2.2 逻辑代数的基本定律、规则和常用公式
根据逻辑代数中的与、或、非3种基本运算，可以推导出逻辑代数运算的一些基本定律、规则和常用公式。它们为逻辑函数的化简提供了理论依据，也为分析和设计逻辑电路提供了重要工具。
2.2.1 基本定律
根据2.1.1节的公理，可以推导出下列常用的定律。
定律1 重叠律
A+A=A AA=A
证明：
该定律说明一个变量多次自与、自或的结果仍为其自身，即逻辑代数中不存在倍乘和方幂运算。
定律2 吸收律
A+AB=A A（A+B）=A
证明：
该定律说明逻辑表达式中某一项包含了式中另一项，则该项可以去掉。
定律3 消去律
证明：
定律4 并项律
证明：
定律5 复原律
证明：令
，因而存在唯一的X，使得
但是
这样，X和A都满足互补律，因此根据互补律的唯一性，可得A=X，即
。
该定律说明了“否定的否定等于肯定”这一规律。
定律6 冗余律
证明：
该定律说明当逻辑表达式中的某个变量（如A）分别以原变量和反变量的形式出现在两项中时，该两项中其他变量（如B、C）组成的第三项（如BC）是多余的，可从式中去掉。
冗余律的推广：
冗余律的推广说明若第三项中除了前两项的剩余部分以外，还含有其他部分，它仍然是多余的。
定律7 摩根律
证明：
而且
这样
和A+B都能满足互补律，根据互补律的唯一性，可得
。
摩根律的推广（n变量摩根律）：
以上定律的证明还可以通过真值表进行，读者可以自行证明。
2.2.2 重要规则
逻辑代数有4条重要规则：代入规则、反演规则、对偶规则和展开规则。这些规则在逻辑运算中十分有用，可以将原有的定律和公式加以扩充和扩展。
1．代入规则
代入规则是指在任何一个含有某变量（如A）的逻辑等式中，如果将等式中所有出现该变量的地方都以同一个逻辑函数（如F=B+C）代替，则等式仍然成立。
【例2-1】已知等式A（B+C）=AB+AC，将F=D+E代替等式中的变量B后，试证明新等式仍然成立。
将F=D+E代替等式中的变量B后，有
等式左边=A[（D+E）+C]=A（D+E+C）=AD+AE+AC
等式右边=A（D+E）+AC=AD+AE+AC
所以，代入以后得到的新等式仍然成立。
代入规则在推导公式时具有重要意义。利用这条规则可以将逻辑代数基本定律中的变量用任意逻辑函数代替，从而推导出更多的公式。
例如，利用代入规则可以推导出n变量的摩根律，即
证明：由于
，将F=X2+X3代替等式中的变量X2后，根据代入规则新等式仍然成立，可得
在将F=X3+X4代替等式中的变量X3后，根据代入规则新等式仍然成立，可得
以此类推，可得n变量的摩根律：
。
2．反演规则
由原函数求反函数的过程称为反演。对于任何一个逻辑函数F，在保持函数运算顺序不变的情况下，如果将函数表达式中所有的“·”变为“+”、“+”变为“·”、“0”变为“1”、“1”变为“0”、原变量变为反变量、反变量变为原变量，就得到了逻辑函数F的反函数
，即若逻辑函数F=f（X1，X2，…Xn，0，1，+，·），则
，这就是反演规则。
使用反演规则时要注意以下3点。
1）在应用反演规则时需保持原函数表达式运算顺序不变。
2）在非运算符下有两个以上的变量时，非符号应保持不变。
3）反演规则实际上是摩根律的推广，用反演规则求得的反函数和用摩根律求得的反函数是一致的。
【例2-2】已知逻辑函数
，求其反函数。
解：根据反演规则可求得其反函数为
。
【例2-3】已知
，求其反函数。
解：根据反演规则可求得其反函数为
。
3．对偶规则
对于任何一个逻辑函数F，在保持函数运算顺序不变的情况下，如果将函数表达式中所有的“·”变为“+”、“+”变为“·”、“0”变为“1”、“1”变为“0”，就得到了逻辑函数F的对偶函数F′，即若逻辑函数F=f（X1，X2，…Xn，0，1，+，·），则F′=f（X1，X2，…Xn，1，0，·，+），这就是对偶规则。
【例2-4】已知逻辑函数
，求其对偶函数。
解：根据对偶规则可求得其对偶函数为
。
【例2-5】已知
，求其对偶函数。
解：根据对偶规则可求得其对偶函数为
。
对偶函数和原函数具有以下几个特点。
1）原函数与其对偶函数互为对偶函数，或者说原函数的对偶函数的对偶函数是原函数本身。
2）若两个逻辑函数相等，则它们的对偶函数也相等，反之亦然。
可以利用对偶规则的特点来证明两个函数相等。
【例2-6】利用对偶规则证明等式A+BC=（A+B）（A+C）。
证明：令F1=A+BC，F2=（A+B）（A+C），则两函数的对偶函数为
由
=F′2，可得F1=F2，因此等式成立。
4．展开规则
对于任何一个逻辑函数F=f（X1，X2，…Xn），可以将其中任意一个变量（例如X1）分离出来，并展开成
这就是展开规则。展开规则的正确性验证可以令X1=0或X1=1分别代入便得证。
【例2-7】化简函数
解：根据展开规则有
