1.4 原码、反码和补码

在十进制数中，有符号数用符号“＋”表示正数，符号“−”表示负数。在计算机系统中，有符号数可分为符号位和数值位两部分。有符号数的最高位作为符号位，用0表示“＋”，用1表示“−”，其余为数值位部分。

1.4.1 机器数和真值

在计算机系统中，把由符号位和数值位构成的一个数称作为机器数，而数值位部分称为机器数的真值。

例如，X1=+0101011 B，机器数为00101011 B，真值为0101011 B;X2=−0101011 B，机器数为10101011 B，真值为0101011 B。

1.4.2 原码

原码是计算机对有符号数采用二进制表示的一种方法，由符号位和数值位组成。原码的最高位作为符号位，0表示正数，1表示负数。数值位表示数值绝对值的大小，绝对值的编码规则与前面讲的无符号数编码规则相同。常见的8位有符号数的数值范围是−127～＋127, 16位有符号数的数值范围−32767～+32767。如果运算结果超出可表示的有符号数的范围时，就会发生溢出，使计算结果出错。

例如，X1=＋1001010B,X2=−1001010B，则X1原码是[X1]原=01001010 B,X2对应的原码是[X2]原=11001010 B。

在原码表示方法中，0有两种不同的值，即[+0]原=00000000 B,[−0]原=10000000 B。

1.4.3 反码

反码也是计算机对有符号数采用二进制表示的一种方法，符号位与原码的符号位表示方法一样，对于正数，符号位为0；对于负数，符号位为1。反码的数值部分则不同，其值变化与它的符号位有关。对于正数，反码的数值部分和原码数值部分相同；对于负数，反码的数值部分是原码的数值部分按位取反（即1变0,0变1）。

例如：X1=+ 0000111 B,[X1]反= 0 0000111 B,X2=−0000111 B,[X2]反= 1 1111000 B。

由于0的原码有两种不同的值，因此0的反码也有两种不同的值，即[+0]反=00000000, [−0]反=11111111。

1.4.4 补码

二进制数的算术运算包含加、减、乘、除四种运算，计算机在执行乘法和除法运算时，实际上都是通过做加减法运算来实现的。当设计做减法运算的电路时，必须先比较两个数绝对值的大小，再将绝对值大的数减去绝对值小的数，最后在相减的结果前面加上绝对值较大的数的符号。减法运算逻辑电路复杂，运算速度也比做加法运算慢得多。

为了能使加、减法运算统一用加法运算来实现，人们通过补码来表示有符号数值。补码的引入使得两个数无论相加还是相减，均可通过加法运算来实现。因此，计算机中一切有符号数都是以补码的形式参与算术运算的。

补码也是一种二进制数码，又称为“对2的补数”，其表示方法与该数是正数还是负数有关。正数的补码与该数的原码和反码是一样的，对于负数，求补码的方法是：符号位不变，数值部分按位对原码取反，然后在最低位加1，通常简称为“取反加1”。

例如，X1=+ 0000111 B,[X1]补= 0 0000111 B;X2=−0000111 B,[X2]补= 1 1111001 B。

在补码表示法中，[+0]补=0 0000000B,[−0]补=[−0]反+1=1 1111111+1=1 00000000B，舍弃进位后，[−0]补=0 0000000B。由此可见，0具有唯一的补码[0]补=0 0000000B。

【例1.4.1】 求二进制数X1= ＋0001011B和X2= −0001011B对应的原码、反码和补码。

解：对于原码、反码和补码来说，最高位都是符号位，其他位则与数值部分有关。如果该数为正数，则对应的原码、反码和补码按位相同。如果该数为负数，则反码是原码的按位取反，补码则是原码的按位取反加1。

因此，二进制数＋0001011B和−0001011B所对应的原码、反码和补码分别表示如下：

[X1]原 =00001011B,　 [X1]反 =00001011B,　[X1]补 =00001011B。

[X2]原 =10001011B,　 [X2]反 =11110100B,　[X2]补 =111101011B。

1.4.5 有符号数的加减运算

通过采用补码来表示有符号数，可以把两个数的加、减法运算统一为加法运算，即把减法运算通过用[A]补+[−B]补的方法实现，因此机器在进行运算时符号位一律按加法参与运算。如果计算的结果产生了进位，则把进位丢弃，保留符号位和数值位即可。

【例1.4.2】 计算X1=36+45,X2=36−45和X3=−36−45的结果。

解：对于有符号数的算术运算，采取补码进行，因此先算出各个数的补码，再按补码运算方法进行计算。

（1）X1=36+45

由结果可知，[X1]补=01010001B是正数，因此[X1]原= [X1]补=01010001B，对应的十进制数为X1=81。

（2）X2=36−45

由结果可知，[X2]补=11110111B是负数，因此对其进行求补运算得到原码X2：

[X2]原={[X2]补}反+1=10001000+1=10001001，对应的十进制数为X2=−9。

（3）X3=−36−45

由结果可知，舍弃进位后，[X3]补=10101111B 是负数，因此对其进行求补运算得到原码X3:[X3]原= {[X3]补}反+1=11010000+1=11010001B，对应的十进制数为X3=−81。

采用补码表示的符号数经过运算后得到的结果仍然是补码的形式，并非该数值的原码。如果运算结果的符号位为0，则代表结果是正数，而正数的原码和补码是相同的。如果运算结果的符号位为1，则代表结果是负数，而负数的补码与原码不同，因此需要对运算结果进行一次求补运算才能得到该数值对应的原码。

注意：当两个同符号数采用补码进行相加运算时，它们的绝对值之和不能超过有效数值位所能表示的最大值，否则会产生溢出，得到错误的计算结果。