1.1.2 硬非线性特性现象

线性控制的另一个假定是系统的模型可以被线性化。但是，在控制系统中有许多的非线性因素，它们的不连续性使其不具有线性近似。这些所谓的“硬非线性特性”包括干摩擦非线性、饱和非线性、死区非线性、间歇非线性及时滞非线性，它们大量存在于控制工程中，其效应不能用线性方法获得，因此必须发展非线性分析技术来预测当这些非线性因素存在于系统的动态。由于这些非线性因素经常引起控制系统不期望的性态，如不稳定性、拟似极限环等，这些效应应当被预测出来，并被恰当地补偿掉。

例1.3　质量-弹簧系统。

在图1.3所示的质量-弹簧机械系统中，在水平面上滑动并通过弹簧连接到竖直表面的物体m受到一个外力F。定义物体距参考点的位移为y，根据牛顿定律，有

式中，Ff是摩擦力，Fsp是弹簧的回复力。设Fsp只是位移y的函数，即Fsp=g（y），同时假设参考点位于g（0）=0处，外力F由我们确定。对于不同的F会出现不能线性化的自治或者非自治的非线性系统模型。

位移较小时，弹簧回复力可用线性函数g（y）=ky建模，其中k是弹簧系数。但当位移较大时，回复力与位移y是非线性的关系。如函数关系

g（y）=k（1-a2y2）y，　|ay|<1　（1.7）

的模型称为软化弹簧模型，即超过一定位移时，较大位移增量产生的力增量较小。另一方面，函数关系

g（y）=k（1+a2y2）y　（1.8）

的模型称为硬化弹簧模型，即超过一定位移时，较小位移增量产生的力增量较大。

阻力Ff包含静摩擦力、库伦摩擦力和黏滞摩擦力。当物体静止时，静摩擦力Fs与水平面平行，其大小限制在±μsmg，0<μs<1是静摩擦系数。Fs在其取值范围内无论取何值都保持物体静止。当物体开始运动时，一定有一个作用于物体上的力克服由静摩擦力引起的运动阻力。在没有外力，即F=0时，静摩擦力将与弹簧的回复力平衡，并当|g（y）|<μsmg时保持平衡。一旦运动开始，作用在与运动相反方向上的阻力Ff，可以按照滑动速度的函数建立模型。由库伦摩擦力引起的阻力Fc，其大小为常数μkmg，μk是动摩擦系数，即有

当物体在黏滞介质，如空气或润滑剂中运动时，会有由黏滞性引起的摩擦力。这个力通常按照速度的非线性函数建立模型，即有Fv=h（v），h（0）=0。当速度较小时，可假设Fv=cv。

对于硬化弹簧，考虑线性黏滞摩擦力和一个周期外力F=Acosωt，可得到动力系统方程

对于线性弹簧，考虑静摩擦力、库伦摩擦力和黏滞摩擦力，当外力为零时可得到

其中

式（1.9）和式（1.10）是两个硬非线性控制系统。