1.3 计算机中的数据及二进制

在计算机中，各种信息都是以数据的形式出现，对数据进行处理后产生的结果为信息，因此数据是计算机中信息的载体，数据本身没有意义，只有经过处理和描述，才能赋予其实际意义，如单独一个数据“32℃”并没有什么实际意义，但如果表示为“今天的气温是32℃”时，这条信息就有意义了。

计算机中处理的数据可分为数值数据和非数值数据（如字母、汉字和图形等）两大类，无论什么类型的数据，在计算机内部都是以二进制的形式存储和运算的。计算机在与外部交流时会采用人们熟悉和便于阅读的形式表示，如十进制数据、文字表达和图形显示等，这之间的转换则由计算机系统来完成。

在计算机内存储和运算数据时，通常要涉及的数据单位有以下3种。

（1）位（bit）。计算机中的数据都是以二进制来表示的，二进制的代码只有“0”“1”两个数码，采用多个数码（0和1的组合）来表示一个数，其中的每一个数码称为一位，位是计算机中最小的数据单位。

（2）字节（Byte）。在对二进制数据进行存储时，以8位二进制代码为一个单元存放在一起，称为一个字节，即1 Byte=8 bit。字节是计算机中信息组织和存储的基本单位，也是计算机体系结构的基本单位。在计算机中，通常用B（字节）、KB（千字节）、MB（兆字节）或GB（吉字节）为单位来表示存储器（如内存、硬盘、U盘等）的存储容量或文件的大小。所谓存储容量指存储器中能够包含的字节数，存储单位B、KB、MB、GB和TB的换算关系如下。

1 KB（千字节）=1 024 B（字节）=210B（字节）

1 MB（兆字节）=1 024 KB（千字节）=220B（字节）

1 GB（吉字节）=1 024 MB（兆字节）=230B（字节）

1 TB（太字节）=1 024 GB（吉字节）=240B（字节）

（3）字长。人们将计算机一次能够并行处理的二进制代码的位数，称为字长。字长是衡量计算机性能的一个重要指标。字长越长，数据所包含的位数越多，计算机的数据处理速度越快。计算机的字长通常是字节的整倍数，如8位、16位、32位、64位和128位等。

1.3.1 数制及其转换

数制是指用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。其中，按照进位方式计数的数制称为进位计数制。在日常生活中，人们习惯用的进位计数制是十进制，而计算机则使用二进制；除此以外，还包括八进制和十六进制等。二进制顾名思义，就是逢二进一的数字表示方法；以此类推，十进制就是逢十进一，八进制就是逢八进一等。

进位计数制中每个数码的数值不仅取决于数码本身，其数值的大小还取决于该数码在数中的位置，如十进制数828.41，整数部分的第1个数码“8”处在百位，表示800，第2个数码“2”处在十位，表示20，第3个数码“8“处在个位，表示8，小数点后第1个数码“4”处在十分位，表示0.4，小数点后第2个数码“1”处在百分位，表示0.01。也就是说，处在不同位置数码它们所代表的数值不相同，分别具有不同的位权值，数制中数码的个数称为数制的基数，十进制数有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共10个数码，其基数为10。

无论在何种进位计数制中，数都可写成按位权展开的形式，如十进制数828.41可写成：

828.41=8×100+2×10+8×1+4×0.1+1×0.01

或者：

828.41=8×102+2×101+8×100+4×10−1+1×10−2

上式称为数值的按位权展开式，其中10i称为十进制数的位权数，其基数为10，使用不同的基数，便可得到不同的进位计数制。设R表示基数，则称为R进制，使用R个基本的数码，Ri就是位权，其加法运算规则是“逢R进一”，则任意一个R进制数D均可以展开表示为。

上式中的Ki为第i位的系数，可以为0,1,2,…，R−1中的任何一个数，Ri表示第i位的权。如表1-2所示为计算机中常用的几种进位计数制的表示。

通过表1-2可知，对于数据4A9E，从使用的数码可以判断出其为十六进制，而对于数据492来说，如何判断属于哪种数制呢？在计算机中，为了区分不同进制的数，可以用括号加数制基数下标的方式来表示不同数制的数，例如，（492）10表示十进制数，（1001.1）2则表示二进制数，（4A9E）16则表示十六进制数，也可以分别表示为（492）D、（1001.1）B、（4A9E）H带有字母的形式。在程序设计中，为了区分不同进制数，常在数字后直接加英文字母后缀来区别，如492D、1001.1B等。

