={x|x≥5}；

（4）A={x|-3<x<2}，B={x|-1≤x≤3}，A∪B={x|-3<x≤3}，A∩B={x|-1≤x<2}，A\B={x|-3<x<-1}，B\A={x|2≤x≤3}．

2. 设U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，3，4}，B={3，6，7}，求AC，BC，AC∩BC，（A∪B）C．

解　AC={1，5，6，7}，BC={1，2，4，5}，AC∩BC={1，5}，（A∪B）C={1，5}．

3. 设A，B都是集合U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}的子集，且AC∩BC={1，3，7，9}，试求A∪B．

解　AC∩BC=（A∪B）C，则A∪B={2，4，5，6，8}．

4. 用区间表示适合下列不等式的变量x的变化范围：

（1）2<x≤6；

（2）|x|<3；

（3）；

（4）|x|>100；

（5）0<|x-1|<0.01；

（6）0<|x-2|≤5.

解　（1）x∈（2，6］；

（2）x∈（-3，3）；

（3）x∈（1.9，2.1）；

（4）x∈（-∞，-100）∪（100，+∞）；

（5）x∈（0.99，1）∪（1，1.01）；

（6）x∈［-3，2）∪（2，7］．

5. 设x∈U（1，δ）时，|2x-2|<ε，当ε分别等于0.1和0.01时，求领域半径δ各等于多少？

解　ε=0.1时，|2x-2|<0.1，即|x-1|<0.05，则δ=0.05；

ε=0.01时，|2x-2|<0.01，即，则δ=0.005.

6. 求下列函数的定义域：

（7）y=f（x2+1），其中f（x）的定义域是［1，2］；

（8）y=f（sinx）+f（lnx），其中f（x）的定义域是［0，1）．

解　（1）即x2-5x+6>0，（x-3）（x-2）>0，则x∈（-∞，2）∪（3，+∞）；

（2），即则；

（3）x≥0且x-2≠0，则x∈［0，2）∪（2，+∞）；

（4）1-x>0且x+2≥0，则x∈［-2，1）；

（5）|x|-x≠0且ln（3+x）≥0，即x<0，3+x≥1，则x∈［-2，0）；

（6）［x+1］≠0，即x+1<0或x+1≥1，则x∈（-∞，-1）∪［0，+∞）；

（7）1≤x2+1≤2，即0≤x2≤1，则x∈［-1，1］；

（8）0≤lnx<1且0≤sinx<1，即1≤x<e，，

则．

7. 设求f（1），，f（-3）.

解　因为1∈［0，2），所以对应的函数表达式为f（x）=1+x2，故f（1）=2；

同理，，所以对应的函数表达式为f（x）=1+x2，故；

而，所以对应的函数表达式为f（x）=sinx，故；

因为函数的定义域为（-2，2），而-3∉（-2，2），故f（-3）不存在．

8. 设，求．

解　因为sinx≥0，所以定义域为2kπ≤x≤（2k+1）π，k∈Z，，故，故不存在．

9. 设，求f［g（x）］，g［f（x）］．

解　

10. 设，求f［f（x）］和f{f［f（x）］}.

解　

11. 设，求f（x）．

解法一　，则．

解法二　令，则有，代入原等式有

，整理得，

故有．

12. 设f（x）=3x2+4x，φ（t）=lg（1+t），求f［φ（t）］，φ［f（x）］及其定义域．

解　f［φ（t）］=f［lg（1+t）］=3［lg（1+t）］2+4lg（1+t）=lg（1+t）［3lg（1+t）+4］，定义域为{t|t>-1}；

φ［f（x）］=φ（3x2+4x）=lg（1+3x2+4x），1+3x2+4x>0，则定义域为．

13. 已知函数

（1）写出f（x）的定义域，画出函数f（x）的图形；

（2）求f（0），f（1.2），f（3），f（4）．

解　（1）定义域为［0，4］，作图略；

（2）f（0）=02=0，f（1.2）=1，f（3）=4-3=1，f（4）=4-4=0．

14. 设求复合函数f［f（x）］．

解　

由f（x）<0可知，即当x<0时，1+x<0x<-1；当x≥0时，ex<0⇒x∈Ø；

由f（x）≥0可知，即当x<0时，1+x≥0⇒x≥-1；当x≥0时，ex≥0⇒x∈R；

则

15. 试将函数f（x）=2|x-2|+|x-1|表示成分段函数，并画出它的图像．

解　对于绝对值函数来说，不同的定义域区间，函数的表达式不同，要分段讨论．

因为

所以

从而，

作图略．