命题XXIV 问题XVI

画出一条轨道，它经过三个给定的点，并与两条位置给定的直线相切。

设切线HI，KL被给定，且点B，C，D被给定。经两任意点B，D作无穷直线交切线于点H，K。然后亦经另外两任意点C，D作无穷直线CD交切线于点I，L。截已作的［直线］于R和S，使得HR比KR如同BH和HD之间的比例中项比BK和KD之间的比例中项；且IS比LS如同CI和ID之间的比例中项比CL和LD之间的比例中项。随意截在点K和H，I和L之间，或者它们之外；然后作［直线］RS截切线于A和P，则A和P为切点。因为，如果A和P被假设为切线上的某些切点；经点H，I，K，L中任意的点I，它位于一条切线HI上，作直线IY平行于另一条切线KL，它交曲线于X和Y，并在这条直线上取IZ为IX和IY之间的比例中项：由《圆锥截线》，矩形XIY或IZ_quad.比LP_quad.如同矩形CID比矩形CLD，亦即（由作图）如同SI_quad.比SL_quad.。因此IZ比LP如同SI比SL。所以点S，P，Z位于一条直线上。因为切线交于G，则（由《圆锥截线》）矩形XIY或IZ_quad.比IA_quad.如同GP_quad.比GA_quad.。因此IZ比IA如同GP比GA。所以点P，Z和A位于一条直线上，且因此点S，P和A在一条直线上。又由同样的论证，证得点R，P和A在一条直线上。所以切点A和P位于直线RS上。找到这些点之后，轨道按照上一问题的第一种情形被画出。此即所作。

在本命题和上一命题的第二种情形中，无论直线XY截轨道于X和Y，或者不相截，作图法是一样的；它们与截线无关。但是当已证明那条直线与此轨道相截时的作图法，就能明了不相交时作图法；为了简捷我不再继续进一步的证明。