如表1-3所示为上述几种常用数制的对照关系表。

下面将具体介绍4种常用数制之间的转换方法。

1. 非十进制数转换为十进制数

将二进制数、八进制数和十六进制数转换十进制数时，只需用该数制的各位数乘以各自位权数，然后将乘积相加。用按权展开的方法即可得到对应的结果。

【例1-1】 将二进制数10110转换成十进制数。

先将二进制数10110按位权展开，再对其乘积相加，转换过程如下所示。

【例1-2】 将八进制数232转换成十进制数。

先将八进制数232按位权展开，再对其乘积相加，转换过程如下所示。

【例1-3】 将十六进制数232转换成十进制数。

先将十六进制数232按位权展开，再对其乘积相加，转换过程如下所示。

2. 十进制数转换成其他进制数

将十进制数转换成二进制数、八进制数和十六进制数时，可将数字分成整数和小数分别转换，然后再拼接起来。

例如，将十进制数转换成二进制数时，整数部分采用“除2取余倒读”法，即将该十进制数除以2，得到一个商和余数（K0），再将商数除以2，又得到一个新的商和余数（K1），如此反复，直到商是0时得到余数（Kn-1），然后将得到的各次余数，以最后余数为最高位，最初余数为最低依次排列，即Kn-1…K1K0，这就是该十进制数对应的二进制整数部分。

小数部分采用“乘2取整正读”法，即将十进制的小数乘2，取乘积中的整数部分作为相应二进制小数点后最高位K-1，取乘积中的小数部分反复乘2，逐次得到K-2K-3…K-m，直到乘积的小数部分为0或位数达到所需的精确度要求为止，然后把每次乘积所得的整数部分由上而下（即从小数点自左往右）依次排列起来（K-1K-2…K-m）即为所求的二进制数的小数部分。

同理，将十进制数转换成八进制数时，整数部分除8取余；小数部分乘8取整；将十进制数转换成十六进制数时，整数部分除16取余，小数部分乘16取整。

【例1-4】 将十进制数26.6875转换成二进制数。

用除2取余法进行整数部分转换，再用乘2取整法进行小数部分转换，具体转换过程如下所示。得到：

（26.6875）10 =（1010.1011）2

3. 二进制数转换成八进制、十六进制数

二进制数转换成八进制数所采用的转换原则是“3位分一组”，即以小数点为界，整数部分从右向左每3位为一组，若最后一组不足3位，则在最高位前面添0补足3位，然后将每组中的二进制数按权相加得到对应的八进制数；小数部分从左向右每3位分为一组，最后一组不足3位时，尾部用0补足3位，然后按照顺序写出每组二进制数对应的八进制数即可。

【例1-5】 将二进制数1101001.101转换为八进制数。

转换过程如下所示。

得到的结果为：（1101001.101）2 = （151.5）8

二进制数转换成十六进制数所采用的转换原则与上面的类似，采用的转换原则是“4位分一组”，即以小数点为界，整数部分从右向左、小数部分从左向右每4位一组，不足4位用0补齐即可。

【例1-6】 将二进制数101110011000111011转换为十六进制数。

转换过程如下所示。

得到的结果为：（101110011000111011）2 = （2E63B）16

4. 八进制数、十六进制数转换成二进制数

八进制数转换成二进制数的转换原则是“一分为三”，即从八进制数的低位开始，将每一位上的八进制数写成对应的3位二进制数即可。如有小数部分，则从小数点开始，分别向左右两边按上述方法进行转换即可。

【例1-7】 将八进制数162.4转换为二进制数。

转换过程如下所示。

得到的结果为：（162.4）8 = （001110010.100）2

十六进制数转换成二进制数的转换原则是“一分为四”，即把每一位上的十六进制数写成对应的4位二进制数即可。

【例1-8】 将十六进制数3B7D转换为二进制数。

转换过程如下所示。

得到的结果为：（3B7D）16 = （0011101101111101）2

1.3.2 二进制数的运算

计算机内部采用二进制表示数据，其主要原因是电路容易实现、二进制运算法则简单、可以方便地利用逻辑代数分析和设计计算机的逻辑电路等。下面将对二进制的算术运算和逻辑运算进行简要介绍。

1. 二进制的算术运算

二进制的算术运算也就是通常所说的四则运算，包括加、减、乘、除，运算比较简单，其具体运算规则如下。

（1）加法运算。按“逢二进一”法，向高位进位，运算规则为：0+0=0、0+1=1、1+0=1、1+1=10。例如，（10011.01）2+（100011.11）2=（110111.00）2。

（2）减法运算。减法实质上是加上一个负数，主要应用于补码运算，运算规则为：0−0=0、1−0=1、0−1=1（向高位借位，结果本位为1）、1−1=0。例如，（110011）2− （001101）2=（100110）2。

（3）乘法运算。乘法运算与我们常见的十进制数对应的运算规则类似，规则为：0×0=0、1×0=0、0×1=0、1×1=1。例如，（1110）2×（1101）2= （10110110）2。

（4）除法运算。除法运算也与十进制数对应的运算规则类似，规则为：0÷1=0、1÷1=1，而0÷0和1÷0是无意义的。例如，（1101.1）2 ÷ （110）2= （10.01）2。

2. 二进制的逻辑运算

计算机所采用的二进制数1和0可以代表逻辑运算中的“真”与“假”“是”与“否”和“有”与“无”。二进制的逻辑运算包括“与”“或”“非”“异或”4种，具体介绍如下。

（1）“与”运算。“与”运算又称为逻辑乘，通常用符号“×”“∧”“·”来表示。其运算法则为：0∧0=0、0∧1=0、1∧0=0、1∧1=1。通过上述法则可以看出，当两个参与运算的数中有一个数为0时，其结果也为0，此时是没有意义的，只有当数中的数值都为1时，结果为1，即只有当所有的条件都符合时，逻辑结果才为肯定值。例如，假定某一个公益组织规定加入成员的条件是女性与慈善家，那么只有既是女性又是慈善家的人才能加入该组织。

（2）“或”运算。“或”运算又称为逻辑加，通常用符号“+”或“∨”来表示。其运算法则为：0∨0=0、0∨1=0、1∨0=1、1∨1=1。该法规表明只要有一个数为1，则结果就是1，例如，假定某一个公益组织规定加入成员的条件是女性或慈善家，那么只要符合其中任意一个条件或两个条件都可以加入该组织。

（3）“非”运算。“非”运算又称为逻辑否运算，通常是在逻辑变量上加上划线来表示，如变量为A，则其非运算结果用Ā表示。其运算法则为：。例如，假定A变量表示男性，Ā就表示非男性，即指女性。

（4）“异或”运算。“异或”运算通常用符号“⊕”表示，其运算法则为：0⊕0=0、0⊕1=1、1⊕0=1、1⊕1=0。该法规表明，当逻辑运算中变量的值不同时，结果为1，而变量的值相同时，结果为0。

1.3.3 数的编码表示

一般的数都有正负之分，计算机只能记忆0和1，为了将数在计算机中存放和处理就要将数的符号进行编码。基本方法是在数中增加一位符号位（一般将其安排在数的最高位之前），并用“0”表示数的正号，用“1”表示数的负号，例如：

数+1110011在计算机中可存为01110011；

数−1110011在计算机中可存为11110011。

这种数值位部分不变，仅用0和1表示其符号得到的数的编码，称为原码，并将原来的数称为真值，将其编码形式称为机器数。

按上述原码的定义和编码方法，数0就有两种编码形式：0000…0和100…0。所以对于带符号的整数来说，n位二进制原码表示的数值范围是：

−（2n−1−1）～+（2n−1−1）

例如，8位原码的表示范围为：−127～+127，16位原码的表示范围为−32767～+32767。

用原码作乘法，计算机的控制较为简单，两符号位单独相乘就得结果的符号位，数值部分相乘就得结果的数值。但用其做加减法就较为困难，主要难在结果符号的判定，并且实际进行加法还是进行减法操作还要依据操作对象具体判定。为了简化运算操作，把加法和减法统一起来以简化运算器的设计，计算机中也用到了其他的编码形式，主要有补码和反码。

下面仅给出求补码和反码的算法和应用举例。

（1）求反码的算法

对于正数，其反码和原码同形；对于负数，则将其原码的符号位保持不变，而将其他位按位求反（即将0换为1，将1换为0）。

（2）求补码的算法

对于正数，其补码和原码同形；对于负数，先求其反码，再在最低位加“1”（称为末位加1）。

求原码、反码和补码的计算，举例如表1-4所示（以8位代码为例）。

若对一补码再次求补就又得到了对应的原码。

注：在二进制数的小数取舍中，0舍1入。（0.82）10=（0.110100011…）2，取8位小数，就把第9位上的1入到第8位，而第8位进位，从而得到十进制数0.82的二进制数是0.11010010。在原码中，为了凑8位数字，把最后一个0舍去。−0.6的转换类似。